Theorem sseld 3223

Description: Membership deduction from subclass relationship. (Contributed by NM, 15-Nov-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
sseld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sseld	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵))

Proof of Theorem sseld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		ssel 3218	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-11 1552  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-in 3203  df-ss 3210

This theorem is referenced by:  sselda  3224  sseldd  3225  ssneld  3226  elelpwi  3661  ssbrd  4126  uniopel  4343  onintonm  4609  sucprcreg  4641  ordsuc  4655  0elnn  4711  dmrnssfld  4987  nfunv  5351  opelf  5498  fvimacnv  5752  ffvelcdm  5770  resflem  5801  f1imass  5904  dftpos3  6414  nnmordi  6670  mapsn  6845  ixpf  6875  pw2f1odclem  7003  diffifi  7064  ordiso2  7213  difinfinf  7279  exmidapne  7457  prarloclemarch2  7617  ltexprlemrl  7808  cauappcvgprlemladdrl  7855  caucvgprlemladdrl  7876  caucvgprlem1  7877  axpre-suploclemres  8099  uzind  9569  supinfneg  9802  infsupneg  9803  ixxssxr  10108  elfz0add  10328  fzoss1  10381  elfzoextl  10409  frecuzrdgrclt  10649  ccatval2  11146  swrdswrd  11252  pfxccatin12lem2a  11274  swrdccatin2  11276  pfxccatpfx2  11284  fsum3cvg  11904  isumrpcl  12020  fproddccvg  12098  reumodprminv  12791  issubmnd  13490  issubg2m  13741  eqgid  13778  issubrng2  14189  subrgdvds  14214  issubrg2  14220  lssats2  14393  rnglidlmmgm  14475  rnglidlmsgrp  14476  rnglidlrng  14477  mplbasss  14675  lmtopcnp  14939  txuni2  14945  tx1cn  14958  tx2cn  14959  txlm  14968  imasnopn  14988  xmetunirn  15047  mopnval  15131  metrest  15195  dedekindicc  15322  ivthdec  15333  limcimolemlt  15353  plyssc  15428  edgupgren  15954  clwwlkccatlem  16137  bj-charfundc  16226  bj-nnord  16376