Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-d0clsepcl GIF version

Theorem bj-d0clsepcl 13925
Description: Δ0-classical logic and separation implies classical logic. (Contributed by BJ, 2-Jan-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-d0clsepcl DECID 𝜑

Proof of Theorem bj-d0clsepcl
Dummy variables 𝑥 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4114 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
21bj-snex 13913 . . . . . 6 {∅} ∈ V
32zfauscl 4107 . . . . 5 𝑎𝑥(𝑥𝑎 ↔ (𝑥 ∈ {∅} ∧ 𝜑))
4 eleq1 2233 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (𝑥𝑎 ↔ ∅ ∈ 𝑎))
5 eleq1 2233 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∈ {∅} ↔ ∅ ∈ {∅}))
65anbi1d 462 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → ((𝑥 ∈ {∅} ∧ 𝜑) ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑)))
74, 6bibi12d 234 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → ((𝑥𝑎 ↔ (𝑥 ∈ {∅} ∧ 𝜑)) ↔ (∅ ∈ 𝑎 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑))))
81, 7spcv 2824 . . . . 5 (∀𝑥(𝑥𝑎 ↔ (𝑥 ∈ {∅} ∧ 𝜑)) → (∅ ∈ 𝑎 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑)))
93, 8eximii 1595 . . . 4 𝑎(∅ ∈ 𝑎 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑))
101snid 3612 . . . . . . . 8 ∅ ∈ {∅}
1110biantrur 301 . . . . . . 7 (𝜑 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑))
1211bicomi 131 . . . . . 6 ((∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑) ↔ 𝜑)
1312bibi2i 226 . . . . 5 ((∅ ∈ 𝑎 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑)) ↔ (∅ ∈ 𝑎𝜑))
1413exbii 1598 . . . 4 (∃𝑎(∅ ∈ 𝑎 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑)) ↔ ∃𝑎(∅ ∈ 𝑎𝜑))
159, 14mpbi 144 . . 3 𝑎(∅ ∈ 𝑎𝜑)
16 bj-bd0el 13868 . . . . 5 BOUNDED ∅ ∈ 𝑎
1716ax-bj-d0cl 13924 . . . 4 DECID ∅ ∈ 𝑎
18 dcbiit 834 . . . 4 ((∅ ∈ 𝑎𝜑) → (DECID ∅ ∈ 𝑎DECID 𝜑))
1917, 18mpbii 147 . . 3 ((∅ ∈ 𝑎𝜑) → DECID 𝜑)
2015, 19eximii 1595 . 2 𝑎DECID 𝜑
21 bj-ex 13762 . 2 (∃𝑎DECID 𝜑DECID 𝜑)
2220, 21ax-mp 5 1 DECID 𝜑
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103  wb 104  DECID wdc 829  wal 1346   = wceq 1348  wex 1485  wcel 2141  c0 3414  {csn 3581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pr 4192  ax-bd0 13813  ax-bdim 13814  ax-bdor 13816  ax-bdn 13817  ax-bdal 13818  ax-bdex 13819  ax-bdeq 13820  ax-bdsep 13884  ax-bj-d0cl 13924
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-sn 3587  df-pr 3588  df-bdc 13841
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator