Theorem abssinper 16090

Description: The absolute value of sine has period π. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
abssinper	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (𝐾 · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))

Proof of Theorem abssinper

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9658	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
2		halfcl 9542	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 / 2) ∈ ℂ)
3		2cn 9384	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		picn 16031	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℂ
5		mulass 8316	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (((𝐾 / 2) · 2) · π) = ((𝐾 / 2) · (2 · π)))
6	3, 4, 5	mp3an23 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 / 2) ∈ ℂ → (((𝐾 / 2) · 2) · π) = ((𝐾 / 2) · (2 · π)))
7	2, 6	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (((𝐾 / 2) · 2) · π) = ((𝐾 / 2) · (2 · π)))
8		2ap0 9406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 # 0
9		divcanap1 9019	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0) → ((𝐾 / 2) · 2) = 𝐾)
10	3, 8, 9	mp3an23 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 / 2) · 2) = 𝐾)
11	10	oveq1d 6103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (((𝐾 / 2) · 2) · π) = (𝐾 · π))
12	7, 11	eqtr3d 2273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 / 2) · (2 · π)) = (𝐾 · π))
13	1, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 / 2) · (2 · π)) = (𝐾 · π))
14	13	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 / 2) · (2 · π)) = (𝐾 · π))
15	14	oveq2d 6104	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐴 + ((𝐾 / 2) · (2 · π))) = (𝐴 + (𝐾 · π)))
16	15	fveq2d 5702	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + ((𝐾 / 2) · (2 · π)))) = (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))))
17	16	eqcomd 2244	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))) = (sin‘(𝐴 + ((𝐾 / 2) · (2 · π)))))
18	17	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))) = (sin‘(𝐴 + ((𝐾 / 2) · (2 · π)))))
19		sinper 16053	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐾 / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + ((𝐾 / 2) · (2 · π)))) = (sin‘𝐴))
20	19	adantlr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + ((𝐾 / 2) · (2 · π)))) = (sin‘𝐴))
21	18, 20	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))) = (sin‘𝐴))
22	21	fveq2d 5702	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 / 2) ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (𝐾 · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))
23		peano2cn 8468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 + 1) ∈ ℂ)
24		halfcl 9542	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 + 1) ∈ ℂ → ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℂ)
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℂ)
26	3, 4	mulcli 8337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
27		mulcl 8312	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ) → (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) ∈ ℂ)
28	25, 26, 27	sylancl 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) ∈ ℂ)
29		subadd23 8545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) ∈ ℂ) → ((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π))) = (𝐴 + ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π)))
30	4, 29	mp3an2 1366	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) ∈ ℂ) → ((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π))) = (𝐴 + ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π)))
31	28, 30	sylan2 286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π))) = (𝐴 + ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π)))
32		divcanap1 9019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0) → (((𝐾 + 1) / 2) · 2) = (𝐾 + 1))
33	3, 8, 32	mp3an23 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 + 1) ∈ ℂ → (((𝐾 + 1) / 2) · 2) = (𝐾 + 1))
34	23, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (((𝐾 + 1) / 2) · 2) = (𝐾 + 1))
35	34	oveq1d 6103	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → ((((𝐾 + 1) / 2) · 2) · π) = ((𝐾 + 1) · π))
36		ax-1cn 8278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℂ
37		adddir 8323	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → ((𝐾 + 1) · π) = ((𝐾 · π) + (1 · π)))
38	36, 4, 37	mp3an23 1370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 + 1) · π) = ((𝐾 · π) + (1 · π)))
39	35, 38	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → ((((𝐾 + 1) / 2) · 2) · π) = ((𝐾 · π) + (1 · π)))
40	4	mullidi 8335	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 · π) = π
41	40	oveq2i 6099	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 · π) + (1 · π)) = ((𝐾 · π) + π)
42	39, 41	eqtr2di 2288	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 · π) + π) = ((((𝐾 + 1) / 2) · 2) · π))
43		mulass 8316	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → ((((𝐾 + 1) / 2) · 2) · π) = (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))
44	3, 4, 43	mp3an23 1370	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℂ → ((((𝐾 + 1) / 2) · 2) · π) = (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))
45	25, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → ((((𝐾 + 1) / 2) · 2) · π) = (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))
46	42, 45	eqtr2d 2272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) = ((𝐾 · π) + π))
47	46	oveq1d 6103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π) = (((𝐾 · π) + π) − π))
48		mulcl 8312	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (𝐾 · π) ∈ ℂ)
49	4, 48	mpan2 429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 · π) ∈ ℂ)
50		pncan 8539	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 · π) ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (((𝐾 · π) + π) − π) = (𝐾 · π))
51	49, 4, 50	sylancl 417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (((𝐾 · π) + π) − π) = (𝐾 · π))
52	47, 51	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π) = (𝐾 · π))
53	52	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π) = (𝐾 · π))
54	53	oveq2d 6104	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐴 + ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π)) = (𝐴 + (𝐾 · π)))
55	31, 54	eqtr2d 2272	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐾 · π)) = ((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π))))
56	1, 55	sylan2 286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐴 + (𝐾 · π)) = ((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π))))
57	56	fveq2d 5702	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))) = (sin‘((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))))
58	57	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))) = (sin‘((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))))
59		subcl 8532	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (𝐴 − π) ∈ ℂ)
60	4, 59	mpan2 429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − π) ∈ ℂ)
61		sinper 16053	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − π) ∈ ℂ ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))) = (sin‘(𝐴 − π)))
62	60, 61	sylan 283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))) = (sin‘(𝐴 − π)))
63	62	adantlr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))) = (sin‘(𝐴 − π)))
64		sinmpi 16059	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(𝐴 − π)) = -(sin‘𝐴))
65	64	ad2antrr 492	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 − π)) = -(sin‘𝐴))
66	63, 65	eqtrd 2271	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))) = -(sin‘𝐴))
67	58, 66	eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))) = -(sin‘𝐴))
68	67	fveq2d 5702	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (𝐾 · π)))) = (abs‘ -(sin‘𝐴)))
69		sincl 12497	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
70	69	absnegd 11977	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘ -(sin‘𝐴)) = (abs‘(sin‘𝐴)))
71	70	ad2antrr 492	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (abs‘ -(sin‘𝐴)) = (abs‘(sin‘𝐴)))
72	68, 71	eqtrd 2271	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (𝐾 · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))
73		zeo 9761	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ))
74	73	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ))
75	22, 72, 74	mpjaodan 810	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (𝐾 · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℂcc 8183  0cc0 8185  1c1 8186   + caddc 8188   · cmul 8190   − cmin 8504   -cneg 8505   # cap 8917   / cdiv 9010  2c2 9364  ℤcz 9653  abscabs 11784  sincsin 12435  πcpi 12438

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305  ax-pre-suploc 8306  ax-addf 8307  ax-mulf 8308

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6581  df-irdg 6646  df-frec 6667  df-1o 6692  df-oadd 6696  df-er 6812  df-map 6929  df-pm 6930  df-en 7029  df-dom 7030  df-fin 7031  df-sup 7330  df-inf 7331  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9654  df-uz 9937  df-q 10035  df-rp 10071  df-xneg 10190  df-xadd 10191  df-ioo 10310  df-ioc 10311  df-ico 10312  df-icc 10313  df-fz 10428  df-fzo 10566  df-seqfrec 10905  df-exp 10996  df-fac 11185  df-bc 11207  df-ihash 11236  df-shft 11601  df-cj 11628  df-re 11629  df-im 11630  df-rsqrt 11785  df-abs 11786  df-clim 12069  df-sumdc 12144  df-ef 12439  df-sin 12441  df-cos 12442  df-pi 12444  df-rest 13653  df-topgen 13672  df-psmet 14988  df-xmet 14989  df-met 14990  df-bl 14991  df-mopn 14992  df-top 15241  df-topon 15254  df-bases 15286  df-ntr 15339  df-cn 15431  df-cnp 15432  df-tx 15496  df-cncf 15814  df-limced 15899  df-dvap 15900

This theorem is used by:  sinkpi  16091