Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ef01bndlem GIF version

Theorem ef01bndlem 11110
 Description: Lemma for sin01bnd 11111 and cos01bnd 11112. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Hypothesis
Ref Expression
ef01bnd.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
Assertion
Ref Expression
ef01bndlem (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) < ((𝐴↑4) / 6))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem ef01bndlem
StepHypRef Expression
1 ax-icn 7503 . . . . 5 i ∈ ℂ
2 0xr 7597 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
3 1re 7550 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
4 elioc2 9417 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1)))
52, 3, 4mp2an 418 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1))
65simp1bi 959 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
76recnd 7579 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℂ)
8 mulcl 7532 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
91, 7, 8sylancr 406 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
10 4nn0 8755 . . . 4 4 ∈ ℕ0
11 ef01bnd.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
1211eftlcl 11041 . . . 4 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
139, 10, 12sylancl 405 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1413abscld 10677 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
15 reexpcl 10035 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
166, 10, 15sylancl 405 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
17 4re 8562 . . . . 5 4 ∈ ℝ
1817, 3readdcli 7564 . . . 4 (4 + 1) ∈ ℝ
19 faccl 10206 . . . . . 6 (4 ∈ ℕ0 → (!‘4) ∈ ℕ)
2010, 19ax-mp 7 . . . . 5 (!‘4) ∈ ℕ
21 4nn 8642 . . . . 5 4 ∈ ℕ
2220, 21nnmulcli 8507 . . . 4 ((!‘4) · 4) ∈ ℕ
23 nndivre 8521 . . . 4 (((4 + 1) ∈ ℝ ∧ ((!‘4) · 4) ∈ ℕ) → ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ)
2418, 22, 23mp2an 418 . . 3 ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ
25 remulcl 7533 . . 3 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) ∈ ℝ)
2616, 24, 25sylancl 405 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) ∈ ℝ)
27 6nn 8644 . . 3 6 ∈ ℕ
28 nndivre 8521 . . 3 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
2916, 27, 28sylancl 405 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
30 eqid 2089 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘(i · 𝐴))↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘(i · 𝐴))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
31 eqid 2089 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘(i · 𝐴))↑4) / (!‘4)) · ((1 / (4 + 1))↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘(i · 𝐴))↑4) / (!‘4)) · ((1 / (4 + 1))↑𝑛)))
3221a1i 9 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 4 ∈ ℕ)
33 absmul 10565 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘(i · 𝐴)) = ((abs‘i) · (abs‘𝐴)))
341, 7, 33sylancr 406 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) = ((abs‘i) · (abs‘𝐴)))
35 absi 10555 . . . . . . . 8 (abs‘i) = 1
3635oveq1i 5678 . . . . . . 7 ((abs‘i) · (abs‘𝐴)) = (1 · (abs‘𝐴))
375simp2bi 960 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝐴)
386, 37elrpd 9234 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ+)
39 rpre 9203 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
40 rpge0 9209 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
4139, 40absidd 10663 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4238, 41syl 14 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4342oveq2d 5684 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 · (abs‘𝐴)) = (1 · 𝐴))
4436, 43syl5eq 2133 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘i) · (abs‘𝐴)) = (1 · 𝐴))
457mulid2d 7569 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
4634, 44, 453eqtrd 2125 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) = 𝐴)
475simp3bi 961 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ≤ 1)
4846, 47eqbrtrd 3873 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) ≤ 1)
4911, 30, 31, 32, 9, 48eftlub 11043 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) ≤ (((abs‘(i · 𝐴))↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
5046oveq1d 5683 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘(i · 𝐴))↑4) = (𝐴↑4))
5150oveq1d 5683 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((abs‘(i · 𝐴))↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) = ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
5249, 51breqtrd 3877 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) ≤ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
53 3pos 8579 . . . . . . . . 9 0 < 3
54 0re 7551 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
55 3re 8559 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
56 5re 8564 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℝ
5754, 55, 56ltadd1i 8043 . . . . . . . . 9 (0 < 3 ↔ (0 + 5) < (3 + 5))
5853, 57mpbi 144 . . . . . . . 8 (0 + 5) < (3 + 5)
59 5cn 8565 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
6059addid2i 7688 . . . . . . . 8 (0 + 5) = 5
61 cu2 10116 . . . . . . . . 9 (2↑3) = 8
62 5p3e8 8626 . . . . . . . . 9 (5 + 3) = 8
63 3cn 8560 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
6459, 63addcomi 7689 . . . . . . . . 9 (5 + 3) = (3 + 5)
6561, 62, 643eqtr2ri 2116 . . . . . . . 8 (3 + 5) = (2↑3)
6658, 60, 653brtr3i 3880 . . . . . . 7 5 < (2↑3)
67 2re 8555 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
68 1le2 8687 . . . . . . . 8 1 ≤ 2
69 4z 8843 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℤ
70 3lt4 8651 . . . . . . . . . 10 3 < 4
7155, 17, 70ltleii 7650 . . . . . . . . 9 3 ≤ 4
72 3z 8842 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℤ
7372eluz1i 9089 . . . . . . . . 9 (4 ∈ (ℤ‘3) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 4))
7469, 71, 73mpbir2an 889 . . . . . . . 8 4 ∈ (ℤ‘3)
75 leexp2a 10071 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2 ∧ 4 ∈ (ℤ‘3)) → (2↑3) ≤ (2↑4))
7667, 68, 74, 75mp3an 1274 . . . . . . 7 (2↑3) ≤ (2↑4)
77 8re 8570 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℝ
7861, 77eqeltri 2161 . . . . . . . 8 (2↑3) ∈ ℝ
79 2nn 8640 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ
80 nnexpcl 10031 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (2↑4) ∈ ℕ)
8179, 10, 80mp2an 418 . . . . . . . . 9 (2↑4) ∈ ℕ
8281nnrei 8494 . . . . . . . 8 (2↑4) ∈ ℝ
8356, 78, 82ltletri 7654 . . . . . . 7 ((5 < (2↑3) ∧ (2↑3) ≤ (2↑4)) → 5 < (2↑4))
8466, 76, 83mp2an 418 . . . . . 6 5 < (2↑4)
85 6re 8566 . . . . . . . 8 6 ∈ ℝ
8685, 82remulcli 7565 . . . . . . 7 (6 · (2↑4)) ∈ ℝ
87 6pos 8586 . . . . . . . 8 0 < 6
8881nngt0i 8515 . . . . . . . 8 0 < (2↑4)
8985, 82, 87, 88mulgt0ii 7658 . . . . . . 7 0 < (6 · (2↑4))
9056, 82, 86, 89ltdiv1ii 8453 . . . . . 6 (5 < (2↑4) ↔ (5 / (6 · (2↑4))) < ((2↑4) / (6 · (2↑4))))
9184, 90mpbi 144 . . . . 5 (5 / (6 · (2↑4))) < ((2↑4) / (6 · (2↑4)))
92 df-5 8547 . . . . . 6 5 = (4 + 1)
93 df-4 8546 . . . . . . . . . . 11 4 = (3 + 1)
9493fveq2i 5323 . . . . . . . . . 10 (!‘4) = (!‘(3 + 1))
95 3nn0 8754 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ0
96 facp1 10201 . . . . . . . . . . 11 (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
9795, 96ax-mp 7 . . . . . . . . . 10 (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
98 sq2 10113 . . . . . . . . . . . 12 (2↑2) = 4
9998, 93eqtr2i 2110 . . . . . . . . . . 11 (3 + 1) = (2↑2)
10099oveq2i 5679 . . . . . . . . . 10 ((!‘3) · (3 + 1)) = ((!‘3) · (2↑2))
10194, 97, 1003eqtri 2113 . . . . . . . . 9 (!‘4) = ((!‘3) · (2↑2))
102101oveq1i 5678 . . . . . . . 8 ((!‘4) · (2↑2)) = (((!‘3) · (2↑2)) · (2↑2))
10398oveq2i 5679 . . . . . . . 8 ((!‘4) · (2↑2)) = ((!‘4) · 4)
104 fac3 10203 . . . . . . . . . 10 (!‘3) = 6
105 6cn 8567 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℂ
106104, 105eqeltri 2161 . . . . . . . . 9 (!‘3) ∈ ℂ
10717recni 7563 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
10898, 107eqeltri 2161 . . . . . . . . 9 (2↑2) ∈ ℂ
109106, 108, 108mulassi 7560 . . . . . . . 8 (((!‘3) · (2↑2)) · (2↑2)) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
110102, 103, 1093eqtr3i 2117 . . . . . . 7 ((!‘4) · 4) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
111 2p2e4 8606 . . . . . . . . . 10 (2 + 2) = 4
112111oveq2i 5679 . . . . . . . . 9 (2↑(2 + 2)) = (2↑4)
113 2cn 8556 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
114 2nn0 8753 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
115 expadd 10060 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (2↑(2 + 2)) = ((2↑2) · (2↑2)))
116113, 114, 114, 115mp3an 1274 . . . . . . . . 9 (2↑(2 + 2)) = ((2↑2) · (2↑2))
117112, 116eqtr3i 2111 . . . . . . . 8 (2↑4) = ((2↑2) · (2↑2))
118117oveq2i 5679 . . . . . . 7 ((!‘3) · (2↑4)) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
119104oveq1i 5678 . . . . . . 7 ((!‘3) · (2↑4)) = (6 · (2↑4))
120110, 118, 1193eqtr2ri 2116 . . . . . 6 (6 · (2↑4)) = ((!‘4) · 4)
12192, 120oveq12i 5680 . . . . 5 (5 / (6 · (2↑4))) = ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))
12281nncni 8495 . . . . . . . 8 (2↑4) ∈ ℂ
123122mulid2i 7554 . . . . . . 7 (1 · (2↑4)) = (2↑4)
124123oveq1i 5678 . . . . . 6 ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4))) = ((2↑4) / (6 · (2↑4)))
12582, 88gt0ap0ii 8167 . . . . . . . . 9 (2↑4) # 0
126122, 125dividapi 8275 . . . . . . . 8 ((2↑4) / (2↑4)) = 1
127126oveq2i 5679 . . . . . . 7 ((1 / 6) · ((2↑4) / (2↑4))) = ((1 / 6) · 1)
128 ax-1cn 7501 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
12985, 87gt0ap0ii 8167 . . . . . . . 8 6 # 0
130128, 105, 122, 122, 129, 125divmuldivapi 8302 . . . . . . 7 ((1 / 6) · ((2↑4) / (2↑4))) = ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4)))
13185, 129rerecclapi 8307 . . . . . . . . 9 (1 / 6) ∈ ℝ
132131recni 7563 . . . . . . . 8 (1 / 6) ∈ ℂ
133132mulid1i 7553 . . . . . . 7 ((1 / 6) · 1) = (1 / 6)
134127, 130, 1333eqtr3i 2117 . . . . . 6 ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4))) = (1 / 6)
135124, 134eqtr3i 2111 . . . . 5 ((2↑4) / (6 · (2↑4))) = (1 / 6)
13691, 121, 1353brtr3i 3880 . . . 4 ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6)
137 rpexpcl 10037 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℤ) → (𝐴↑4) ∈ ℝ+)
13838, 69, 137sylancl 405 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℝ+)
139 elrp 9199 . . . . . 6 ((𝐴↑4) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4)))
140 ltmul2 8380 . . . . . . 7 ((((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ ∧ (1 / 6) ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4))) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
14124, 131, 140mp3an12 1264 . . . . . 6 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4)) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
142139, 141sylbi 120 . . . . 5 ((𝐴↑4) ∈ ℝ+ → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
143138, 142syl 14 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
144136, 143mpbii 147 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
14516recnd 7579 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
146 divrecap 8218 . . . . 5 (((𝐴↑4) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
147105, 129, 146mp3an23 1266 . . . 4 ((𝐴↑4) ∈ ℂ → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
148145, 147syl 14 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
149144, 148breqtrrd 3879 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) / 6))
15014, 26, 29, 52, 149lelttrd 7671 1 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) < ((𝐴↑4) / 6))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 925   = wceq 1290   ∈ wcel 1439   class class class wbr 3853   ↦ cmpt 3907  ‘cfv 5030  (class class class)co 5668  ℂcc 7411  ℝcr 7412  0cc0 7413  1c1 7414  ici 7415   + caddc 7416   · cmul 7418  ℝ*cxr 7584   < clt 7585   ≤ cle 7586   # cap 8121   / cdiv 8202  ℕcn 8485  2c2 8536  3c3 8537  4c4 8538  5c5 8539  6c6 8540  8c8 8542  ℕ0cn0 8736  ℤcz 8813  ℤ≥cuz 9082  ℝ+crp 9197  (,]cioc 9370  ↑cexp 10017  !cfa 10196  abscabs 10493  Σcsu 10805 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526  ax-arch 7527  ax-caucvg 7528 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-isom 5039  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-irdg 6151  df-frec 6172  df-1o 6197  df-oadd 6201  df-er 6308  df-en 6514  df-dom 6515  df-fin 6516  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-2 8544  df-3 8545  df-4 8546  df-5 8547  df-6 8548  df-7 8549  df-8 8550  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-q 9168  df-rp 9198  df-ioc 9374  df-ico 9375  df-fz 9488  df-fzo 9617  df-iseq 9916  df-seq3 9917  df-exp 10018  df-fac 10197  df-ihash 10247  df-shft 10312  df-cj 10339  df-re 10340  df-im 10341  df-rsqrt 10494  df-abs 10495  df-clim 10730  df-isum 10806 This theorem is referenced by:  sin01bnd  11111  cos01bnd  11112
 Copyright terms: Public domain W3C validator