Theorem sseld 3183

Description: Membership deduction from subclass relationship. (Contributed by NM, 15-Nov-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
sseld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sseld	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵))

Proof of Theorem sseld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		ssel 3178	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167   ⊆ wss 3157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-11 1520  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-in 3163  df-ss 3170

This theorem is referenced by:  sselda  3184  sseldd  3185  ssneld  3186  elelpwi  3618  ssbrd  4077  uniopel  4290  onintonm  4554  sucprcreg  4586  ordsuc  4600  0elnn  4656  dmrnssfld  4930  nfunv  5292  opelf  5432  fvimacnv  5680  ffvelcdm  5698  resflem  5729  f1imass  5824  dftpos3  6329  nnmordi  6583  mapsn  6758  ixpf  6788  pw2f1odclem  6904  diffifi  6964  ordiso2  7110  difinfinf  7176  exmidapne  7345  prarloclemarch2  7505  ltexprlemrl  7696  cauappcvgprlemladdrl  7743  caucvgprlemladdrl  7764  caucvgprlem1  7765  axpre-suploclemres  7987  uzind  9456  supinfneg  9688  infsupneg  9689  ixxssxr  9994  elfz0add  10214  fzoss1  10266  frecuzrdgrclt  10526  fsum3cvg  11562  isumrpcl  11678  fproddccvg  11756  reumodprminv  12449  issubmnd  13146  issubg2m  13397  eqgid  13434  issubrng2  13844  subrgdvds  13869  issubrg2  13875  lssats2  14048  rnglidlmmgm  14130  rnglidlmsgrp  14131  rnglidlrng  14132  lmtopcnp  14572  txuni2  14578  tx1cn  14591  tx2cn  14592  txlm  14601  imasnopn  14621  xmetunirn  14680  mopnval  14764  metrest  14828  dedekindicc  14955  ivthdec  14966  limcimolemlt  14986  plyssc  15061  bj-charfundc  15540  bj-nnord  15690