Theorem sseld 3247

Description: Membership deduction from subclass relationship. (Contributed by NM, 15-Nov-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
sseld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sseld	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵))

Proof of Theorem sseld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		ssel 3242	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  sselda  3248  sseldd  3249  ssneld  3250  elelpwi  3701  ssbrd  4173  uniopel  4397  onintonm  4664  sucprcreg  4696  ordsuc  4710  0elnn  4766  dmrnssfld  5045  nfunv  5410  opelf  5560  fvimacnv  5824  ffvelcdm  5841  resflem  5872  f1imass  5980  suppssrst  6501  suppssrgst  6502  dftpos3  6533  nnmordi  6789  mapsnd  6970  mapsn  6972  ixpf  7002  pw2f1odclem  7134  diffifi  7198  ordiso2  7375  difinfinf  7441  exmidapne  7626  prarloclemarch2  7786  ltexprlemrl  7977  cauappcvgprlemladdrl  8024  caucvgprlemladdrl  8045  caucvgprlem1  8046  axpre-suploclemres  8268  uzind  9761  supinfneg  10004  infsupneg  10005  ixxssxr  10312  elfz0add  10537  fzoss1  10590  elfzoextl  10619  frecuzrdgrclt  10865  ccatval2  11380  swrdswrd  11491  pfxccatin12lem2a  11513  swrdccatin2  11515  pfxccatpfx2  11523  fsum3cvg  12161  isumrpcl  12277  fproddccvg  12355  reumodprminv  13052  ballotfilemfc0  13281  ballotfilemfcc  13282  ballotfilemimin  13298  issubmnd  13804  issubg2m  14041  eqgid  14078  issubrng2  14567  subrgdvds  14592  issubrg2  14598  lssats2  14800  rnglidlmmgm  14882  rnglidlmsgrp  14883  rnglidlrng  14884  gsumfsum  14972  issubassa3  15061  mplbasss  15136  lmtopcnp  15400  txuni2  15406  tx1cn  15419  tx2cn  15420  txlm  15429  imasnopn  15449  xmetunirn  15508  mopnval  15592  metrest  15656  dedekindicc  15783  ivthdec  15794  limcimolemlt  15814  plyssc  15889  edgupgren  16480  subgreldmiedg  16608  clwwlkccatlem  16739  eupth2lemsfi  16817  bj-charfundc  16932  bj-nnord  17082