Theorem sseld 3096

Description: Membership deduction from subclass relationship. (Contributed by NM, 15-Nov-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
sseld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sseld	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵))

Proof of Theorem sseld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		ssel 3091	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1480   ⊆ wss 3071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-11 1484  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-in 3077  df-ss 3084

This theorem is referenced by:  sselda  3097  sseldd  3098  ssneld  3099  elelpwi  3522  ssbrd  3971  uniopel  4178  onintonm  4433  sucprcreg  4464  ordsuc  4478  0elnn  4532  dmrnssfld  4802  nfunv  5156  opelf  5294  fvimacnv  5535  ffvelrn  5553  resflem  5584  f1imass  5675  dftpos3  6159  nnmordi  6412  mapsn  6584  ixpf  6614  diffifi  6788  ordiso2  6920  difinfinf  6986  prarloclemarch2  7234  ltexprlemrl  7425  cauappcvgprlemladdrl  7472  caucvgprlemladdrl  7493  caucvgprlem1  7494  axpre-suploclemres  7716  uzind  9169  supinfneg  9397  infsupneg  9398  ixxssxr  9690  elfz0add  9907  fzoss1  9955  frecuzrdgrclt  10195  fsum3cvg  11154  isumrpcl  11270  fproddccvg  11348  lmtopcnp  12429  txuni2  12435  tx1cn  12448  tx2cn  12449  txlm  12458  imasnopn  12478  xmetunirn  12537  mopnval  12621  metrest  12685  dedekindicc  12790  ivthdec  12801  limcimolemlt  12812  bj-nnord  13166