ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  abssinper GIF version

Theorem abssinper 13365
Description: The absolute value of sine has period π. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
abssinper ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (𝐾 · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))

Proof of Theorem abssinper
StepHypRef Expression
1 zcn 9190 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
2 halfcl 9077 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 / 2) ∈ ℂ)
3 2cn 8922 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
4 picn 13306 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℂ
5 mulass 7878 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (((𝐾 / 2) · 2) · π) = ((𝐾 / 2) · (2 · π)))
63, 4, 5mp3an23 1318 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 / 2) ∈ ℂ → (((𝐾 / 2) · 2) · π) = ((𝐾 / 2) · (2 · π)))
72, 6syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℂ → (((𝐾 / 2) · 2) · π) = ((𝐾 / 2) · (2 · π)))
8 2ap0 8944 . . . . . . . . . . . . 13 2 # 0
9 divcanap1 8571 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0) → ((𝐾 / 2) · 2) = 𝐾)
103, 8, 9mp3an23 1318 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 / 2) · 2) = 𝐾)
1110oveq1d 5854 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℂ → (((𝐾 / 2) · 2) · π) = (𝐾 · π))
127, 11eqtr3d 2199 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 / 2) · (2 · π)) = (𝐾 · π))
131, 12syl 14 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 / 2) · (2 · π)) = (𝐾 · π))
1413adantl 275 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 / 2) · (2 · π)) = (𝐾 · π))
1514oveq2d 5855 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐴 + ((𝐾 / 2) · (2 · π))) = (𝐴 + (𝐾 · π)))
1615fveq2d 5487 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + ((𝐾 / 2) · (2 · π)))) = (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))))
1716eqcomd 2170 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))) = (sin‘(𝐴 + ((𝐾 / 2) · (2 · π)))))
1817adantr 274 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))) = (sin‘(𝐴 + ((𝐾 / 2) · (2 · π)))))
19 sinper 13328 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐾 / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + ((𝐾 / 2) · (2 · π)))) = (sin‘𝐴))
2019adantlr 469 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + ((𝐾 / 2) · (2 · π)))) = (sin‘𝐴))
2118, 20eqtrd 2197 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))) = (sin‘𝐴))
2221fveq2d 5487 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 / 2) ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (𝐾 · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))
23 peano2cn 8027 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 + 1) ∈ ℂ)
24 halfcl 9077 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 + 1) ∈ ℂ → ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℂ)
2523, 24syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℂ)
263, 4mulcli 7898 . . . . . . . . . . 11 (2 · π) ∈ ℂ
27 mulcl 7874 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ) → (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) ∈ ℂ)
2825, 26, 27sylancl 410 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℂ → (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) ∈ ℂ)
29 subadd23 8104 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) ∈ ℂ) → ((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π))) = (𝐴 + ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π)))
304, 29mp3an2 1314 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) ∈ ℂ) → ((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π))) = (𝐴 + ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π)))
3128, 30sylan2 284 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π))) = (𝐴 + ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π)))
32 divcanap1 8571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 + 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0) → (((𝐾 + 1) / 2) · 2) = (𝐾 + 1))
333, 8, 32mp3an23 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 + 1) ∈ ℂ → (((𝐾 + 1) / 2) · 2) = (𝐾 + 1))
3423, 33syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ ℂ → (((𝐾 + 1) / 2) · 2) = (𝐾 + 1))
3534oveq1d 5854 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ ℂ → ((((𝐾 + 1) / 2) · 2) · π) = ((𝐾 + 1) · π))
36 ax-1cn 7840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℂ
37 adddir 7884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → ((𝐾 + 1) · π) = ((𝐾 · π) + (1 · π)))
3836, 4, 37mp3an23 1318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 + 1) · π) = ((𝐾 · π) + (1 · π)))
3935, 38eqtrd 2197 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ ℂ → ((((𝐾 + 1) / 2) · 2) · π) = ((𝐾 · π) + (1 · π)))
404mulid2i 7896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 · π) = π
4140oveq2i 5850 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 · π) + (1 · π)) = ((𝐾 · π) + π)
4239, 41eqtr2di 2214 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 · π) + π) = ((((𝐾 + 1) / 2) · 2) · π))
43 mulass 7878 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → ((((𝐾 + 1) / 2) · 2) · π) = (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))
443, 4, 43mp3an23 1318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℂ → ((((𝐾 + 1) / 2) · 2) · π) = (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))
4525, 44syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℂ → ((((𝐾 + 1) / 2) · 2) · π) = (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))
4642, 45eqtr2d 2198 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℂ → (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) = ((𝐾 · π) + π))
4746oveq1d 5854 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℂ → ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π) = (((𝐾 · π) + π) − π))
48 mulcl 7874 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (𝐾 · π) ∈ ℂ)
494, 48mpan2 422 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 · π) ∈ ℂ)
50 pncan 8098 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 · π) ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (((𝐾 · π) + π) − π) = (𝐾 · π))
5149, 4, 50sylancl 410 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℂ → (((𝐾 · π) + π) − π) = (𝐾 · π))
5247, 51eqtrd 2197 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℂ → ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π) = (𝐾 · π))
5352adantl 275 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π) = (𝐾 · π))
5453oveq2d 5855 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐴 + ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π)) = (𝐴 + (𝐾 · π)))
5531, 54eqtr2d 2198 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐾 · π)) = ((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π))))
561, 55sylan2 284 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐴 + (𝐾 · π)) = ((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π))))
5756fveq2d 5487 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))) = (sin‘((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))))
5857adantr 274 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))) = (sin‘((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))))
59 subcl 8091 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (𝐴 − π) ∈ ℂ)
604, 59mpan2 422 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − π) ∈ ℂ)
61 sinper 13328 . . . . . . . 8 (((𝐴 − π) ∈ ℂ ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))) = (sin‘(𝐴 − π)))
6260, 61sylan 281 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))) = (sin‘(𝐴 − π)))
6362adantlr 469 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))) = (sin‘(𝐴 − π)))
64 sinmpi 13334 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(𝐴 − π)) = -(sin‘𝐴))
6564ad2antrr 480 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 − π)) = -(sin‘𝐴))
6663, 65eqtrd 2197 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))) = -(sin‘𝐴))
6758, 66eqtrd 2197 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))) = -(sin‘𝐴))
6867fveq2d 5487 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (𝐾 · π)))) = (abs‘-(sin‘𝐴)))
69 sincl 11641 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
7069absnegd 11125 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-(sin‘𝐴)) = (abs‘(sin‘𝐴)))
7170ad2antrr 480 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (abs‘-(sin‘𝐴)) = (abs‘(sin‘𝐴)))
7268, 71eqtrd 2197 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (𝐾 · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))
73 zeo 9290 . . 3 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ))
7473adantl 275 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ))
7522, 72, 74mpjaodan 788 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (𝐾 · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wo 698   = wceq 1342  wcel 2135   class class class wbr 3979  cfv 5185  (class class class)co 5839  cc 7745  0cc0 7747  1c1 7748   + caddc 7750   · cmul 7752  cmin 8063  -cneg 8064   # cap 8473   / cdiv 8562  2c2 8902  cz 9185  abscabs 10933  sincsin 11579  πcpi 11582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4094  ax-sep 4097  ax-nul 4105  ax-pow 4150  ax-pr 4184  ax-un 4408  ax-setind 4511  ax-iinf 4562  ax-cnex 7838  ax-resscn 7839  ax-1cn 7840  ax-1re 7841  ax-icn 7842  ax-addcl 7843  ax-addrcl 7844  ax-mulcl 7845  ax-mulrcl 7846  ax-addcom 7847  ax-mulcom 7848  ax-addass 7849  ax-mulass 7850  ax-distr 7851  ax-i2m1 7852  ax-0lt1 7853  ax-1rid 7854  ax-0id 7855  ax-rnegex 7856  ax-precex 7857  ax-cnre 7858  ax-pre-ltirr 7859  ax-pre-ltwlin 7860  ax-pre-lttrn 7861  ax-pre-apti 7862  ax-pre-ltadd 7863  ax-pre-mulgt0 7864  ax-pre-mulext 7865  ax-arch 7866  ax-caucvg 7867  ax-pre-suploc 7868  ax-addf 7869  ax-mulf 7870
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2726  df-sbc 2950  df-csb 3044  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3408  df-if 3519  df-pw 3558  df-sn 3579  df-pr 3580  df-op 3582  df-uni 3787  df-int 3822  df-iun 3865  df-disj 3957  df-br 3980  df-opab 4041  df-mpt 4042  df-tr 4078  df-id 4268  df-po 4271  df-iso 4272  df-iord 4341  df-on 4343  df-ilim 4344  df-suc 4346  df-iom 4565  df-xp 4607  df-rel 4608  df-cnv 4609  df-co 4610  df-dm 4611  df-rn 4612  df-res 4613  df-ima 4614  df-iota 5150  df-fun 5187  df-fn 5188  df-f 5189  df-f1 5190  df-fo 5191  df-f1o 5192  df-fv 5193  df-isom 5194  df-riota 5795  df-ov 5842  df-oprab 5843  df-mpo 5844  df-of 6047  df-1st 6103  df-2nd 6104  df-recs 6267  df-irdg 6332  df-frec 6353  df-1o 6378  df-oadd 6382  df-er 6495  df-map 6610  df-pm 6611  df-en 6701  df-dom 6702  df-fin 6703  df-sup 6943  df-inf 6944  df-pnf 7929  df-mnf 7930  df-xr 7931  df-ltxr 7932  df-le 7933  df-sub 8065  df-neg 8066  df-reap 8467  df-ap 8474  df-div 8563  df-inn 8852  df-2 8910  df-3 8911  df-4 8912  df-5 8913  df-6 8914  df-7 8915  df-8 8916  df-9 8917  df-n0 9109  df-z 9186  df-uz 9461  df-q 9552  df-rp 9584  df-xneg 9702  df-xadd 9703  df-ioo 9822  df-ioc 9823  df-ico 9824  df-icc 9825  df-fz 9939  df-fzo 10072  df-seqfrec 10375  df-exp 10449  df-fac 10633  df-bc 10655  df-ihash 10683  df-shft 10751  df-cj 10778  df-re 10779  df-im 10780  df-rsqrt 10934  df-abs 10935  df-clim 11214  df-sumdc 11289  df-ef 11583  df-sin 11585  df-cos 11586  df-pi 11588  df-rest 12551  df-topgen 12570  df-psmet 12585  df-xmet 12586  df-met 12587  df-bl 12588  df-mopn 12589  df-top 12594  df-topon 12607  df-bases 12639  df-ntr 12694  df-cn 12786  df-cnp 12787  df-tx 12851  df-cncf 13156  df-limced 13223  df-dvap 13224
This theorem is referenced by:  sinkpi  13366
  Copyright terms: Public domain W3C validator