Theorem ef01bndlem 12506

Description: Lemma for sin01bnd 12507 and cos01bnd 12508. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Hypothesis

Ref	Expression
ef01bnd.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
ef01bndlem	⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)) < ((𝐴↑4) / 6))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem ef01bndlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 8268	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
2		0xr 8366	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3		1re 8319	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		elioc2 10321	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)))
5	2, 3, 4	mp2an 430	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1))
6	5	simp1bi 1043	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	recnd 8348	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℂ)
8		mulcl 8300	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
9	1, 7, 8	sylancr 418	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
10		4nn0 9565	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
11		ef01bnd.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
12	11	eftlcl 12438	. . . 4 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
13	9, 10, 12	sylancl 417	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
14	13	abscld 11930	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
15		reexpcl 10976	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
16	6, 10, 15	sylancl 417	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
17		4re 9364	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
18	17, 3	readdcli 8333	. . . 4 ⊢ (4 + 1) ∈ ℝ
19		faccl 11156	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (!‘4) ∈ ℕ)
20	10, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘4) ∈ ℕ
21		4nn 9451	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
22	20, 21	nnmulcli 9309	. . . 4 ⊢ ((!‘4) · 4) ∈ ℕ
23		nndivre 9323	. . . 4 ⊢ (((4 + 1) ∈ ℝ ∧ ((!‘4) · 4) ∈ ℕ) → ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ)
24	18, 22, 23	mp2an 430	. . 3 ⊢ ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ
25		remulcl 8301	. . 3 ⊢ (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) ∈ ℝ)
26	16, 24, 25	sylancl 417	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) ∈ ℝ)
27		6nn 9453	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
28		nndivre 9323	. . 3 ⊢ (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
29	16, 27, 28	sylancl 417	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
30		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘(i · 𝐴))↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘(i · 𝐴))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
31		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘(i · 𝐴))↑4) / (!‘4)) · ((1 / (4 + 1))↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘(i · 𝐴))↑4) / (!‘4)) · ((1 / (4 + 1))↑𝑛)))
32	21	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 4 ∈ ℕ)
33		absmul 11818	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘(i · 𝐴)) = ((abs‘i) · (abs‘𝐴)))
34	1, 7, 33	sylancr 418	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) = ((abs‘i) · (abs‘𝐴)))
35		absi 11808	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘i) = 1
36	35	oveq1i 6089	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘i) · (abs‘𝐴)) = (1 · (abs‘𝐴))
37	5	simp2bi 1044	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝐴)
38	6, 37	elrpd 10077	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ+)
39		rpre 10044	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
40		rpge0 10050	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
41	39, 40	absidd 11916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (abs‘𝐴) = 𝐴)
42	38, 41	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
43	42	oveq2d 6095	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 · (abs‘𝐴)) = (1 · 𝐴))
44	36, 43	eqtrid 2283	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘i) · (abs‘𝐴)) = (1 · 𝐴))
45	7	mullidd 8338	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
46	34, 44, 45	3eqtrd 2275	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) = 𝐴)
47	5	simp3bi 1045	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ≤ 1)
48	46, 47	eqbrtrd 4150	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) ≤ 1)
49	11, 30, 31, 32, 9, 48	eftlub 12440	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)) ≤ (((abs‘(i · 𝐴))↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
50	46	oveq1d 6094	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘(i · 𝐴))↑4) = (𝐴↑4))
51	50	oveq1d 6094	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((abs‘(i · 𝐴))↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) = ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
52	49, 51	breqtrd 4154	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)) ≤ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
53		3pos 9381	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 3
54		0re 8320	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
55		3re 9361	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
56		5re 9366	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℝ
57	54, 55, 56	ltadd1i 8824	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 < 3 ↔ (0 + 5) < (3 + 5))
58	53, 57	mpbi 145	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 5) < (3 + 5)
59		5cn 9367	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
60	59	addlidi 8463	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 5) = 5
61		cu2 11058	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑3) = 8
62		5p3e8 9435	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 + 3) = 8
63		3cn 9362	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
64	59, 63	addcomi 8464	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 + 3) = (3 + 5)
65	61, 62, 64	3eqtr2ri 2266	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 5) = (2↑3)
66	58, 60, 65	3brtr3i 4157	. . . . . . 7 ⊢ 5 < (2↑3)
67		2re 9357	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
68		1le2 9496	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≤ 2
69		4z 9657	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℤ
70		3lt4 9460	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 < 4
71	55, 17, 70	ltleii 8422	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≤ 4
72		3z 9656	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℤ
73	72	eluz1i 9912	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 4))
74	69, 71, 73	mpbir2an 955	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘3)
75		leexp2a 11012	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2 ∧ 4 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2↑3) ≤ (2↑4))
76	67, 68, 74, 75	mp3an 1378	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) ≤ (2↑4)
77		8re 9372	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℝ
78	61, 77	eqeltri 2311	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑3) ∈ ℝ
79		2nn 9449	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
80		nnexpcl 10972	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (2↑4) ∈ ℕ)
81	79, 10, 80	mp2an 430	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑4) ∈ ℕ
82	81	nnrei 9296	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑4) ∈ ℝ
83	56, 78, 82	ltletri 8426	. . . . . . 7 ⊢ ((5 < (2↑3) ∧ (2↑3) ≤ (2↑4)) → 5 < (2↑4))
84	66, 76, 83	mp2an 430	. . . . . 6 ⊢ 5 < (2↑4)
85		6re 9368	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℝ
86	85, 82	remulcli 8334	. . . . . . 7 ⊢ (6 · (2↑4)) ∈ ℝ
87		6pos 9388	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 6
88	81	nngt0i 9317	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < (2↑4)
89	85, 82, 87, 88	mulgt0ii 8430	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (6 · (2↑4))
90	56, 82, 86, 89	ltdiv1ii 9253	. . . . . 6 ⊢ (5 < (2↑4) ↔ (5 / (6 · (2↑4))) < ((2↑4) / (6 · (2↑4))))
91	84, 90	mpbi 145	. . . . 5 ⊢ (5 / (6 · (2↑4))) < ((2↑4) / (6 · (2↑4)))
92		df-5 9349	. . . . . 6 ⊢ 5 = (4 + 1)
93		df-4 9348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 = (3 + 1)
94	93	fveq2i 5696	. . . . . . . . . 10 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
95		3nn0 9564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ0
96		facp1 11151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
97	95, 96	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
98		sq2 11055	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑2) = 4
99	98, 93	eqtr2i 2260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 + 1) = (2↑2)
100	99	oveq2i 6090	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((!‘3) · (3 + 1)) = ((!‘3) · (2↑2))
101	94, 97, 100	3eqtri 2263	. . . . . . . . 9 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · (2↑2))
102	101	oveq1i 6089	. . . . . . . 8 ⊢ ((!‘4) · (2↑2)) = (((!‘3) · (2↑2)) · (2↑2))
103	98	oveq2i 6090	. . . . . . . 8 ⊢ ((!‘4) · (2↑2)) = ((!‘4) · 4)
104		fac3 11153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (!‘3) = 6
105		6cn 9369	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℂ
106	104, 105	eqeltri 2311	. . . . . . . . 9 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
107	17	recni 8332	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
108	98, 107	eqeltri 2311	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑2) ∈ ℂ
109	106, 108, 108	mulassi 8329	. . . . . . . 8 ⊢ (((!‘3) · (2↑2)) · (2↑2)) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
110	102, 103, 109	3eqtr3i 2267	. . . . . . 7 ⊢ ((!‘4) · 4) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
111		2p2e4 9414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 + 2) = 4
112	111	oveq2i 6090	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑(2 + 2)) = (2↑4)
113		2cn 9358	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
114		2nn0 9563	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
115		expadd 11001	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (2↑(2 + 2)) = ((2↑2) · (2↑2)))
116	113, 114, 114, 115	mp3an 1378	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑(2 + 2)) = ((2↑2) · (2↑2))
117	112, 116	eqtr3i 2261	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑4) = ((2↑2) · (2↑2))
118	117	oveq2i 6090	. . . . . . 7 ⊢ ((!‘3) · (2↑4)) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
119	104	oveq1i 6089	. . . . . . 7 ⊢ ((!‘3) · (2↑4)) = (6 · (2↑4))
120	110, 118, 119	3eqtr2ri 2266	. . . . . 6 ⊢ (6 · (2↑4)) = ((!‘4) · 4)
121	92, 120	oveq12i 6091	. . . . 5 ⊢ (5 / (6 · (2↑4))) = ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))
122	81	nncni 9297	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑4) ∈ ℂ
123	122	mullidi 8323	. . . . . . 7 ⊢ (1 · (2↑4)) = (2↑4)
124	123	oveq1i 6089	. . . . . 6 ⊢ ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4))) = ((2↑4) / (6 · (2↑4)))
125	82, 88	gt0ap0ii 8950	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑4) # 0
126	122, 125	dividapi 9069	. . . . . . . 8 ⊢ ((2↑4) / (2↑4)) = 1
127	126	oveq2i 6090	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 6) · ((2↑4) / (2↑4))) = ((1 / 6) · 1)
128		ax-1cn 8266	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
129	85, 87	gt0ap0ii 8950	. . . . . . . 8 ⊢ 6 # 0
130	128, 105, 122, 122, 129, 125	divmuldivapi 9096	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 6) · ((2↑4) / (2↑4))) = ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4)))
131	85, 129	rerecclapi 9101	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 6) ∈ ℝ
132	131	recni 8332	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 6) ∈ ℂ
133	132	mulridi 8322	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 6) · 1) = (1 / 6)
134	127, 130, 133	3eqtr3i 2267	. . . . . 6 ⊢ ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4))) = (1 / 6)
135	124, 134	eqtr3i 2261	. . . . 5 ⊢ ((2↑4) / (6 · (2↑4))) = (1 / 6)
136	91, 121, 135	3brtr3i 4157	. . . 4 ⊢ ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6)
137		rpexpcl 10978	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℤ) → (𝐴↑4) ∈ ℝ+)
138	38, 69, 137	sylancl 417	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℝ+)
139		elrp 10039	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴↑4) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4)))
140		ltmul2 9180	. . . . . . 7 ⊢ ((((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ ∧ (1 / 6) ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4))) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
141	24, 131, 140	mp3an12 1368	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4)) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
142	139, 141	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑4) ∈ ℝ+ → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
143	138, 142	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
144	136, 143	mpbii 148	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
145	16	recnd 8348	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
146		divrecap 9012	. . . . 5 ⊢ (((𝐴↑4) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
147	105, 129, 146	mp3an23 1370	. . . 4 ⊢ ((𝐴↑4) ∈ ℂ → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
148	145, 147	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
149	144, 148	breqtrrd 4156	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) / 6))
150	14, 26, 29, 52, 149	lelttrd 8445	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)) < ((𝐴↑4) / 6))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128   ↦ cmpt 4190  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  ℂcc 8171  ℝcr 8172  0cc0 8173  1c1 8174  ici 8175   + caddc 8176   · cmul 8178  ℝ^*cxr 8353   < clt 8354   ≤ cle 8355   # cap 8903   / cdiv 8996  ℕcn 9287  2c2 9338  3c3 9339  4c4 9340  5c5 9341  6c6 9342  8c8 9344  ℕ₀cn0 9546  ℤcz 9627  ℤ_≥cuz 9904  ℝ⁺crp 10037  (,]cioc 10274  ↑cexp 10958  !cfa 11146  abscabs 11746  Σcsu 12102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-isom 5384  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-frec 6656  df-1o 6681  df-oadd 6685  df-er 6801  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-ioc 10278  df-ico 10279  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-fac 11147  df-ihash 11198  df-shft 11563  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-clim 12028  df-sumdc 12103

This theorem is referenced by:  sin01bnd  12507  cos01bnd  12508