Theorem mulrid 7968

Description: 1 is an identity element for multiplication. Based on ideas by Eric Schmidt. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mulrid	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Proof of Theorem mulrid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 7967	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2		recn 7958	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
3		ax-icn 7920	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
4		recn 7958	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
5		mulcl 7952	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
7		ax-1cn 7918	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		adddir 7962	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) · 1) = ((𝑥 · 1) + ((i · 𝑦) · 1)))
9	7, 8	mp3an3 1336	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) · 1) = ((𝑥 · 1) + ((i · 𝑦) · 1)))
10	2, 6, 9	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) · 1) = ((𝑥 · 1) + ((i · 𝑦) · 1)))
11		ax-1rid 7932	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 · 1) = 𝑥)
12		mulass 7956	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((i · 𝑦) · 1) = (i · (𝑦 · 1)))
13	3, 7, 12	mp3an13 1338	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((i · 𝑦) · 1) = (i · (𝑦 · 1)))
14	4, 13	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((i · 𝑦) · 1) = (i · (𝑦 · 1)))
15		ax-1rid 7932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 · 1) = 𝑦)
16	15	oveq2d 5904	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · (𝑦 · 1)) = (i · 𝑦))
17	14, 16	eqtrd 2220	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((i · 𝑦) · 1) = (i · 𝑦))
18	11, 17	oveqan12d 5907	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 · 1) + ((i · 𝑦) · 1)) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
19	10, 18	eqtrd 2220	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) · 1) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
20		oveq1 5895	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 · 1) = ((𝑥 + (i · 𝑦)) · 1))
21		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
22	20, 21	eqeq12d 2202	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((𝐴 · 1) = 𝐴 ↔ ((𝑥 + (i · 𝑦)) · 1) = (𝑥 + (i · 𝑦))))
23	19, 22	syl5ibrcom 157	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 · 1) = 𝐴))
24	23	rexlimivv 2610	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
25	1, 24	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  ∃wrex 2466  (class class class)co 5888  ℂcc 7823  ℝcr 7824  1c1 7826  ici 7827   + caddc 7828   · cmul 7830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-ext 2169  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-mulcl 7923  ax-mulcom 7926  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-1rid 7932  ax-cnre 7936

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-iota 5190  df-fv 5236  df-ov 5891

This theorem is referenced by:  mullid  7969  mulid1i  7973  mulridd  7988  muleqadd  8639  divdivap1  8694  conjmulap  8700  nnmulcl  8954  expmul  10579  binom21  10647  binom2sub1  10649  bernneq  10655  hashiun  11500  fproddccvg  11594  prodmodclem2a  11598  efexp  11704  cncrng  13802  cnfld1  13805  ecxp  14675  lgsdilem2  14790