ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sincosq1eq GIF version

Theorem sincosq1eq 13358
Description: Complementarity of the sine and cosine functions in the first quadrant. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincosq1eq ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) = 1) → (sin‘(𝐴 · (π / 2))) = (cos‘(𝐵 · (π / 2))))

Proof of Theorem sincosq1eq
StepHypRef Expression
1 halfpire 13311 . . . . . 6 (π / 2) ∈ ℝ
21recni 7905 . . . . 5 (π / 2) ∈ ℂ
3 mulcl 7874 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (π / 2) ∈ ℂ) → (𝐴 · (π / 2)) ∈ ℂ)
42, 3mpan2 422 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (π / 2)) ∈ ℂ)
5 coshalfpim 13342 . . . 4 ((𝐴 · (π / 2)) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) − (𝐴 · (π / 2)))) = (sin‘(𝐴 · (π / 2))))
64, 5syl 14 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) − (𝐴 · (π / 2)))) = (sin‘(𝐴 · (π / 2))))
763ad2ant1 1007 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) = 1) → (cos‘((π / 2) − (𝐴 · (π / 2)))) = (sin‘(𝐴 · (π / 2))))
8 adddir 7884 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (π / 2) ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · (π / 2)) = ((𝐴 · (π / 2)) + (𝐵 · (π / 2))))
92, 8mp3an3 1315 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · (π / 2)) = ((𝐴 · (π / 2)) + (𝐵 · (π / 2))))
1093adant3 1006 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) = 1) → ((𝐴 + 𝐵) · (π / 2)) = ((𝐴 · (π / 2)) + (𝐵 · (π / 2))))
11 oveq1 5846 . . . . . . 7 ((𝐴 + 𝐵) = 1 → ((𝐴 + 𝐵) · (π / 2)) = (1 · (π / 2)))
122mulid2i 7896 . . . . . . 7 (1 · (π / 2)) = (π / 2)
1311, 12eqtrdi 2213 . . . . . 6 ((𝐴 + 𝐵) = 1 → ((𝐴 + 𝐵) · (π / 2)) = (π / 2))
14133ad2ant3 1009 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) = 1) → ((𝐴 + 𝐵) · (π / 2)) = (π / 2))
1510, 14eqtr3d 2199 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) = 1) → ((𝐴 · (π / 2)) + (𝐵 · (π / 2))) = (π / 2))
16 mulcl 7874 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (π / 2) ∈ ℂ) → (𝐵 · (π / 2)) ∈ ℂ)
172, 16mpan2 422 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 · (π / 2)) ∈ ℂ)
18 subadd 8095 . . . . . 6 (((π / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · (π / 2)) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · (π / 2)) ∈ ℂ) → (((π / 2) − (𝐴 · (π / 2))) = (𝐵 · (π / 2)) ↔ ((𝐴 · (π / 2)) + (𝐵 · (π / 2))) = (π / 2)))
192, 4, 17, 18mp3an3an 1332 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((π / 2) − (𝐴 · (π / 2))) = (𝐵 · (π / 2)) ↔ ((𝐴 · (π / 2)) + (𝐵 · (π / 2))) = (π / 2)))
20193adant3 1006 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) = 1) → (((π / 2) − (𝐴 · (π / 2))) = (𝐵 · (π / 2)) ↔ ((𝐴 · (π / 2)) + (𝐵 · (π / 2))) = (π / 2)))
2115, 20mpbird 166 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) = 1) → ((π / 2) − (𝐴 · (π / 2))) = (𝐵 · (π / 2)))
2221fveq2d 5487 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) = 1) → (cos‘((π / 2) − (𝐴 · (π / 2)))) = (cos‘(𝐵 · (π / 2))))
237, 22eqtr3d 2199 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) = 1) → (sin‘(𝐴 · (π / 2))) = (cos‘(𝐵 · (π / 2))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104  w3a 967   = wceq 1342  wcel 2135  cfv 5185  (class class class)co 5839  cc 7745  1c1 7748   + caddc 7750   · cmul 7752  cmin 8063   / cdiv 8562  2c2 8902  sincsin 11579  cosccos 11580  πcpi 11582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4094  ax-sep 4097  ax-nul 4105  ax-pow 4150  ax-pr 4184  ax-un 4408  ax-setind 4511  ax-iinf 4562  ax-cnex 7838  ax-resscn 7839  ax-1cn 7840  ax-1re 7841  ax-icn 7842  ax-addcl 7843  ax-addrcl 7844  ax-mulcl 7845  ax-mulrcl 7846  ax-addcom 7847  ax-mulcom 7848  ax-addass 7849  ax-mulass 7850  ax-distr 7851  ax-i2m1 7852  ax-0lt1 7853  ax-1rid 7854  ax-0id 7855  ax-rnegex 7856  ax-precex 7857  ax-cnre 7858  ax-pre-ltirr 7859  ax-pre-ltwlin 7860  ax-pre-lttrn 7861  ax-pre-apti 7862  ax-pre-ltadd 7863  ax-pre-mulgt0 7864  ax-pre-mulext 7865  ax-arch 7866  ax-caucvg 7867  ax-pre-suploc 7868  ax-addf 7869  ax-mulf 7870
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2726  df-sbc 2950  df-csb 3044  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3408  df-if 3519  df-pw 3558  df-sn 3579  df-pr 3580  df-op 3582  df-uni 3787  df-int 3822  df-iun 3865  df-disj 3957  df-br 3980  df-opab 4041  df-mpt 4042  df-tr 4078  df-id 4268  df-po 4271  df-iso 4272  df-iord 4341  df-on 4343  df-ilim 4344  df-suc 4346  df-iom 4565  df-xp 4607  df-rel 4608  df-cnv 4609  df-co 4610  df-dm 4611  df-rn 4612  df-res 4613  df-ima 4614  df-iota 5150  df-fun 5187  df-fn 5188  df-f 5189  df-f1 5190  df-fo 5191  df-f1o 5192  df-fv 5193  df-isom 5194  df-riota 5795  df-ov 5842  df-oprab 5843  df-mpo 5844  df-of 6047  df-1st 6103  df-2nd 6104  df-recs 6267  df-irdg 6332  df-frec 6353  df-1o 6378  df-oadd 6382  df-er 6495  df-map 6610  df-pm 6611  df-en 6701  df-dom 6702  df-fin 6703  df-sup 6943  df-inf 6944  df-pnf 7929  df-mnf 7930  df-xr 7931  df-ltxr 7932  df-le 7933  df-sub 8065  df-neg 8066  df-reap 8467  df-ap 8474  df-div 8563  df-inn 8852  df-2 8910  df-3 8911  df-4 8912  df-5 8913  df-6 8914  df-7 8915  df-8 8916  df-9 8917  df-n0 9109  df-z 9186  df-uz 9461  df-q 9552  df-rp 9584  df-xneg 9702  df-xadd 9703  df-ioo 9822  df-ioc 9823  df-ico 9824  df-icc 9825  df-fz 9939  df-fzo 10072  df-seqfrec 10375  df-exp 10449  df-fac 10633  df-bc 10655  df-ihash 10683  df-shft 10751  df-cj 10778  df-re 10779  df-im 10780  df-rsqrt 10934  df-abs 10935  df-clim 11214  df-sumdc 11289  df-ef 11583  df-sin 11585  df-cos 11586  df-pi 11588  df-rest 12551  df-topgen 12570  df-psmet 12585  df-xmet 12586  df-met 12587  df-bl 12588  df-mopn 12589  df-top 12594  df-topon 12607  df-bases 12639  df-ntr 12694  df-cn 12786  df-cnp 12787  df-tx 12851  df-cncf 13156  df-limced 13223  df-dvap 13224
This theorem is referenced by:  sincos4thpi  13359  sincos6thpi  13361
  Copyright terms: Public domain W3C validator