Theorem xmetec 15663

Description: The equivalence classes under the finite separation equivalence relation are infinity balls. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xmeter.1	⊢ ∼ = (◡𝐷 “ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
xmetec	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → [𝑃] ∼ = (𝑃(ball‘𝐷)+∞))

Proof of Theorem xmetec

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmeter.1	. . . . 5 ⊢ ∼ = (◡𝐷 “ ℝ)
2	1	xmeterval 15661	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑃 ∼ 𝑥 ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
3		3anass 1013	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ) ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
4	3	baib 931	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
5	2, 4	sylan9bb 466	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑃 ∼ 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
6		vex 2824	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
7	6	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑥 ∈ V)
8		elecg 6851	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ [𝑃] ∼ ↔ 𝑃 ∼ 𝑥))
9	7, 8	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ [𝑃] ∼ ↔ 𝑃 ∼ 𝑥))
10		xblpnf 15625	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
11	5, 9, 10	3bitr4d 220	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ [𝑃] ∼ ↔ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)))
12	11	eqrdv 2236	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → [𝑃] ∼ = (𝑃(ball‘𝐷)+∞))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   class class class wbr 4131  ^◡ccnv 4775   “ cima 4779  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  [cec 6809  ℝcr 8184  +∞cpnf 8363  ∞Metcxmet 14982  ballcbl 14984

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-ec 6813  df-map 6928  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-2 9372  df-xadd 10192  df-psmet 14989  df-xmet 14990  df-bl 14992

This theorem is used by:  blssec  15664  blpnfctr  15665