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Theorem odd2np1lem 11831
Description: Lemma for odd2np1 11832. (Contributed by Scott Fenton, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
odd2np1lem (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑛,𝑁

Proof of Theorem odd2np1lem
Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2180 . . . 4 (𝑗 = 0 → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = 0))
21rexbidv 2471 . . 3 (𝑗 = 0 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 0))
3 eqeq2 2180 . . . 4 (𝑗 = 0 → ((𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ (𝑘 · 2) = 0))
43rexbidv 2471 . . 3 (𝑗 = 0 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 0))
52, 4orbi12d 788 . 2 (𝑗 = 0 → ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗) ↔ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 0 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 0)))
6 eqeq2 2180 . . . . 5 (𝑗 = 𝑚 → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑚))
76rexbidv 2471 . . . 4 (𝑗 = 𝑚 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑚))
8 oveq2 5861 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑥 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑥))
98oveq1d 5868 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑥 → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑥) + 1))
109eqeq1d 2179 . . . . 5 (𝑛 = 𝑥 → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑚 ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚))
1110cbvrexv 2697 . . . 4 (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑚 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚)
127, 11bitrdi 195 . . 3 (𝑗 = 𝑚 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚))
13 eqeq2 2180 . . . . 5 (𝑗 = 𝑚 → ((𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ (𝑘 · 2) = 𝑚))
1413rexbidv 2471 . . . 4 (𝑗 = 𝑚 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑚))
15 oveq1 5860 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑦 → (𝑘 · 2) = (𝑦 · 2))
1615eqeq1d 2179 . . . . 5 (𝑘 = 𝑦 → ((𝑘 · 2) = 𝑚 ↔ (𝑦 · 2) = 𝑚))
1716cbvrexv 2697 . . . 4 (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑚 ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚)
1814, 17bitrdi 195 . . 3 (𝑗 = 𝑚 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚))
1912, 18orbi12d 788 . 2 (𝑗 = 𝑚 → ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗) ↔ (∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 ∨ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚)))
20 eqeq2 2180 . . . 4 (𝑗 = (𝑚 + 1) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
2120rexbidv 2471 . . 3 (𝑗 = (𝑚 + 1) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
22 eqeq2 2180 . . . 4 (𝑗 = (𝑚 + 1) → ((𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1)))
2322rexbidv 2471 . . 3 (𝑗 = (𝑚 + 1) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1)))
2421, 23orbi12d 788 . 2 (𝑗 = (𝑚 + 1) → ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗) ↔ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1) ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1))))
25 eqeq2 2180 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
2625rexbidv 2471 . . 3 (𝑗 = 𝑁 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
27 eqeq2 2180 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ (𝑘 · 2) = 𝑁))
2827rexbidv 2471 . . 3 (𝑗 = 𝑁 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
2926, 28orbi12d 788 . 2 (𝑗 = 𝑁 → ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗) ↔ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)))
30 0z 9223 . . . 4 0 ∈ ℤ
31 2cn 8949 . . . . 5 2 ∈ ℂ
3231mul02i 8309 . . . 4 (0 · 2) = 0
33 oveq1 5860 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (𝑘 · 2) = (0 · 2))
3433eqeq1d 2179 . . . . 5 (𝑘 = 0 → ((𝑘 · 2) = 0 ↔ (0 · 2) = 0))
3534rspcev 2834 . . . 4 ((0 ∈ ℤ ∧ (0 · 2) = 0) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 0)
3630, 32, 35mp2an 424 . . 3 𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 0
3736olci 727 . 2 (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 0 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 0)
38 orcom 723 . . 3 ((∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 ∨ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚) ↔ (∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚 ∨ ∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚))
39 zcn 9217 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
40 mulcom 7903 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑦 · 2) = (2 · 𝑦))
4139, 31, 40sylancl 411 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 · 2) = (2 · 𝑦))
4241adantl 275 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 · 2) = (2 · 𝑦))
4342eqeq1d 2179 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 2) = 𝑚 ↔ (2 · 𝑦) = 𝑚))
44 eqid 2170 . . . . . . . . 9 ((2 · 𝑦) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1)
45 oveq2 5861 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑦 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑦))
4645oveq1d 5868 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑦 → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1))
4746eqeq1d 2179 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑦 → (((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1) ↔ ((2 · 𝑦) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1)))
4847rspcev 2834 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑦) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1)) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1))
4944, 48mpan2 423 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℤ → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1))
50 oveq1 5860 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑦) = 𝑚 → ((2 · 𝑦) + 1) = (𝑚 + 1))
5150eqeq2d 2182 . . . . . . . . 9 ((2 · 𝑦) = 𝑚 → (((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
5251rexbidv 2471 . . . . . . . 8 ((2 · 𝑦) = 𝑚 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
5349, 52syl5ibcom 154 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℤ → ((2 · 𝑦) = 𝑚 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
5453adantl 275 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑦) = 𝑚 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
5543, 54sylbid 149 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 2) = 𝑚 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
5655rexlimdva 2587 . . . 4 (𝑚 ∈ ℕ0 → (∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
57 peano2z 9248 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + 1) ∈ ℤ)
5857adantl 275 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 + 1) ∈ ℤ)
59 zcn 9217 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
60 mulcom 7903 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑥 · 2) = (2 · 𝑥))
6131, 60mpan2 423 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · 2) = (2 · 𝑥))
6231mulid2i 7923 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · 2) = 2
6362a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ → (1 · 2) = 2)
6461, 63oveq12d 5871 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 · 2) + (1 · 2)) = ((2 · 𝑥) + 2))
65 df-2 8937 . . . . . . . . . . . 12 2 = (1 + 1)
6665oveq2i 5864 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝑥) + 2) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1))
6764, 66eqtrdi 2219 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 · 2) + (1 · 2)) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
68 ax-1cn 7867 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
69 adddir 7911 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 1) · 2) = ((𝑥 · 2) + (1 · 2)))
7068, 31, 69mp3an23 1324 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 + 1) · 2) = ((𝑥 · 2) + (1 · 2)))
71 mulcl 7901 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
7231, 71mpan 422 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℂ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
73 addass 7904 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
7468, 68, 73mp3an23 1324 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
7572, 74syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
7667, 70, 753eqtr4d 2213 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 + 1) · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1))
7759, 76syl 14 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 + 1) · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1))
7877adantl 275 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 + 1) · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1))
79 oveq1 5860 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑥 + 1) → (𝑘 · 2) = ((𝑥 + 1) · 2))
8079eqeq1d 2179 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑥 + 1) → ((𝑘 · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1) ↔ ((𝑥 + 1) · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1)))
8180rspcev 2834 . . . . . . 7 (((𝑥 + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑥 + 1) · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1))
8258, 78, 81syl2anc 409 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1))
83 oveq1 5860 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = (𝑚 + 1))
8483eqeq2d 2182 . . . . . . 7 (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 → ((𝑘 · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1) ↔ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1)))
8584rexbidv 2471 . . . . . 6 (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1)))
8682, 85syl5ibcom 154 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1)))
8786rexlimdva 2587 . . . 4 (𝑚 ∈ ℕ0 → (∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1)))
8856, 87orim12d 781 . . 3 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚 ∨ ∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1) ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1))))
8938, 88syl5bi 151 . 2 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 ∨ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1) ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1))))
905, 19, 24, 29, 37, 89nn0ind 9326 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wo 703   = wceq 1348  wcel 2141  wrex 2449  (class class class)co 5853  cc 7772  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777   · cmul 7779  2c2 8929  0cn0 9135  cz 9212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-2 8937  df-n0 9136  df-z 9213
This theorem is referenced by:  odd2np1  11832
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