ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xmetresbl GIF version
Theorem xmetresbl 13979
Description: An extended metric restricted to any ball (in particular the infinity ball) is a proper metric. Together with xmetec 13976, this shows that any extended metric space can be "factored" into the disjoint union of proper metric spaces, with points in the same region measured by that region's metric, and points in different regions being distance +∞ from each other. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xmetresbl.1 𝐡 = (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)
Assertion
Ref Expression
xmetresbl ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ (Metβ€˜π΅))
Proof of Theorem xmetresbl
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2 xmetresbl.1 . . . 4 𝐡 = (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)
3 blssm 13960 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) βŠ† 𝑋)
42, 3eqsstrid 3203 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑋)
5 xmetres2 13918 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ (∞Metβ€˜π΅))
61, 4, 5syl2anc 411 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ (∞Metβ€˜π΅))
7 xmetf 13889 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
81, 7syl 14 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
9 xpss12 4735 . . . . . 6 ((𝐡 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
104, 4, 9syl2anc 411 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
118, 10fssresd 5394 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)):(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆβ„*)
1211ffnd 5368 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) Fn (𝐡 Γ— 𝐡))
13 ovres 6016 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦) = (π‘₯𝐷𝑦))
1413adantl 277 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦) = (π‘₯𝐷𝑦))
15 simpl1 1000 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
16 eqid 2177 . . . . . . . . . 10 (◑𝐷 β€œ ℝ) = (◑𝐷 β€œ ℝ)
1716xmeter 13975 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (◑𝐷 β€œ ℝ) Er 𝑋)
1815, 17syl 14 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (◑𝐷 β€œ ℝ) Er 𝑋)
1916blssec 13977 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) βŠ† [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ))
202, 19eqsstrid 3203 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ 𝐡 βŠ† [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ))
2120sselda 3157 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ))
2221adantrr 479 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ))
23 simpl2 1001 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
24 elecg 6575 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ) ↔ 𝑃(◑𝐷 β€œ ℝ)π‘₯))
2522, 23, 24syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ) ↔ 𝑃(◑𝐷 β€œ ℝ)π‘₯))
2622, 25mpbid 147 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃(◑𝐷 β€œ ℝ)π‘₯)
2720sselda 3157 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ))
2827adantrl 478 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ))
29 elecg 6575 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ) ↔ 𝑃(◑𝐷 β€œ ℝ)𝑦))
3028, 23, 29syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ) ↔ 𝑃(◑𝐷 β€œ ℝ)𝑦))
3128, 30mpbid 147 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃(◑𝐷 β€œ ℝ)𝑦)
3218, 26, 31ertr3d 6555 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯(◑𝐷 β€œ ℝ)𝑦)
3316xmeterval 13974 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (π‘₯(◑𝐷 β€œ ℝ)𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ)))
3415, 33syl 14 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(◑𝐷 β€œ ℝ)𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ)))
3532, 34mpbid 147 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ))
3635simp3d 1011 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ)
3714, 36eqeltrd 2254 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦) ∈ ℝ)
3837ralrimivva 2559 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦) ∈ ℝ)
39 ffnov 5981 . . 3 ((𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)):(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆβ„ ↔ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) Fn (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦) ∈ ℝ))
4012, 38, 39sylanbrc 417 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)):(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆβ„)
41 ismet2 13893 . 2 ((𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ (Metβ€˜π΅) ↔ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ (∞Metβ€˜π΅) ∧ (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)):(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆβ„))
426, 40, 41sylanbrc 417 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ (Metβ€˜π΅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455   βŠ† wss 3131   class class class wbr 4005   Γ— cxp 4626  β—‘ccnv 4627   β†Ύ cres 4630   β€œ cima 4631   Fn wfn 5213  βŸΆwf 5214  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877   Er wer 6534  [cec 6535  β„cr 7812  β„*cxr 7993  βˆžMetcxmet 13479  Metcmet 13480  ballcbl 13481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-er 6537  df-ec 6539  df-map 6652  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-2 8980  df-xneg 9774  df-xadd 9775  df-psmet 13486  df-xmet 13487  df-met 13488  df-bl 13489
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator