Theorem odd2np1lem 11411

Description: Lemma for odd2np1 11412. (Contributed by Scott Fenton, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
odd2np1lem	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑛,𝑁

Proof of Theorem odd2np1lem

Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2122	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = 0))
2	1	rexbidv 2410	. . 3 ⊢ (𝑗 = 0 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 0))
3		eqeq2 2122	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ (𝑘 · 2) = 0))
4	3	rexbidv 2410	. . 3 ⊢ (𝑗 = 0 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 0))
5	2, 4	orbi12d 765	. 2 ⊢ (𝑗 = 0 → ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗) ↔ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 0 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 0)))
6		eqeq2 2122	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑚))
7	6	rexbidv 2410	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑚))
8		oveq2 5734	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑥))
9	8	oveq1d 5741	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑥) + 1))
10	9	eqeq1d 2121	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑚 ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚))
11	10	cbvrexv 2627	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑚 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚)
12	7, 11	syl6bb 195	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚))
13		eqeq2 2122	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → ((𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ (𝑘 · 2) = 𝑚))
14	13	rexbidv 2410	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑚))
15		oveq1 5733	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑘 · 2) = (𝑦 · 2))
16	15	eqeq1d 2121	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ((𝑘 · 2) = 𝑚 ↔ (𝑦 · 2) = 𝑚))
17	16	cbvrexv 2627	. . . 4 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑚 ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚)
18	14, 17	syl6bb 195	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚))
19	12, 18	orbi12d 765	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗) ↔ (∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 ∨ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚)))
20		eqeq2 2122	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
21	20	rexbidv 2410	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
22		eqeq2 2122	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → ((𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1)))
23	22	rexbidv 2410	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1)))
24	21, 23	orbi12d 765	. 2 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗) ↔ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1) ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1))))
25		eqeq2 2122	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
26	25	rexbidv 2410	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
27		eqeq2 2122	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ (𝑘 · 2) = 𝑁))
28	27	rexbidv 2410	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
29	26, 28	orbi12d 765	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗) ↔ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)))
30		0z 8963	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
31		2cn 8695	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
32	31	mul02i 8065	. . . 4 ⊢ (0 · 2) = 0
33		oveq1 5733	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 · 2) = (0 · 2))
34	33	eqeq1d 2121	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘 · 2) = 0 ↔ (0 · 2) = 0))
35	34	rspcev 2758	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (0 · 2) = 0) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 0)
36	30, 32, 35	mp2an 420	. . 3 ⊢ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 0
37	36	olci 704	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 0 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 0)
38		orcom 700	. . 3 ⊢ ((∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 ∨ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚) ↔ (∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚 ∨ ∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚))
39		zcn 8957	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
40		mulcom 7667	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑦 · 2) = (2 · 𝑦))
41	39, 31, 40	sylancl 407	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 · 2) = (2 · 𝑦))
42	41	adantl 273	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 · 2) = (2 · 𝑦))
43	42	eqeq1d 2121	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 2) = 𝑚 ↔ (2 · 𝑦) = 𝑚))
44		eqid 2113	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 𝑦) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1)
45		oveq2 5734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑦))
46	45	oveq1d 5741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1))
47	46	eqeq1d 2121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1) ↔ ((2 · 𝑦) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1)))
48	47	rspcev 2758	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑦) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1)) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1))
49	44, 48	mpan2 419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1))
50		oveq1 5733	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑦) = 𝑚 → ((2 · 𝑦) + 1) = (𝑚 + 1))
51	50	eqeq2d 2124	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 𝑦) = 𝑚 → (((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
52	51	rexbidv 2410	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 𝑦) = 𝑚 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
53	49, 52	syl5ibcom 154	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ((2 · 𝑦) = 𝑚 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
54	53	adantl 273	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑦) = 𝑚 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
55	43, 54	sylbid 149	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 2) = 𝑚 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
56	55	rexlimdva 2521	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
57		peano2z 8988	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + 1) ∈ ℤ)
58	57	adantl 273	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 + 1) ∈ ℤ)
59		zcn 8957	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
60		mulcom 7667	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑥 · 2) = (2 · 𝑥))
61	31, 60	mpan2 419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · 2) = (2 · 𝑥))
62	31	mulid2i 7687	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 · 2) = 2
63	62	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 · 2) = 2)
64	61, 63	oveq12d 5744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 · 2) + (1 · 2)) = ((2 · 𝑥) + 2))
65		df-2 8683	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 = (1 + 1)
66	65	oveq2i 5737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝑥) + 2) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1))
67	64, 66	syl6eq 2161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 · 2) + (1 · 2)) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
68		ax-1cn 7632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
69		adddir 7675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 1) · 2) = ((𝑥 · 2) + (1 · 2)))
70	68, 31, 69	mp3an23 1288	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 + 1) · 2) = ((𝑥 · 2) + (1 · 2)))
71		mulcl 7665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
72	31, 71	mpan 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
73		addass 7668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
74	68, 68, 73	mp3an23 1288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
75	72, 74	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
76	67, 70, 75	3eqtr4d 2155	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 + 1) · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1))
77	59, 76	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 + 1) · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1))
78	77	adantl 273	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 + 1) · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1))
79		oveq1 5733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑥 + 1) → (𝑘 · 2) = ((𝑥 + 1) · 2))
80	79	eqeq1d 2121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑥 + 1) → ((𝑘 · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1) ↔ ((𝑥 + 1) · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1)))
81	80	rspcev 2758	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑥 + 1) · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1))
82	58, 78, 81	syl2anc 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1))
83		oveq1 5733	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = (𝑚 + 1))
84	83	eqeq2d 2124	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 → ((𝑘 · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1) ↔ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1)))
85	84	rexbidv 2410	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1)))
86	82, 85	syl5ibcom 154	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1)))
87	86	rexlimdva 2521	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1)))
88	56, 87	orim12d 758	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → ((∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚 ∨ ∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1) ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1))))
89	38, 88	syl5bi 151	. 2 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → ((∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 ∨ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1) ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1))))
90	5, 19, 24, 29, 37, 89	nn0ind 9063	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 680   = wceq 1312   ∈ wcel 1461  ∃wrex 2389  (class class class)co 5726  ℂcc 7539  0cc0 7541  1c1 7542   + caddc 7544   · cmul 7546  2c2 8675  ℕ₀cn0 8875  ℤcz 8952

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-addcom 7639  ax-mulcom 7640  ax-addass 7641  ax-mulass 7642  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-1rid 7646  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-ltadd 7655

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-br 3894  df-opab 3948  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-inn 8625  df-2 8683  df-n0 8876  df-z 8953

This theorem is referenced by:  odd2np1  11412