ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ef01bndlem GIF version

Theorem ef01bndlem 11665
Description: Lemma for sin01bnd 11666 and cos01bnd 11667. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Hypothesis
Ref Expression
ef01bnd.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
Assertion
Ref Expression
ef01bndlem (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) < ((𝐴↑4) / 6))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem ef01bndlem
StepHypRef Expression
1 ax-icn 7830 . . . . 5 i ∈ ℂ
2 0xr 7927 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
3 1re 7880 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
4 elioc2 9847 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1)))
52, 3, 4mp2an 423 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1))
65simp1bi 997 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
76recnd 7909 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℂ)
8 mulcl 7862 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
91, 7, 8sylancr 411 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
10 4nn0 9115 . . . 4 4 ∈ ℕ0
11 ef01bnd.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
1211eftlcl 11597 . . . 4 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
139, 10, 12sylancl 410 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1413abscld 11093 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
15 reexpcl 10446 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
166, 10, 15sylancl 410 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
17 4re 8916 . . . . 5 4 ∈ ℝ
1817, 3readdcli 7894 . . . 4 (4 + 1) ∈ ℝ
19 faccl 10621 . . . . . 6 (4 ∈ ℕ0 → (!‘4) ∈ ℕ)
2010, 19ax-mp 5 . . . . 5 (!‘4) ∈ ℕ
21 4nn 9002 . . . . 5 4 ∈ ℕ
2220, 21nnmulcli 8861 . . . 4 ((!‘4) · 4) ∈ ℕ
23 nndivre 8875 . . . 4 (((4 + 1) ∈ ℝ ∧ ((!‘4) · 4) ∈ ℕ) → ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ)
2418, 22, 23mp2an 423 . . 3 ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ
25 remulcl 7863 . . 3 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) ∈ ℝ)
2616, 24, 25sylancl 410 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) ∈ ℝ)
27 6nn 9004 . . 3 6 ∈ ℕ
28 nndivre 8875 . . 3 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
2916, 27, 28sylancl 410 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
30 eqid 2157 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘(i · 𝐴))↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘(i · 𝐴))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
31 eqid 2157 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘(i · 𝐴))↑4) / (!‘4)) · ((1 / (4 + 1))↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘(i · 𝐴))↑4) / (!‘4)) · ((1 / (4 + 1))↑𝑛)))
3221a1i 9 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 4 ∈ ℕ)
33 absmul 10981 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘(i · 𝐴)) = ((abs‘i) · (abs‘𝐴)))
341, 7, 33sylancr 411 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) = ((abs‘i) · (abs‘𝐴)))
35 absi 10971 . . . . . . . 8 (abs‘i) = 1
3635oveq1i 5837 . . . . . . 7 ((abs‘i) · (abs‘𝐴)) = (1 · (abs‘𝐴))
375simp2bi 998 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝐴)
386, 37elrpd 9607 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ+)
39 rpre 9574 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
40 rpge0 9580 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
4139, 40absidd 11079 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4238, 41syl 14 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4342oveq2d 5843 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 · (abs‘𝐴)) = (1 · 𝐴))
4436, 43syl5eq 2202 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘i) · (abs‘𝐴)) = (1 · 𝐴))
457mulid2d 7899 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
4634, 44, 453eqtrd 2194 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) = 𝐴)
475simp3bi 999 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ≤ 1)
4846, 47eqbrtrd 3989 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) ≤ 1)
4911, 30, 31, 32, 9, 48eftlub 11599 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) ≤ (((abs‘(i · 𝐴))↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
5046oveq1d 5842 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘(i · 𝐴))↑4) = (𝐴↑4))
5150oveq1d 5842 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((abs‘(i · 𝐴))↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) = ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
5249, 51breqtrd 3993 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) ≤ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
53 3pos 8933 . . . . . . . . 9 0 < 3
54 0re 7881 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
55 3re 8913 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
56 5re 8918 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℝ
5754, 55, 56ltadd1i 8382 . . . . . . . . 9 (0 < 3 ↔ (0 + 5) < (3 + 5))
5853, 57mpbi 144 . . . . . . . 8 (0 + 5) < (3 + 5)
59 5cn 8919 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
6059addid2i 8023 . . . . . . . 8 (0 + 5) = 5
61 cu2 10527 . . . . . . . . 9 (2↑3) = 8
62 5p3e8 8986 . . . . . . . . 9 (5 + 3) = 8
63 3cn 8914 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
6459, 63addcomi 8024 . . . . . . . . 9 (5 + 3) = (3 + 5)
6561, 62, 643eqtr2ri 2185 . . . . . . . 8 (3 + 5) = (2↑3)
6658, 60, 653brtr3i 3996 . . . . . . 7 5 < (2↑3)
67 2re 8909 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
68 1le2 9047 . . . . . . . 8 1 ≤ 2
69 4z 9203 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℤ
70 3lt4 9011 . . . . . . . . . 10 3 < 4
7155, 17, 70ltleii 7983 . . . . . . . . 9 3 ≤ 4
72 3z 9202 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℤ
7372eluz1i 9452 . . . . . . . . 9 (4 ∈ (ℤ‘3) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 4))
7469, 71, 73mpbir2an 927 . . . . . . . 8 4 ∈ (ℤ‘3)
75 leexp2a 10482 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2 ∧ 4 ∈ (ℤ‘3)) → (2↑3) ≤ (2↑4))
7667, 68, 74, 75mp3an 1319 . . . . . . 7 (2↑3) ≤ (2↑4)
77 8re 8924 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℝ
7861, 77eqeltri 2230 . . . . . . . 8 (2↑3) ∈ ℝ
79 2nn 9000 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ
80 nnexpcl 10442 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (2↑4) ∈ ℕ)
8179, 10, 80mp2an 423 . . . . . . . . 9 (2↑4) ∈ ℕ
8281nnrei 8848 . . . . . . . 8 (2↑4) ∈ ℝ
8356, 78, 82ltletri 7987 . . . . . . 7 ((5 < (2↑3) ∧ (2↑3) ≤ (2↑4)) → 5 < (2↑4))
8466, 76, 83mp2an 423 . . . . . 6 5 < (2↑4)
85 6re 8920 . . . . . . . 8 6 ∈ ℝ
8685, 82remulcli 7895 . . . . . . 7 (6 · (2↑4)) ∈ ℝ
87 6pos 8940 . . . . . . . 8 0 < 6
8881nngt0i 8869 . . . . . . . 8 0 < (2↑4)
8985, 82, 87, 88mulgt0ii 7991 . . . . . . 7 0 < (6 · (2↑4))
9056, 82, 86, 89ltdiv1ii 8806 . . . . . 6 (5 < (2↑4) ↔ (5 / (6 · (2↑4))) < ((2↑4) / (6 · (2↑4))))
9184, 90mpbi 144 . . . . 5 (5 / (6 · (2↑4))) < ((2↑4) / (6 · (2↑4)))
92 df-5 8901 . . . . . 6 5 = (4 + 1)
93 df-4 8900 . . . . . . . . . . 11 4 = (3 + 1)
9493fveq2i 5474 . . . . . . . . . 10 (!‘4) = (!‘(3 + 1))
95 3nn0 9114 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ0
96 facp1 10616 . . . . . . . . . . 11 (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
9795, 96ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
98 sq2 10524 . . . . . . . . . . . 12 (2↑2) = 4
9998, 93eqtr2i 2179 . . . . . . . . . . 11 (3 + 1) = (2↑2)
10099oveq2i 5838 . . . . . . . . . 10 ((!‘3) · (3 + 1)) = ((!‘3) · (2↑2))
10194, 97, 1003eqtri 2182 . . . . . . . . 9 (!‘4) = ((!‘3) · (2↑2))
102101oveq1i 5837 . . . . . . . 8 ((!‘4) · (2↑2)) = (((!‘3) · (2↑2)) · (2↑2))
10398oveq2i 5838 . . . . . . . 8 ((!‘4) · (2↑2)) = ((!‘4) · 4)
104 fac3 10618 . . . . . . . . . 10 (!‘3) = 6
105 6cn 8921 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℂ
106104, 105eqeltri 2230 . . . . . . . . 9 (!‘3) ∈ ℂ
10717recni 7893 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
10898, 107eqeltri 2230 . . . . . . . . 9 (2↑2) ∈ ℂ
109106, 108, 108mulassi 7890 . . . . . . . 8 (((!‘3) · (2↑2)) · (2↑2)) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
110102, 103, 1093eqtr3i 2186 . . . . . . 7 ((!‘4) · 4) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
111 2p2e4 8966 . . . . . . . . . 10 (2 + 2) = 4
112111oveq2i 5838 . . . . . . . . 9 (2↑(2 + 2)) = (2↑4)
113 2cn 8910 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
114 2nn0 9113 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
115 expadd 10471 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (2↑(2 + 2)) = ((2↑2) · (2↑2)))
116113, 114, 114, 115mp3an 1319 . . . . . . . . 9 (2↑(2 + 2)) = ((2↑2) · (2↑2))
117112, 116eqtr3i 2180 . . . . . . . 8 (2↑4) = ((2↑2) · (2↑2))
118117oveq2i 5838 . . . . . . 7 ((!‘3) · (2↑4)) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
119104oveq1i 5837 . . . . . . 7 ((!‘3) · (2↑4)) = (6 · (2↑4))
120110, 118, 1193eqtr2ri 2185 . . . . . 6 (6 · (2↑4)) = ((!‘4) · 4)
12192, 120oveq12i 5839 . . . . 5 (5 / (6 · (2↑4))) = ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))
12281nncni 8849 . . . . . . . 8 (2↑4) ∈ ℂ
123122mulid2i 7884 . . . . . . 7 (1 · (2↑4)) = (2↑4)
124123oveq1i 5837 . . . . . 6 ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4))) = ((2↑4) / (6 · (2↑4)))
12582, 88gt0ap0ii 8508 . . . . . . . . 9 (2↑4) # 0
126122, 125dividapi 8623 . . . . . . . 8 ((2↑4) / (2↑4)) = 1
127126oveq2i 5838 . . . . . . 7 ((1 / 6) · ((2↑4) / (2↑4))) = ((1 / 6) · 1)
128 ax-1cn 7828 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
12985, 87gt0ap0ii 8508 . . . . . . . 8 6 # 0
130128, 105, 122, 122, 129, 125divmuldivapi 8650 . . . . . . 7 ((1 / 6) · ((2↑4) / (2↑4))) = ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4)))
13185, 129rerecclapi 8655 . . . . . . . . 9 (1 / 6) ∈ ℝ
132131recni 7893 . . . . . . . 8 (1 / 6) ∈ ℂ
133132mulid1i 7883 . . . . . . 7 ((1 / 6) · 1) = (1 / 6)
134127, 130, 1333eqtr3i 2186 . . . . . 6 ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4))) = (1 / 6)
135124, 134eqtr3i 2180 . . . . 5 ((2↑4) / (6 · (2↑4))) = (1 / 6)
13691, 121, 1353brtr3i 3996 . . . 4 ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6)
137 rpexpcl 10448 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℤ) → (𝐴↑4) ∈ ℝ+)
13838, 69, 137sylancl 410 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℝ+)
139 elrp 9569 . . . . . 6 ((𝐴↑4) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4)))
140 ltmul2 8733 . . . . . . 7 ((((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ ∧ (1 / 6) ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4))) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
14124, 131, 140mp3an12 1309 . . . . . 6 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4)) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
142139, 141sylbi 120 . . . . 5 ((𝐴↑4) ∈ ℝ+ → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
143138, 142syl 14 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
144136, 143mpbii 147 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
14516recnd 7909 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
146 divrecap 8566 . . . . 5 (((𝐴↑4) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
147105, 129, 146mp3an23 1311 . . . 4 ((𝐴↑4) ∈ ℂ → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
148145, 147syl 14 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
149144, 148breqtrrd 3995 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) / 6))
15014, 26, 29, 52, 149lelttrd 8005 1 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) < ((𝐴↑4) / 6))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 963   = wceq 1335  wcel 2128   class class class wbr 3967  cmpt 4028  cfv 5173  (class class class)co 5827  cc 7733  cr 7734  0cc0 7735  1c1 7736  ici 7737   + caddc 7738   · cmul 7740  *cxr 7914   < clt 7915  cle 7916   # cap 8461   / cdiv 8550  cn 8839  2c2 8890  3c3 8891  4c4 8892  5c5 8893  6c6 8894  8c8 8896  0cn0 9096  cz 9173  cuz 9445  +crp 9567  (,]cioc 9800  cexp 10428  !cfa 10611  abscabs 10909  Σcsu 11262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4082  ax-sep 4085  ax-nul 4093  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-un 4396  ax-setind 4499  ax-iinf 4550  ax-cnex 7826  ax-resscn 7827  ax-1cn 7828  ax-1re 7829  ax-icn 7830  ax-addcl 7831  ax-addrcl 7832  ax-mulcl 7833  ax-mulrcl 7834  ax-addcom 7835  ax-mulcom 7836  ax-addass 7837  ax-mulass 7838  ax-distr 7839  ax-i2m1 7840  ax-0lt1 7841  ax-1rid 7842  ax-0id 7843  ax-rnegex 7844  ax-precex 7845  ax-cnre 7846  ax-pre-ltirr 7847  ax-pre-ltwlin 7848  ax-pre-lttrn 7849  ax-pre-apti 7850  ax-pre-ltadd 7851  ax-pre-mulgt0 7852  ax-pre-mulext 7853  ax-arch 7854  ax-caucvg 7855
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-if 3507  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4029  df-mpt 4030  df-tr 4066  df-id 4256  df-po 4259  df-iso 4260  df-iord 4329  df-on 4331  df-ilim 4332  df-suc 4334  df-iom 4553  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-rn 4600  df-res 4601  df-ima 4602  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fn 5176  df-f 5177  df-f1 5178  df-fo 5179  df-f1o 5180  df-fv 5181  df-isom 5182  df-riota 5783  df-ov 5830  df-oprab 5831  df-mpo 5832  df-1st 6091  df-2nd 6092  df-recs 6255  df-irdg 6320  df-frec 6341  df-1o 6366  df-oadd 6370  df-er 6483  df-en 6689  df-dom 6690  df-fin 6691  df-pnf 7917  df-mnf 7918  df-xr 7919  df-ltxr 7920  df-le 7921  df-sub 8053  df-neg 8054  df-reap 8455  df-ap 8462  df-div 8551  df-inn 8840  df-2 8898  df-3 8899  df-4 8900  df-5 8901  df-6 8902  df-7 8903  df-8 8904  df-n0 9097  df-z 9174  df-uz 9446  df-q 9536  df-rp 9568  df-ioc 9804  df-ico 9805  df-fz 9920  df-fzo 10052  df-seqfrec 10355  df-exp 10429  df-fac 10612  df-ihash 10662  df-shft 10727  df-cj 10754  df-re 10755  df-im 10756  df-rsqrt 10910  df-abs 10911  df-clim 11188  df-sumdc 11263
This theorem is referenced by:  sin01bnd  11666  cos01bnd  11667
  Copyright terms: Public domain W3C validator