Theorem sincosq1eq 14448

Description: Complementarity of the sine and cosine functions in the first quadrant. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sincosq1eq	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) = 1) → (sin‘(𝐴 · (π / 2))) = (cos‘(𝐵 · (π / 2))))

Proof of Theorem sincosq1eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfpire 14401	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
2	1	recni 7972	. . . . 5 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
3		mulcl 7941	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (π / 2) ∈ ℂ) → (𝐴 · (π / 2)) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan2 425	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (π / 2)) ∈ ℂ)
5		coshalfpim 14432	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · (π / 2)) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) − (𝐴 · (π / 2)))) = (sin‘(𝐴 · (π / 2))))
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) − (𝐴 · (π / 2)))) = (sin‘(𝐴 · (π / 2))))
7	6	3ad2ant1 1018	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) = 1) → (cos‘((π / 2) − (𝐴 · (π / 2)))) = (sin‘(𝐴 · (π / 2))))
8		adddir 7951	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (π / 2) ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · (π / 2)) = ((𝐴 · (π / 2)) + (𝐵 · (π / 2))))
9	2, 8	mp3an3 1326	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · (π / 2)) = ((𝐴 · (π / 2)) + (𝐵 · (π / 2))))
10	9	3adant3 1017	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) = 1) → ((𝐴 + 𝐵) · (π / 2)) = ((𝐴 · (π / 2)) + (𝐵 · (π / 2))))
11		oveq1 5885	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) = 1 → ((𝐴 + 𝐵) · (π / 2)) = (1 · (π / 2)))
12	2	mullidi 7963	. . . . . . 7 ⊢ (1 · (π / 2)) = (π / 2)
13	11, 12	eqtrdi 2226	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) = 1 → ((𝐴 + 𝐵) · (π / 2)) = (π / 2))
14	13	3ad2ant3 1020	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) = 1) → ((𝐴 + 𝐵) · (π / 2)) = (π / 2))
15	10, 14	eqtr3d 2212	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) = 1) → ((𝐴 · (π / 2)) + (𝐵 · (π / 2))) = (π / 2))
16		mulcl 7941	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (π / 2) ∈ ℂ) → (𝐵 · (π / 2)) ∈ ℂ)
17	2, 16	mpan2 425	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 · (π / 2)) ∈ ℂ)
18		subadd 8163	. . . . . 6 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · (π / 2)) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · (π / 2)) ∈ ℂ) → (((π / 2) − (𝐴 · (π / 2))) = (𝐵 · (π / 2)) ↔ ((𝐴 · (π / 2)) + (𝐵 · (π / 2))) = (π / 2)))
19	2, 4, 17, 18	mp3an3an 1343	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((π / 2) − (𝐴 · (π / 2))) = (𝐵 · (π / 2)) ↔ ((𝐴 · (π / 2)) + (𝐵 · (π / 2))) = (π / 2)))
20	19	3adant3 1017	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) = 1) → (((π / 2) − (𝐴 · (π / 2))) = (𝐵 · (π / 2)) ↔ ((𝐴 · (π / 2)) + (𝐵 · (π / 2))) = (π / 2)))
21	15, 20	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) = 1) → ((π / 2) − (𝐴 · (π / 2))) = (𝐵 · (π / 2)))
22	21	fveq2d 5521	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) = 1) → (cos‘((π / 2) − (𝐴 · (π / 2)))) = (cos‘(𝐵 · (π / 2))))
23	7, 22	eqtr3d 2212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) = 1) → (sin‘(𝐴 · (π / 2))) = (cos‘(𝐵 · (π / 2))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ‘cfv 5218  (class class class)co 5878  ℂcc 7812  1c1 7815   + caddc 7817   · cmul 7819   − cmin 8131   / cdiv 8632  2c2 8973  sincsin 11655  cosccos 11656  πcpi 11658

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934  ax-pre-suploc 7935  ax-addf 7936  ax-mulf 7937

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-disj 3983  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-of 6086  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-irdg 6374  df-frec 6395  df-1o 6420  df-oadd 6424  df-er 6538  df-map 6653  df-pm 6654  df-en 6744  df-dom 6745  df-fin 6746  df-sup 6986  df-inf 6987  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-5 8984  df-6 8985  df-7 8986  df-8 8987  df-9 8988  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-xneg 9775  df-xadd 9776  df-ioo 9895  df-ioc 9896  df-ico 9897  df-icc 9898  df-fz 10012  df-fzo 10146  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-fac 10709  df-bc 10731  df-ihash 10759  df-shft 10827  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-clim 11290  df-sumdc 11365  df-ef 11659  df-sin 11661  df-cos 11662  df-pi 11664  df-rest 12696  df-topgen 12715  df-psmet 13621  df-xmet 13622  df-met 13623  df-bl 13624  df-mopn 13625  df-top 13686  df-topon 13699  df-bases 13731  df-ntr 13784  df-cn 13876  df-cnp 13877  df-tx 13941  df-cncf 14246  df-limced 14313  df-dvap 14314

This theorem is referenced by:  sincos4thpi  14449  sincos6thpi  14451