Theorem sseld 3146

Description: Membership deduction from subclass relationship. (Contributed by NM, 15-Nov-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
sseld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sseld	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵))

Proof of Theorem sseld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		ssel 3141	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-11 1499  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-in 3127  df-ss 3134

This theorem is referenced by:  sselda  3147  sseldd  3148  ssneld  3149  elelpwi  3576  ssbrd  4030  uniopel  4239  onintonm  4499  sucprcreg  4531  ordsuc  4545  0elnn  4601  dmrnssfld  4872  nfunv  5229  opelf  5367  fvimacnv  5608  ffvelrn  5626  resflem  5657  f1imass  5750  dftpos3  6238  nnmordi  6492  mapsn  6664  ixpf  6694  diffifi  6868  ordiso2  7008  difinfinf  7074  prarloclemarch2  7368  ltexprlemrl  7559  cauappcvgprlemladdrl  7606  caucvgprlemladdrl  7627  caucvgprlem1  7628  axpre-suploclemres  7850  uzind  9310  supinfneg  9541  infsupneg  9542  ixxssxr  9844  elfz0add  10063  fzoss1  10114  frecuzrdgrclt  10358  fsum3cvg  11328  isumrpcl  11444  fproddccvg  11522  reumodprminv  12194  lmtopcnp  12965  txuni2  12971  tx1cn  12984  tx2cn  12985  txlm  12994  imasnopn  13014  xmetunirn  13073  mopnval  13157  metrest  13221  dedekindicc  13326  ivthdec  13337  limcimolemlt  13348  bj-charfundc  13765  bj-nnord  13915