Theorem blpnfctr 13089

Description: The infinity ball in an extended metric acts like an ultrametric ball in that every point in the ball is also its center. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
blpnfctr	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = (𝐴(ball‘𝐷)+∞))

Proof of Theorem blpnfctr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2165	. . . . 5 ⊢ (◡𝐷 “ ℝ) = (◡𝐷 “ ℝ)
2	1	xmeter 13086	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (◡𝐷 “ ℝ) Er 𝑋)
3	2	3ad2ant1 1008	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → (◡𝐷 “ ℝ) Er 𝑋)
4		simp3 989	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
5	1	xmetec 13087	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → [𝑃](◡𝐷 “ ℝ) = (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
6	5	3adant3 1007	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → [𝑃](◡𝐷 “ ℝ) = (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
7	4, 6	eleqtrrd 2246	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → 𝐴 ∈ [𝑃](◡𝐷 “ ℝ))
8		elecg 6539	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ [𝑃](◡𝐷 “ ℝ) ↔ 𝑃(◡𝐷 “ ℝ)𝐴))
9	8	ancoms 266	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → (𝐴 ∈ [𝑃](◡𝐷 “ ℝ) ↔ 𝑃(◡𝐷 “ ℝ)𝐴))
10	9	3adant1 1005	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → (𝐴 ∈ [𝑃](◡𝐷 “ ℝ) ↔ 𝑃(◡𝐷 “ ℝ)𝐴))
11	7, 10	mpbid 146	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → 𝑃(◡𝐷 “ ℝ)𝐴)
12	3, 11	erthi 6547	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → [𝑃](◡𝐷 “ ℝ) = [𝐴](◡𝐷 “ ℝ))
13		pnfxr 7951	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
14		blssm 13071	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ⊆ 𝑋)
15	13, 14	mp3an3 1316	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ⊆ 𝑋)
16	15	sselda 3142	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
17	1	xmetec 13087	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → [𝐴](◡𝐷 “ ℝ) = (𝐴(ball‘𝐷)+∞))
18	17	adantlr 469	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → [𝐴](◡𝐷 “ ℝ) = (𝐴(ball‘𝐷)+∞))
19	16, 18	syldan 280	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → [𝐴](◡𝐷 “ ℝ) = (𝐴(ball‘𝐷)+∞))
20	19	3impa 1184	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → [𝐴](◡𝐷 “ ℝ) = (𝐴(ball‘𝐷)+∞))
21	12, 6, 20	3eqtr3d 2206	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = (𝐴(ball‘𝐷)+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 968   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   ⊆ wss 3116   class class class wbr 3982  ^◡ccnv 4603   “ cima 4607  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842   Er wer 6498  [cec 6499  ℝcr 7752  +∞cpnf 7930  ℝ^*cxr 7932  ∞Metcxmet 12630  ballcbl 12632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-er 6501  df-ec 6503  df-map 6616  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-2 8916  df-xadd 9709  df-psmet 12637  df-xmet 12638  df-bl 12640

This theorem is referenced by: (None)