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Theorem odd2np1lem 11411
 Description: Lemma for odd2np1 11412. (Contributed by Scott Fenton, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
odd2np1lem (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑛,𝑁

Proof of Theorem odd2np1lem
Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2122 . . . 4 (𝑗 = 0 → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = 0))
21rexbidv 2410 . . 3 (𝑗 = 0 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 0))
3 eqeq2 2122 . . . 4 (𝑗 = 0 → ((𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ (𝑘 · 2) = 0))
43rexbidv 2410 . . 3 (𝑗 = 0 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 0))
52, 4orbi12d 765 . 2 (𝑗 = 0 → ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗) ↔ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 0 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 0)))
6 eqeq2 2122 . . . . 5 (𝑗 = 𝑚 → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑚))
76rexbidv 2410 . . . 4 (𝑗 = 𝑚 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑚))
8 oveq2 5734 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑥 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑥))
98oveq1d 5741 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑥 → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑥) + 1))
109eqeq1d 2121 . . . . 5 (𝑛 = 𝑥 → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑚 ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚))
1110cbvrexv 2627 . . . 4 (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑚 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚)
127, 11syl6bb 195 . . 3 (𝑗 = 𝑚 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚))
13 eqeq2 2122 . . . . 5 (𝑗 = 𝑚 → ((𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ (𝑘 · 2) = 𝑚))
1413rexbidv 2410 . . . 4 (𝑗 = 𝑚 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑚))
15 oveq1 5733 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑦 → (𝑘 · 2) = (𝑦 · 2))
1615eqeq1d 2121 . . . . 5 (𝑘 = 𝑦 → ((𝑘 · 2) = 𝑚 ↔ (𝑦 · 2) = 𝑚))
1716cbvrexv 2627 . . . 4 (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑚 ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚)
1814, 17syl6bb 195 . . 3 (𝑗 = 𝑚 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚))
1912, 18orbi12d 765 . 2 (𝑗 = 𝑚 → ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗) ↔ (∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 ∨ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚)))
20 eqeq2 2122 . . . 4 (𝑗 = (𝑚 + 1) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
2120rexbidv 2410 . . 3 (𝑗 = (𝑚 + 1) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
22 eqeq2 2122 . . . 4 (𝑗 = (𝑚 + 1) → ((𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1)))
2322rexbidv 2410 . . 3 (𝑗 = (𝑚 + 1) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1)))
2421, 23orbi12d 765 . 2 (𝑗 = (𝑚 + 1) → ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗) ↔ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1) ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1))))
25 eqeq2 2122 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
2625rexbidv 2410 . . 3 (𝑗 = 𝑁 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
27 eqeq2 2122 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ (𝑘 · 2) = 𝑁))
2827rexbidv 2410 . . 3 (𝑗 = 𝑁 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
2926, 28orbi12d 765 . 2 (𝑗 = 𝑁 → ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗) ↔ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)))
30 0z 8963 . . . 4 0 ∈ ℤ
31 2cn 8695 . . . . 5 2 ∈ ℂ
3231mul02i 8065 . . . 4 (0 · 2) = 0
33 oveq1 5733 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (𝑘 · 2) = (0 · 2))
3433eqeq1d 2121 . . . . 5 (𝑘 = 0 → ((𝑘 · 2) = 0 ↔ (0 · 2) = 0))
3534rspcev 2758 . . . 4 ((0 ∈ ℤ ∧ (0 · 2) = 0) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 0)
3630, 32, 35mp2an 420 . . 3 𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 0
3736olci 704 . 2 (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 0 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 0)
38 orcom 700 . . 3 ((∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 ∨ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚) ↔ (∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚 ∨ ∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚))
39 zcn 8957 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
40 mulcom 7667 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑦 · 2) = (2 · 𝑦))
4139, 31, 40sylancl 407 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 · 2) = (2 · 𝑦))
4241adantl 273 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 · 2) = (2 · 𝑦))
4342eqeq1d 2121 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 2) = 𝑚 ↔ (2 · 𝑦) = 𝑚))
44 eqid 2113 . . . . . . . . 9 ((2 · 𝑦) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1)
45 oveq2 5734 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑦 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑦))
4645oveq1d 5741 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑦 → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1))
4746eqeq1d 2121 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑦 → (((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1) ↔ ((2 · 𝑦) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1)))
4847rspcev 2758 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑦) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1)) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1))
4944, 48mpan2 419 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℤ → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1))
50 oveq1 5733 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑦) = 𝑚 → ((2 · 𝑦) + 1) = (𝑚 + 1))
5150eqeq2d 2124 . . . . . . . . 9 ((2 · 𝑦) = 𝑚 → (((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
5251rexbidv 2410 . . . . . . . 8 ((2 · 𝑦) = 𝑚 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
5349, 52syl5ibcom 154 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℤ → ((2 · 𝑦) = 𝑚 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
5453adantl 273 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑦) = 𝑚 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
5543, 54sylbid 149 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 2) = 𝑚 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
5655rexlimdva 2521 . . . 4 (𝑚 ∈ ℕ0 → (∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
57 peano2z 8988 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + 1) ∈ ℤ)
5857adantl 273 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 + 1) ∈ ℤ)
59 zcn 8957 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
60 mulcom 7667 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑥 · 2) = (2 · 𝑥))
6131, 60mpan2 419 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · 2) = (2 · 𝑥))
6231mulid2i 7687 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · 2) = 2
6362a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ → (1 · 2) = 2)
6461, 63oveq12d 5744 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 · 2) + (1 · 2)) = ((2 · 𝑥) + 2))
65 df-2 8683 . . . . . . . . . . . 12 2 = (1 + 1)
6665oveq2i 5737 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝑥) + 2) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1))
6764, 66syl6eq 2161 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 · 2) + (1 · 2)) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
68 ax-1cn 7632 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
69 adddir 7675 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 1) · 2) = ((𝑥 · 2) + (1 · 2)))
7068, 31, 69mp3an23 1288 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 + 1) · 2) = ((𝑥 · 2) + (1 · 2)))
71 mulcl 7665 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
7231, 71mpan 418 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℂ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
73 addass 7668 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
7468, 68, 73mp3an23 1288 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
7572, 74syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
7667, 70, 753eqtr4d 2155 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 + 1) · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1))
7759, 76syl 14 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 + 1) · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1))
7877adantl 273 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 + 1) · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1))
79 oveq1 5733 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑥 + 1) → (𝑘 · 2) = ((𝑥 + 1) · 2))
8079eqeq1d 2121 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑥 + 1) → ((𝑘 · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1) ↔ ((𝑥 + 1) · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1)))
8180rspcev 2758 . . . . . . 7 (((𝑥 + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑥 + 1) · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1))
8258, 78, 81syl2anc 406 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1))
83 oveq1 5733 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = (𝑚 + 1))
8483eqeq2d 2124 . . . . . . 7 (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 → ((𝑘 · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1) ↔ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1)))
8584rexbidv 2410 . . . . . 6 (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1)))
8682, 85syl5ibcom 154 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1)))
8786rexlimdva 2521 . . . 4 (𝑚 ∈ ℕ0 → (∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1)))
8856, 87orim12d 758 . . 3 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚 ∨ ∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1) ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1))))
8938, 88syl5bi 151 . 2 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 ∨ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1) ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1))))
905, 19, 24, 29, 37, 89nn0ind 9063 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 680   = wceq 1312   ∈ wcel 1461  ∃wrex 2389  (class class class)co 5726  ℂcc 7539  0cc0 7541  1c1 7542   + caddc 7544   · cmul 7546  2c2 8675  ℕ0cn0 8875  ℤcz 8952 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-addcom 7639  ax-mulcom 7640  ax-addass 7641  ax-mulass 7642  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-1rid 7646  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-ltadd 7655 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-br 3894  df-opab 3948  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-inn 8625  df-2 8683  df-n0 8876  df-z 8953 This theorem is referenced by:  odd2np1  11412
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