Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-d0clsepcl GIF version

Theorem bj-d0clsepcl 11163
Description: Δ0-classical logic and separation implies classical logic. (Contributed by BJ, 2-Jan-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-d0clsepcl DECID 𝜑

Proof of Theorem bj-d0clsepcl
Dummy variables 𝑥 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 3931 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
21bj-snex 11147 . . . . . 6 {∅} ∈ V
32zfauscl 3924 . . . . 5 𝑎𝑥(𝑥𝑎 ↔ (𝑥 ∈ {∅} ∧ 𝜑))
4 eleq1 2145 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (𝑥𝑎 ↔ ∅ ∈ 𝑎))
5 eleq1 2145 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∈ {∅} ↔ ∅ ∈ {∅}))
65anbi1d 453 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → ((𝑥 ∈ {∅} ∧ 𝜑) ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑)))
74, 6bibi12d 233 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → ((𝑥𝑎 ↔ (𝑥 ∈ {∅} ∧ 𝜑)) ↔ (∅ ∈ 𝑎 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑))))
81, 7spcv 2702 . . . . 5 (∀𝑥(𝑥𝑎 ↔ (𝑥 ∈ {∅} ∧ 𝜑)) → (∅ ∈ 𝑎 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑)))
93, 8eximii 1534 . . . 4 𝑎(∅ ∈ 𝑎 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑))
101snid 3449 . . . . . . . 8 ∅ ∈ {∅}
1110biantrur 297 . . . . . . 7 (𝜑 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑))
1211bicomi 130 . . . . . 6 ((∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑) ↔ 𝜑)
1312bibi2i 225 . . . . 5 ((∅ ∈ 𝑎 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑)) ↔ (∅ ∈ 𝑎𝜑))
1413exbii 1537 . . . 4 (∃𝑎(∅ ∈ 𝑎 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑)) ↔ ∃𝑎(∅ ∈ 𝑎𝜑))
159, 14mpbi 143 . . 3 𝑎(∅ ∈ 𝑎𝜑)
16 bj-bd0el 11102 . . . . 5 BOUNDED ∅ ∈ 𝑎
1716ax-bj-d0cl 11158 . . . 4 DECID ∅ ∈ 𝑎
18 bj-dcbi 11162 . . . 4 ((∅ ∈ 𝑎𝜑) → (DECID ∅ ∈ 𝑎DECID 𝜑))
1917, 18mpbii 146 . . 3 ((∅ ∈ 𝑎𝜑) → DECID 𝜑)
2015, 19eximii 1534 . 2 𝑎DECID 𝜑
21 bj-ex 11006 . 2 (∃𝑎DECID 𝜑DECID 𝜑)
2220, 21ax-mp 7 1 DECID 𝜑
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 102  wb 103  DECID wdc 776  wal 1283   = wceq 1285  wex 1422  wcel 1434  c0 3269  {csn 3422
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pr 4000  ax-bd0 11047  ax-bdim 11048  ax-bdor 11050  ax-bdn 11051  ax-bdal 11052  ax-bdex 11053  ax-bdeq 11054  ax-bdsep 11118  ax-bj-d0cl 11158
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2614  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-sn 3428  df-pr 3429  df-bdc 11075
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator