Theorem bj-d0clsepcl 15571

Description: Δ₀-classical logic and separation implies classical logic. (Contributed by BJ, 2-Jan-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-d0clsepcl	⊢ DECID 𝜑

Proof of Theorem bj-d0clsepcl

Dummy variables 𝑥 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4160	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	bj-snex 15559	. . . . . 6 ⊢ {∅} ∈ V
3	2	zfauscl 4153	. . . . 5 ⊢ ∃𝑎∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑎 ↔ (𝑥 ∈ {∅} ∧ 𝜑))
4		eleq1 2259	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝑎 ↔ ∅ ∈ 𝑎))
5		eleq1 2259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∈ {∅} ↔ ∅ ∈ {∅}))
6	5	anbi1d 465	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑥 ∈ {∅} ∧ 𝜑) ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑)))
7	4, 6	bibi12d 235	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑥 ∈ 𝑎 ↔ (𝑥 ∈ {∅} ∧ 𝜑)) ↔ (∅ ∈ 𝑎 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑))))
8	1, 7	spcv 2858	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑎 ↔ (𝑥 ∈ {∅} ∧ 𝜑)) → (∅ ∈ 𝑎 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑)))
9	3, 8	eximii 1616	. . . 4 ⊢ ∃𝑎(∅ ∈ 𝑎 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑))
10	1	snid 3653	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ {∅}
11	10	biantrur 303	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑))
12	11	bicomi 132	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑) ↔ 𝜑)
13	12	bibi2i 227	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ 𝑎 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑)) ↔ (∅ ∈ 𝑎 ↔ 𝜑))
14	13	exbii 1619	. . . 4 ⊢ (∃𝑎(∅ ∈ 𝑎 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑)) ↔ ∃𝑎(∅ ∈ 𝑎 ↔ 𝜑))
15	9, 14	mpbi 145	. . 3 ⊢ ∃𝑎(∅ ∈ 𝑎 ↔ 𝜑)
16		bj-bd0el 15514	. . . . 5 ⊢ BOUNDED ∅ ∈ 𝑎
17	16	ax-bj-d0cl 15570	. . . 4 ⊢ DECID ∅ ∈ 𝑎
18		dcbiit 840	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ 𝑎 ↔ 𝜑) → (DECID ∅ ∈ 𝑎 ↔ DECID 𝜑))
19	17, 18	mpbii 148	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ 𝑎 ↔ 𝜑) → DECID 𝜑)
20	15, 19	eximii 1616	. 2 ⊢ ∃𝑎DECID 𝜑
21		bj-ex 15408	. 2 ⊢ (∃𝑎DECID 𝜑 → DECID 𝜑)
22	20, 21	ax-mp 5	1 ⊢ DECID 𝜑

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 835  ∀wal 1362   = wceq 1364  ∃wex 1506   ∈ wcel 2167  ∅c0 3450  {csn 3622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pr 4242  ax-bd0 15459  ax-bdim 15460  ax-bdor 15462  ax-bdn 15463  ax-bdal 15464  ax-bdex 15465  ax-bdeq 15466  ax-bdsep 15530  ax-bj-d0cl 15570

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-sn 3628  df-pr 3629  df-bdc 15487

This theorem is referenced by: (None)