Theorem xmetec 15151

Description: The equivalence classes under the finite separation equivalence relation are infinity balls. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xmeter.1	⊢ ∼ = (◡𝐷 “ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
xmetec	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → [𝑃] ∼ = (𝑃(ball‘𝐷)+∞))

Proof of Theorem xmetec

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmeter.1	. . . . 5 ⊢ ∼ = (◡𝐷 “ ℝ)
2	1	xmeterval 15149	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑃 ∼ 𝑥 ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
3		3anass 1006	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ) ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
4	3	baib 924	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
5	2, 4	sylan9bb 462	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑃 ∼ 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
6		vex 2803	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
7	6	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑥 ∈ V)
8		elecg 6737	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ [𝑃] ∼ ↔ 𝑃 ∼ 𝑥))
9	7, 8	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ [𝑃] ∼ ↔ 𝑃 ∼ 𝑥))
10		xblpnf 15113	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
11	5, 9, 10	3bitr4d 220	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ [𝑃] ∼ ↔ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)))
12	11	eqrdv 2227	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → [𝑃] ∼ = (𝑃(ball‘𝐷)+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2800   class class class wbr 4086  ^◡ccnv 4722   “ cima 4726  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  [cec 6695  ℝcr 8021  +∞cpnf 8201  ∞Metcxmet 14540  ballcbl 14542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-ec 6699  df-map 6814  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-2 9192  df-xadd 9998  df-psmet 14547  df-xmet 14548  df-bl 14550

This theorem is referenced by:  blssec  15152  blpnfctr  15153