Theorem xmetec 12365

Description: The equivalence classes under the finite separation equivalence relation are infinity balls. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xmeter.1	⊢ ∼ = (◡𝐷 “ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
xmetec	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → [𝑃] ∼ = (𝑃(ball‘𝐷)+∞))

Proof of Theorem xmetec

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmeter.1	. . . . 5 ⊢ ∼ = (◡𝐷 “ ℝ)
2	1	xmeterval 12363	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑃 ∼ 𝑥 ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
3		3anass 934	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ) ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
4	3	baib 872	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
5	2, 4	sylan9bb 453	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑃 ∼ 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
6		vex 2644	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
7	6	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑥 ∈ V)
8		elecg 6397	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ [𝑃] ∼ ↔ 𝑃 ∼ 𝑥))
9	7, 8	sylan 279	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ [𝑃] ∼ ↔ 𝑃 ∼ 𝑥))
10		xblpnf 12327	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
11	5, 9, 10	3bitr4d 219	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ [𝑃] ∼ ↔ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)))
12	11	eqrdv 2098	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → [𝑃] ∼ = (𝑃(ball‘𝐷)+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 930   = wceq 1299   ∈ wcel 1448  Vcvv 2641   class class class wbr 3875  ^◡ccnv 4476   “ cima 4480  ‘cfv 5059  (class class class)co 5706  [cec 6357  ℝcr 7499  +∞cpnf 7669  ∞Metcxmet 11931  ballcbl 11933

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-ec 6361  df-map 6474  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-2 8637  df-xadd 9401  df-psmet 11938  df-xmet 11939  df-bl 11941

This theorem is referenced by:  blssec  12366  blpnfctr  12367