Theorem adddir 8083

Description: Distributive law for complex numbers (right-distributivity). (Contributed by NM, 10-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
adddir	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem adddir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		adddi 8077	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 · (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐶 · 𝐴) + (𝐶 · 𝐵)))
2	1	3coml 1213	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 · (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐶 · 𝐴) + (𝐶 · 𝐵)))
3		addcl 8070	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
4		mulcom 8074	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) = (𝐶 · (𝐴 + 𝐵)))
5	3, 4	sylan 283	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) = (𝐶 · (𝐴 + 𝐵)))
6	5	3impa 1197	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) = (𝐶 · (𝐴 + 𝐵)))
7		mulcom 8074	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐴))
8	7	3adant2 1019	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐴))
9		mulcom 8074	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
10	9	3adant1 1018	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
11	8, 10	oveq12d 5975	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)) = ((𝐶 · 𝐴) + (𝐶 · 𝐵)))
12	2, 6, 11	3eqtr4d 2249	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  (class class class)co 5957  ℂcc 7943   + caddc 7948   · cmul 7950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188  ax-addcl 8041  ax-mulcom 8046  ax-distr 8049

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-rex 2491  df-v 2775  df-un 3174  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-br 4052  df-iota 5241  df-fv 5288  df-ov 5960

This theorem is referenced by:  mulrid  8089  adddiri  8103  adddird  8118  muladd11  8225  muladd  8476  demoivreALT  12160  dvds2ln  12210  dvds2add  12211  odd2np1lem  12258  cncrng  14406  sincosq1eq  15386  abssinper  15393