Theorem xmetec 14984

Description: The equivalence classes under the finite separation equivalence relation are infinity balls. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xmeter.1	⊢ ∼ = (◡𝐷 “ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
xmetec	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → [𝑃] ∼ = (𝑃(ball‘𝐷)+∞))

Proof of Theorem xmetec

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmeter.1	. . . . 5 ⊢ ∼ = (◡𝐷 “ ℝ)
2	1	xmeterval 14982	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑃 ∼ 𝑥 ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
3		3anass 985	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ) ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
4	3	baib 921	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
5	2, 4	sylan9bb 462	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑃 ∼ 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
6		vex 2776	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
7	6	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑥 ∈ V)
8		elecg 6673	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ [𝑃] ∼ ↔ 𝑃 ∼ 𝑥))
9	7, 8	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ [𝑃] ∼ ↔ 𝑃 ∼ 𝑥))
10		xblpnf 14946	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
11	5, 9, 10	3bitr4d 220	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ [𝑃] ∼ ↔ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)))
12	11	eqrdv 2204	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → [𝑃] ∼ = (𝑃(ball‘𝐷)+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773   class class class wbr 4051  ^◡ccnv 4682   “ cima 4686  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957  [cec 6631  ℝcr 7944  +∞cpnf 8124  ∞Metcxmet 14373  ballcbl 14375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-ec 6635  df-map 6750  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-2 9115  df-xadd 9915  df-psmet 14380  df-xmet 14381  df-bl 14383

This theorem is referenced by:  blssec  14985  blpnfctr  14986