Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-d0clsepcl GIF version

Theorem bj-d0clsepcl 11820
Description: Δ0-classical logic and separation implies classical logic. (Contributed by BJ, 2-Jan-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-d0clsepcl DECID 𝜑

Proof of Theorem bj-d0clsepcl
Dummy variables 𝑥 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 3966 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
21bj-snex 11804 . . . . . 6 {∅} ∈ V
32zfauscl 3959 . . . . 5 𝑎𝑥(𝑥𝑎 ↔ (𝑥 ∈ {∅} ∧ 𝜑))
4 eleq1 2150 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (𝑥𝑎 ↔ ∅ ∈ 𝑎))
5 eleq1 2150 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∈ {∅} ↔ ∅ ∈ {∅}))
65anbi1d 453 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → ((𝑥 ∈ {∅} ∧ 𝜑) ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑)))
74, 6bibi12d 233 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → ((𝑥𝑎 ↔ (𝑥 ∈ {∅} ∧ 𝜑)) ↔ (∅ ∈ 𝑎 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑))))
81, 7spcv 2712 . . . . 5 (∀𝑥(𝑥𝑎 ↔ (𝑥 ∈ {∅} ∧ 𝜑)) → (∅ ∈ 𝑎 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑)))
93, 8eximii 1538 . . . 4 𝑎(∅ ∈ 𝑎 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑))
101snid 3475 . . . . . . . 8 ∅ ∈ {∅}
1110biantrur 297 . . . . . . 7 (𝜑 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑))
1211bicomi 130 . . . . . 6 ((∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑) ↔ 𝜑)
1312bibi2i 225 . . . . 5 ((∅ ∈ 𝑎 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑)) ↔ (∅ ∈ 𝑎𝜑))
1413exbii 1541 . . . 4 (∃𝑎(∅ ∈ 𝑎 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑)) ↔ ∃𝑎(∅ ∈ 𝑎𝜑))
159, 14mpbi 143 . . 3 𝑎(∅ ∈ 𝑎𝜑)
16 bj-bd0el 11759 . . . . 5 BOUNDED ∅ ∈ 𝑎
1716ax-bj-d0cl 11815 . . . 4 DECID ∅ ∈ 𝑎
18 bj-dcbi 11819 . . . 4 ((∅ ∈ 𝑎𝜑) → (DECID ∅ ∈ 𝑎DECID 𝜑))
1917, 18mpbii 146 . . 3 ((∅ ∈ 𝑎𝜑) → DECID 𝜑)
2015, 19eximii 1538 . 2 𝑎DECID 𝜑
21 bj-ex 11663 . 2 (∃𝑎DECID 𝜑DECID 𝜑)
2220, 21ax-mp 7 1 DECID 𝜑
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 102  wb 103  DECID wdc 780  wal 1287   = wceq 1289  wex 1426  wcel 1438  c0 3286  {csn 3446
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pr 4036  ax-bd0 11704  ax-bdim 11705  ax-bdor 11707  ax-bdn 11708  ax-bdal 11709  ax-bdex 11710  ax-bdeq 11711  ax-bdsep 11775  ax-bj-d0cl 11815
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-sn 3452  df-pr 3453  df-bdc 11732
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator