ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  difrp GIF version

Theorem difrp 9105
Description: Two ways to say one number is less than another. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
difrp ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵𝐴) ∈ ℝ+))

Proof of Theorem difrp
StepHypRef Expression
1 posdif 7880 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
2 resubcl 7693 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
32ancoms 264 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
4 elrp 9071 . . . 4 ((𝐵𝐴) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐵𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵𝐴)))
54baib 864 . . 3 ((𝐵𝐴) ∈ ℝ → ((𝐵𝐴) ∈ ℝ+ ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
63, 5syl 14 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵𝐴) ∈ ℝ+ ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
71, 6bitr4d 189 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵𝐴) ∈ ℝ+))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wcel 1436   class class class wbr 3822  (class class class)co 5615  cr 7296  0cc0 7297   < clt 7469  cmin 7600  +crp 9069
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3934  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-cnex 7383  ax-resscn 7384  ax-1cn 7385  ax-1re 7386  ax-icn 7387  ax-addcl 7388  ax-addrcl 7389  ax-mulcl 7390  ax-addcom 7392  ax-addass 7394  ax-distr 7396  ax-i2m1 7397  ax-0id 7400  ax-rnegex 7401  ax-cnre 7403  ax-pre-ltadd 7408
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-br 3823  df-opab 3877  df-id 4096  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fv 4991  df-riota 5571  df-ov 5618  df-oprab 5619  df-mpt2 5620  df-pnf 7471  df-mnf 7472  df-ltxr 7474  df-sub 7602  df-neg 7603  df-rp 9070
This theorem is referenced by:  lincmb01cmp  9355  iccf1o  9356  recvguniq  10327  resqrexlemcalc2  10347  resqrexlemnmsq  10349  resqrexlemnm  10350  resqrexlemoverl  10353
  Copyright terms: Public domain W3C validator