Theorem odd2np1lem 11890

Description: Lemma for odd2np1 11891. (Contributed by Scott Fenton, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
odd2np1lem	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑛,𝑁

Proof of Theorem odd2np1lem

Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2197	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = 0))
2	1	rexbidv 2488	. . 3 ⊢ (𝑗 = 0 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 0))
3		eqeq2 2197	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ (𝑘 · 2) = 0))
4	3	rexbidv 2488	. . 3 ⊢ (𝑗 = 0 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 0))
5	2, 4	orbi12d 794	. 2 ⊢ (𝑗 = 0 → ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗) ↔ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 0 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 0)))
6		eqeq2 2197	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑚))
7	6	rexbidv 2488	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑚))
8		oveq2 5896	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑥))
9	8	oveq1d 5903	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑥) + 1))
10	9	eqeq1d 2196	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑚 ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚))
11	10	cbvrexv 2716	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑚 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚)
12	7, 11	bitrdi 196	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚))
13		eqeq2 2197	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → ((𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ (𝑘 · 2) = 𝑚))
14	13	rexbidv 2488	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑚))
15		oveq1 5895	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑘 · 2) = (𝑦 · 2))
16	15	eqeq1d 2196	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ((𝑘 · 2) = 𝑚 ↔ (𝑦 · 2) = 𝑚))
17	16	cbvrexv 2716	. . . 4 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑚 ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚)
18	14, 17	bitrdi 196	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚))
19	12, 18	orbi12d 794	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗) ↔ (∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 ∨ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚)))
20		eqeq2 2197	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
21	20	rexbidv 2488	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
22		eqeq2 2197	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → ((𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1)))
23	22	rexbidv 2488	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1)))
24	21, 23	orbi12d 794	. 2 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗) ↔ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1) ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1))))
25		eqeq2 2197	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
26	25	rexbidv 2488	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
27		eqeq2 2197	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ (𝑘 · 2) = 𝑁))
28	27	rexbidv 2488	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
29	26, 28	orbi12d 794	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗) ↔ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)))
30		0z 9277	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
31		2cn 9003	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
32	31	mul02i 8360	. . . 4 ⊢ (0 · 2) = 0
33		oveq1 5895	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 · 2) = (0 · 2))
34	33	eqeq1d 2196	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘 · 2) = 0 ↔ (0 · 2) = 0))
35	34	rspcev 2853	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (0 · 2) = 0) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 0)
36	30, 32, 35	mp2an 426	. . 3 ⊢ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 0
37	36	olci 733	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 0 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 0)
38		orcom 729	. . 3 ⊢ ((∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 ∨ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚) ↔ (∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚 ∨ ∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚))
39		zcn 9271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
40		mulcom 7953	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑦 · 2) = (2 · 𝑦))
41	39, 31, 40	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 · 2) = (2 · 𝑦))
42	41	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 · 2) = (2 · 𝑦))
43	42	eqeq1d 2196	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 2) = 𝑚 ↔ (2 · 𝑦) = 𝑚))
44		eqid 2187	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 𝑦) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1)
45		oveq2 5896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑦))
46	45	oveq1d 5903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1))
47	46	eqeq1d 2196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1) ↔ ((2 · 𝑦) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1)))
48	47	rspcev 2853	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑦) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1)) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1))
49	44, 48	mpan2 425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1))
50		oveq1 5895	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑦) = 𝑚 → ((2 · 𝑦) + 1) = (𝑚 + 1))
51	50	eqeq2d 2199	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 𝑦) = 𝑚 → (((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
52	51	rexbidv 2488	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 𝑦) = 𝑚 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
53	49, 52	syl5ibcom 155	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ((2 · 𝑦) = 𝑚 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
54	53	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑦) = 𝑚 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
55	43, 54	sylbid 150	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 2) = 𝑚 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
56	55	rexlimdva 2604	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
57		peano2z 9302	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + 1) ∈ ℤ)
58	57	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 + 1) ∈ ℤ)
59		zcn 9271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
60		mulcom 7953	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑥 · 2) = (2 · 𝑥))
61	31, 60	mpan2 425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · 2) = (2 · 𝑥))
62	31	mullidi 7973	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 · 2) = 2
63	62	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 · 2) = 2)
64	61, 63	oveq12d 5906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 · 2) + (1 · 2)) = ((2 · 𝑥) + 2))
65		df-2 8991	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 = (1 + 1)
66	65	oveq2i 5899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝑥) + 2) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1))
67	64, 66	eqtrdi 2236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 · 2) + (1 · 2)) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
68		ax-1cn 7917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
69		adddir 7961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 1) · 2) = ((𝑥 · 2) + (1 · 2)))
70	68, 31, 69	mp3an23 1339	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 + 1) · 2) = ((𝑥 · 2) + (1 · 2)))
71		mulcl 7951	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
72	31, 71	mpan 424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
73		addass 7954	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
74	68, 68, 73	mp3an23 1339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
75	72, 74	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
76	67, 70, 75	3eqtr4d 2230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 + 1) · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1))
77	59, 76	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 + 1) · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1))
78	77	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 + 1) · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1))
79		oveq1 5895	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑥 + 1) → (𝑘 · 2) = ((𝑥 + 1) · 2))
80	79	eqeq1d 2196	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑥 + 1) → ((𝑘 · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1) ↔ ((𝑥 + 1) · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1)))
81	80	rspcev 2853	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑥 + 1) · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1))
82	58, 78, 81	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1))
83		oveq1 5895	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = (𝑚 + 1))
84	83	eqeq2d 2199	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 → ((𝑘 · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1) ↔ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1)))
85	84	rexbidv 2488	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1)))
86	82, 85	syl5ibcom 155	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1)))
87	86	rexlimdva 2604	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1)))
88	56, 87	orim12d 787	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → ((∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚 ∨ ∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1) ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1))))
89	38, 88	biimtrid 152	. 2 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → ((∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 ∨ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1) ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1))))
90	5, 19, 24, 29, 37, 89	nn0ind 9380	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  ∃wrex 2466  (class class class)co 5888  ℂcc 7822  0cc0 7824  1c1 7825   + caddc 7827   · cmul 7829  2c2 8983  ℕ₀cn0 9189  ℤcz 9266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-ltadd 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-2 8991  df-n0 9190  df-z 9267

This theorem is referenced by:  odd2np1  11891