Theorem cncrng 14906

Description: The complex numbers form a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cncrng	⊢ ℂfld ∈ CRing

Proof of Theorem cncrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldbas 14897	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ℂ = (Base‘ℂfld))
3		cnfldadd 14899	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → + = (+g‘ℂfld))
5		cnfldmul 14901	. . . 4 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
6	5	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → · = (.r‘ℂfld))
7		addcl 8304	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
8		addass 8309	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
9		0cn 8318	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
10		addlid 8465	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
11		negcl 8526	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
12		addcom 8463	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-𝑥 + 𝑥) = (𝑥 + -𝑥))
13	11, 12	mpancom 426	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-𝑥 + 𝑥) = (𝑥 + -𝑥))
14		negid 8573	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + -𝑥) = 0)
15	13, 14	eqtrd 2271	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-𝑥 + 𝑥) = 0)
16	1, 3, 7, 8, 9, 10, 11, 15	isgrpi 13829	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Grp
17	16	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ℂfld ∈ Grp)
18		mulcl 8306	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
19	18	3adant1 1046	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
20		mulass 8310	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
21	20	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
22		adddi 8311	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
23	22	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
24		adddir 8317	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
25	24	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
26		1cnd 8342	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
27		mullid 8324	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 · 𝑥) = 𝑥)
28	27	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
29		mulrid 8323	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · 1) = 𝑥)
30	29	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 · 1) = 𝑥)
31		mulcom 8308	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
32	31	3adant1 1046	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
33	2, 4, 6, 17, 19, 21, 23, 25, 26, 28, 30, 32	iscrngd 14347	. 2 ⊢ (⊤ → ℂfld ∈ CRing)
34	33	mptru 1411	1 ⊢ ℂfld ∈ CRing

This proof depends on syntax axioms:   ∧ w3a 1009   = wceq 1402  ⊤wtru 1403   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  0cc0 8179  1c1 8180   + caddc 8182   · cmul 8184  -cneg 8498  Basecbs 13352  +_gcplusg 13431  ._rcmulr 13432  Grpcgrp 13805  CRingccrg 14301  ℂ_fldccnfld 14893

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-addf 8301  ax-mulf 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370  df-n0 9564  df-z 9645  df-dec 9778  df-uz 9922  df-rp 10055  df-fz 10412  df-cj 11607  df-abs 11765  df-struct 13354  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-sets 13359  df-plusg 13444  df-mulr 13445  df-starv 13446  df-tset 13450  df-ple 13451  df-ds 13453  df-unif 13454  df-0g 13612  df-topgen 13614  df-mgm 13676  df-sgrp 13717  df-mnd 13730  df-grp 13808  df-cmn 14089  df-mgp 14218  df-ring 14302  df-cring 14303  df-bl 14883  df-mopn 14884  df-fg 14886  df-metu 14887  df-cnfld 14894

This theorem is used by:  cnring  14907  cnfldui  14924  zringcrng  14927  zring0  14935