Mathbox for BJ < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-d0clsepcl GIF version

Theorem bj-d0clsepcl 13112
 Description: Δ0-classical logic and separation implies classical logic. (Contributed by BJ, 2-Jan-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-d0clsepcl DECID 𝜑

Proof of Theorem bj-d0clsepcl
Dummy variables 𝑥 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4050 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
21bj-snex 13100 . . . . . 6 {∅} ∈ V
32zfauscl 4043 . . . . 5 𝑎𝑥(𝑥𝑎 ↔ (𝑥 ∈ {∅} ∧ 𝜑))
4 eleq1 2200 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (𝑥𝑎 ↔ ∅ ∈ 𝑎))
5 eleq1 2200 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∈ {∅} ↔ ∅ ∈ {∅}))
65anbi1d 460 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → ((𝑥 ∈ {∅} ∧ 𝜑) ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑)))
74, 6bibi12d 234 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → ((𝑥𝑎 ↔ (𝑥 ∈ {∅} ∧ 𝜑)) ↔ (∅ ∈ 𝑎 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑))))
81, 7spcv 2774 . . . . 5 (∀𝑥(𝑥𝑎 ↔ (𝑥 ∈ {∅} ∧ 𝜑)) → (∅ ∈ 𝑎 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑)))
93, 8eximii 1581 . . . 4 𝑎(∅ ∈ 𝑎 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑))
101snid 3551 . . . . . . . 8 ∅ ∈ {∅}
1110biantrur 301 . . . . . . 7 (𝜑 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑))
1211bicomi 131 . . . . . 6 ((∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑) ↔ 𝜑)
1312bibi2i 226 . . . . 5 ((∅ ∈ 𝑎 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑)) ↔ (∅ ∈ 𝑎𝜑))
1413exbii 1584 . . . 4 (∃𝑎(∅ ∈ 𝑎 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝜑)) ↔ ∃𝑎(∅ ∈ 𝑎𝜑))
159, 14mpbi 144 . . 3 𝑎(∅ ∈ 𝑎𝜑)
16 bj-bd0el 13055 . . . . 5 BOUNDED ∅ ∈ 𝑎
1716ax-bj-d0cl 13111 . . . 4 DECID ∅ ∈ 𝑎
18 dcbiit 824 . . . 4 ((∅ ∈ 𝑎𝜑) → (DECID ∅ ∈ 𝑎DECID 𝜑))
1917, 18mpbii 147 . . 3 ((∅ ∈ 𝑎𝜑) → DECID 𝜑)
2015, 19eximii 1581 . 2 𝑎DECID 𝜑
21 bj-ex 12958 . 2 (∃𝑎DECID 𝜑DECID 𝜑)
2220, 21ax-mp 5 1 DECID 𝜑
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104  DECID wdc 819  ∀wal 1329   = wceq 1331  ∃wex 1468   ∈ wcel 1480  ∅c0 3358  {csn 3522 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pr 4126  ax-bd0 13000  ax-bdim 13001  ax-bdor 13003  ax-bdn 13004  ax-bdal 13005  ax-bdex 13006  ax-bdeq 13007  ax-bdsep 13071  ax-bj-d0cl 13111 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-sn 3528  df-pr 3529  df-bdc 13028 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator