ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ef01bndlem GIF version

Theorem ef01bndlem 11764
Description: Lemma for sin01bnd 11765 and cos01bnd 11766. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Hypothesis
Ref Expression
ef01bnd.1 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
Assertion
Ref Expression
ef01bndlem (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜)) < ((๐ดโ†‘4) / 6))
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐‘›,๐ด   ๐‘˜,๐น
Allowed substitution hint:   ๐น(๐‘›)

Proof of Theorem ef01bndlem
StepHypRef Expression
1 ax-icn 7906 . . . . 5 i โˆˆ โ„‚
2 0xr 8004 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„*
3 1re 7956 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„
4 elioc2 9936 . . . . . . . 8 ((0 โˆˆ โ„* โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)))
52, 3, 4mp2an 426 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))
65simp1bi 1012 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
76recnd 7986 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
8 mulcl 7938 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
91, 7, 8sylancr 414 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
10 4nn0 9195 . . . 4 4 โˆˆ โ„•0
11 ef01bnd.1 . . . . 5 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
1211eftlcl 11696 . . . 4 (((i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โˆˆ โ„•0) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
139, 10, 12sylancl 413 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
1413abscld 11190 . 2 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
15 reexpcl 10537 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 4 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„)
166, 10, 15sylancl 413 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„)
17 4re 8996 . . . . 5 4 โˆˆ โ„
1817, 3readdcli 7970 . . . 4 (4 + 1) โˆˆ โ„
19 faccl 10715 . . . . . 6 (4 โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜4) โˆˆ โ„•)
2010, 19ax-mp 5 . . . . 5 (!โ€˜4) โˆˆ โ„•
21 4nn 9082 . . . . 5 4 โˆˆ โ„•
2220, 21nnmulcli 8941 . . . 4 ((!โ€˜4) ยท 4) โˆˆ โ„•
23 nndivre 8955 . . . 4 (((4 + 1) โˆˆ โ„ โˆง ((!โ€˜4) ยท 4) โˆˆ โ„•) โ†’ ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4)) โˆˆ โ„)
2418, 22, 23mp2an 426 . . 3 ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4)) โˆˆ โ„
25 remulcl 7939 . . 3 (((๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„ โˆง ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4)) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ดโ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))) โˆˆ โ„)
2616, 24, 25sylancl 413 . 2 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))) โˆˆ โ„)
27 6nn 9084 . . 3 6 โˆˆ โ„•
28 nndivre 8955 . . 3 (((๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„ โˆง 6 โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ดโ†‘4) / 6) โˆˆ โ„)
2916, 27, 28sylancl 413 . 2 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘4) / 6) โˆˆ โ„)
30 eqid 2177 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((absโ€˜(i ยท ๐ด))โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›))) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((absโ€˜(i ยท ๐ด))โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
31 eqid 2177 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((((absโ€˜(i ยท ๐ด))โ†‘4) / (!โ€˜4)) ยท ((1 / (4 + 1))โ†‘๐‘›))) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((((absโ€˜(i ยท ๐ด))โ†‘4) / (!โ€˜4)) ยท ((1 / (4 + 1))โ†‘๐‘›)))
3221a1i 9 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ 4 โˆˆ โ„•)
33 absmul 11078 . . . . . . 7 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (absโ€˜(i ยท ๐ด)) = ((absโ€˜i) ยท (absโ€˜๐ด)))
341, 7, 33sylancr 414 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜(i ยท ๐ด)) = ((absโ€˜i) ยท (absโ€˜๐ด)))
35 absi 11068 . . . . . . . 8 (absโ€˜i) = 1
3635oveq1i 5885 . . . . . . 7 ((absโ€˜i) ยท (absโ€˜๐ด)) = (1 ยท (absโ€˜๐ด))
375simp2bi 1013 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ 0 < ๐ด)
386, 37elrpd 9693 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
39 rpre 9660 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
40 rpge0 9666 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
4139, 40absidd 11176 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (absโ€˜๐ด) = ๐ด)
4238, 41syl 14 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜๐ด) = ๐ด)
4342oveq2d 5891 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (1 ยท (absโ€˜๐ด)) = (1 ยท ๐ด))
4436, 43eqtrid 2222 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((absโ€˜i) ยท (absโ€˜๐ด)) = (1 ยท ๐ด))
457mulid2d 7976 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
4634, 44, 453eqtrd 2214 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜(i ยท ๐ด)) = ๐ด)
475simp3bi 1014 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ๐ด โ‰ค 1)
4846, 47eqbrtrd 4026 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜(i ยท ๐ด)) โ‰ค 1)
4911, 30, 31, 32, 9, 48eftlub 11698 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (((absโ€˜(i ยท ๐ด))โ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))))
5046oveq1d 5890 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((absโ€˜(i ยท ๐ด))โ†‘4) = (๐ดโ†‘4))
5150oveq1d 5890 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (((absโ€˜(i ยท ๐ด))โ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))) = ((๐ดโ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))))
5249, 51breqtrd 4030 . 2 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‰ค ((๐ดโ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))))
53 3pos 9013 . . . . . . . . 9 0 < 3
54 0re 7957 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„
55 3re 8993 . . . . . . . . . 10 3 โˆˆ โ„
56 5re 8998 . . . . . . . . . 10 5 โˆˆ โ„
5754, 55, 56ltadd1i 8459 . . . . . . . . 9 (0 < 3 โ†” (0 + 5) < (3 + 5))
5853, 57mpbi 145 . . . . . . . 8 (0 + 5) < (3 + 5)
59 5cn 8999 . . . . . . . . 9 5 โˆˆ โ„‚
6059addid2i 8100 . . . . . . . 8 (0 + 5) = 5
61 cu2 10619 . . . . . . . . 9 (2โ†‘3) = 8
62 5p3e8 9066 . . . . . . . . 9 (5 + 3) = 8
63 3cn 8994 . . . . . . . . . 10 3 โˆˆ โ„‚
6459, 63addcomi 8101 . . . . . . . . 9 (5 + 3) = (3 + 5)
6561, 62, 643eqtr2ri 2205 . . . . . . . 8 (3 + 5) = (2โ†‘3)
6658, 60, 653brtr3i 4033 . . . . . . 7 5 < (2โ†‘3)
67 2re 8989 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„
68 1le2 9127 . . . . . . . 8 1 โ‰ค 2
69 4z 9283 . . . . . . . . 9 4 โˆˆ โ„ค
70 3lt4 9091 . . . . . . . . . 10 3 < 4
7155, 17, 70ltleii 8060 . . . . . . . . 9 3 โ‰ค 4
72 3z 9282 . . . . . . . . . 10 3 โˆˆ โ„ค
7372eluz1i 9535 . . . . . . . . 9 (4 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†” (4 โˆˆ โ„ค โˆง 3 โ‰ค 4))
7469, 71, 73mpbir2an 942 . . . . . . . 8 4 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)
75 leexp2a 10573 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค 2 โˆง 4 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ (2โ†‘3) โ‰ค (2โ†‘4))
7667, 68, 74, 75mp3an 1337 . . . . . . 7 (2โ†‘3) โ‰ค (2โ†‘4)
77 8re 9004 . . . . . . . . 9 8 โˆˆ โ„
7861, 77eqeltri 2250 . . . . . . . 8 (2โ†‘3) โˆˆ โ„
79 2nn 9080 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„•
80 nnexpcl 10533 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„• โˆง 4 โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘4) โˆˆ โ„•)
8179, 10, 80mp2an 426 . . . . . . . . 9 (2โ†‘4) โˆˆ โ„•
8281nnrei 8928 . . . . . . . 8 (2โ†‘4) โˆˆ โ„
8356, 78, 82ltletri 8064 . . . . . . 7 ((5 < (2โ†‘3) โˆง (2โ†‘3) โ‰ค (2โ†‘4)) โ†’ 5 < (2โ†‘4))
8466, 76, 83mp2an 426 . . . . . 6 5 < (2โ†‘4)
85 6re 9000 . . . . . . . 8 6 โˆˆ โ„
8685, 82remulcli 7971 . . . . . . 7 (6 ยท (2โ†‘4)) โˆˆ โ„
87 6pos 9020 . . . . . . . 8 0 < 6
8881nngt0i 8949 . . . . . . . 8 0 < (2โ†‘4)
8985, 82, 87, 88mulgt0ii 8068 . . . . . . 7 0 < (6 ยท (2โ†‘4))
9056, 82, 86, 89ltdiv1ii 8886 . . . . . 6 (5 < (2โ†‘4) โ†” (5 / (6 ยท (2โ†‘4))) < ((2โ†‘4) / (6 ยท (2โ†‘4))))
9184, 90mpbi 145 . . . . 5 (5 / (6 ยท (2โ†‘4))) < ((2โ†‘4) / (6 ยท (2โ†‘4)))
92 df-5 8981 . . . . . 6 5 = (4 + 1)
93 df-4 8980 . . . . . . . . . . 11 4 = (3 + 1)
9493fveq2i 5519 . . . . . . . . . 10 (!โ€˜4) = (!โ€˜(3 + 1))
95 3nn0 9194 . . . . . . . . . . 11 3 โˆˆ โ„•0
96 facp1 10710 . . . . . . . . . . 11 (3 โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(3 + 1)) = ((!โ€˜3) ยท (3 + 1)))
9795, 96ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (!โ€˜(3 + 1)) = ((!โ€˜3) ยท (3 + 1))
98 sq2 10616 . . . . . . . . . . . 12 (2โ†‘2) = 4
9998, 93eqtr2i 2199 . . . . . . . . . . 11 (3 + 1) = (2โ†‘2)
10099oveq2i 5886 . . . . . . . . . 10 ((!โ€˜3) ยท (3 + 1)) = ((!โ€˜3) ยท (2โ†‘2))
10194, 97, 1003eqtri 2202 . . . . . . . . 9 (!โ€˜4) = ((!โ€˜3) ยท (2โ†‘2))
102101oveq1i 5885 . . . . . . . 8 ((!โ€˜4) ยท (2โ†‘2)) = (((!โ€˜3) ยท (2โ†‘2)) ยท (2โ†‘2))
10398oveq2i 5886 . . . . . . . 8 ((!โ€˜4) ยท (2โ†‘2)) = ((!โ€˜4) ยท 4)
104 fac3 10712 . . . . . . . . . 10 (!โ€˜3) = 6
105 6cn 9001 . . . . . . . . . 10 6 โˆˆ โ„‚
106104, 105eqeltri 2250 . . . . . . . . 9 (!โ€˜3) โˆˆ โ„‚
10717recni 7969 . . . . . . . . . 10 4 โˆˆ โ„‚
10898, 107eqeltri 2250 . . . . . . . . 9 (2โ†‘2) โˆˆ โ„‚
109106, 108, 108mulassi 7966 . . . . . . . 8 (((!โ€˜3) ยท (2โ†‘2)) ยท (2โ†‘2)) = ((!โ€˜3) ยท ((2โ†‘2) ยท (2โ†‘2)))
110102, 103, 1093eqtr3i 2206 . . . . . . 7 ((!โ€˜4) ยท 4) = ((!โ€˜3) ยท ((2โ†‘2) ยท (2โ†‘2)))
111 2p2e4 9046 . . . . . . . . . 10 (2 + 2) = 4
112111oveq2i 5886 . . . . . . . . 9 (2โ†‘(2 + 2)) = (2โ†‘4)
113 2cn 8990 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„‚
114 2nn0 9193 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„•0
115 expadd 10562 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„•0 โˆง 2 โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(2 + 2)) = ((2โ†‘2) ยท (2โ†‘2)))
116113, 114, 114, 115mp3an 1337 . . . . . . . . 9 (2โ†‘(2 + 2)) = ((2โ†‘2) ยท (2โ†‘2))
117112, 116eqtr3i 2200 . . . . . . . 8 (2โ†‘4) = ((2โ†‘2) ยท (2โ†‘2))
118117oveq2i 5886 . . . . . . 7 ((!โ€˜3) ยท (2โ†‘4)) = ((!โ€˜3) ยท ((2โ†‘2) ยท (2โ†‘2)))
119104oveq1i 5885 . . . . . . 7 ((!โ€˜3) ยท (2โ†‘4)) = (6 ยท (2โ†‘4))
120110, 118, 1193eqtr2ri 2205 . . . . . 6 (6 ยท (2โ†‘4)) = ((!โ€˜4) ยท 4)
12192, 120oveq12i 5887 . . . . 5 (5 / (6 ยท (2โ†‘4))) = ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))
12281nncni 8929 . . . . . . . 8 (2โ†‘4) โˆˆ โ„‚
123122mullidi 7960 . . . . . . 7 (1 ยท (2โ†‘4)) = (2โ†‘4)
124123oveq1i 5885 . . . . . 6 ((1 ยท (2โ†‘4)) / (6 ยท (2โ†‘4))) = ((2โ†‘4) / (6 ยท (2โ†‘4)))
12582, 88gt0ap0ii 8585 . . . . . . . . 9 (2โ†‘4) # 0
126122, 125dividapi 8702 . . . . . . . 8 ((2โ†‘4) / (2โ†‘4)) = 1
127126oveq2i 5886 . . . . . . 7 ((1 / 6) ยท ((2โ†‘4) / (2โ†‘4))) = ((1 / 6) ยท 1)
128 ax-1cn 7904 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„‚
12985, 87gt0ap0ii 8585 . . . . . . . 8 6 # 0
130128, 105, 122, 122, 129, 125divmuldivapi 8729 . . . . . . 7 ((1 / 6) ยท ((2โ†‘4) / (2โ†‘4))) = ((1 ยท (2โ†‘4)) / (6 ยท (2โ†‘4)))
13185, 129rerecclapi 8734 . . . . . . . . 9 (1 / 6) โˆˆ โ„
132131recni 7969 . . . . . . . 8 (1 / 6) โˆˆ โ„‚
133132mulid1i 7959 . . . . . . 7 ((1 / 6) ยท 1) = (1 / 6)
134127, 130, 1333eqtr3i 2206 . . . . . 6 ((1 ยท (2โ†‘4)) / (6 ยท (2โ†‘4))) = (1 / 6)
135124, 134eqtr3i 2200 . . . . 5 ((2โ†‘4) / (6 ยท (2โ†‘4))) = (1 / 6)
13691, 121, 1353brtr3i 4033 . . . 4 ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4)) < (1 / 6)
137 rpexpcl 10539 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 4 โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„+)
13838, 69, 137sylancl 413 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„+)
139 elrp 9655 . . . . . 6 ((๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„+ โ†” ((๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ดโ†‘4)))
140 ltmul2 8813 . . . . . . 7 ((((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4)) โˆˆ โ„ โˆง (1 / 6) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ดโ†‘4))) โ†’ (((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4)) < (1 / 6) โ†” ((๐ดโ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))) < ((๐ดโ†‘4) ยท (1 / 6))))
14124, 131, 140mp3an12 1327 . . . . . 6 (((๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ดโ†‘4)) โ†’ (((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4)) < (1 / 6) โ†” ((๐ดโ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))) < ((๐ดโ†‘4) ยท (1 / 6))))
142139, 141sylbi 121 . . . . 5 ((๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„+ โ†’ (((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4)) < (1 / 6) โ†” ((๐ดโ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))) < ((๐ดโ†‘4) ยท (1 / 6))))
143138, 142syl 14 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4)) < (1 / 6) โ†” ((๐ดโ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))) < ((๐ดโ†‘4) ยท (1 / 6))))
144136, 143mpbii 148 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))) < ((๐ดโ†‘4) ยท (1 / 6)))
14516recnd 7986 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„‚)
146 divrecap 8645 . . . . 5 (((๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„‚ โˆง 6 โˆˆ โ„‚ โˆง 6 # 0) โ†’ ((๐ดโ†‘4) / 6) = ((๐ดโ†‘4) ยท (1 / 6)))
147105, 129, 146mp3an23 1329 . . . 4 ((๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ดโ†‘4) / 6) = ((๐ดโ†‘4) ยท (1 / 6)))
148145, 147syl 14 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘4) / 6) = ((๐ดโ†‘4) ยท (1 / 6)))
149144, 148breqtrrd 4032 . 2 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))) < ((๐ดโ†‘4) / 6))
15014, 26, 29, 52, 149lelttrd 8082 1 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜)) < ((๐ดโ†‘4) / 6))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4004   โ†ฆ cmpt 4065  โ€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  โ„‚cc 7809  โ„cr 7810  0cc0 7811  1c1 7812  ici 7813   + caddc 7814   ยท cmul 7816  โ„*cxr 7991   < clt 7992   โ‰ค cle 7993   # cap 8538   / cdiv 8629  โ„•cn 8919  2c2 8970  3c3 8971  4c4 8972  5c5 8973  6c6 8974  8c8 8976  โ„•0cn0 9176  โ„คcz 9253  โ„คโ‰ฅcuz 9528  โ„+crp 9653  (,]cioc 9889  โ†‘cexp 10519  !cfa 10705  abscabs 11006  ฮฃcsu 11361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-5 8981  df-6 8982  df-7 8983  df-8 8984  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-ioc 9893  df-ico 9894  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-fac 10706  df-ihash 10756  df-shft 10824  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-sumdc 11362
This theorem is referenced by:  sin01bnd  11765  cos01bnd  11766
  Copyright terms: Public domain W3C validator