ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ef01bndlem GIF version

Theorem ef01bndlem 11373
Description: Lemma for sin01bnd 11374 and cos01bnd 11375. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Hypothesis
Ref Expression
ef01bnd.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
Assertion
Ref Expression
ef01bndlem (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) < ((𝐴↑4) / 6))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem ef01bndlem
StepHypRef Expression
1 ax-icn 7679 . . . . 5 i ∈ ℂ
2 0xr 7776 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
3 1re 7729 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
4 elioc2 9670 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1)))
52, 3, 4mp2an 420 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1))
65simp1bi 979 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
76recnd 7758 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℂ)
8 mulcl 7711 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
91, 7, 8sylancr 408 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
10 4nn0 8950 . . . 4 4 ∈ ℕ0
11 ef01bnd.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
1211eftlcl 11304 . . . 4 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
139, 10, 12sylancl 407 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1413abscld 10904 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
15 reexpcl 10261 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
166, 10, 15sylancl 407 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
17 4re 8757 . . . . 5 4 ∈ ℝ
1817, 3readdcli 7743 . . . 4 (4 + 1) ∈ ℝ
19 faccl 10432 . . . . . 6 (4 ∈ ℕ0 → (!‘4) ∈ ℕ)
2010, 19ax-mp 5 . . . . 5 (!‘4) ∈ ℕ
21 4nn 8837 . . . . 5 4 ∈ ℕ
2220, 21nnmulcli 8702 . . . 4 ((!‘4) · 4) ∈ ℕ
23 nndivre 8716 . . . 4 (((4 + 1) ∈ ℝ ∧ ((!‘4) · 4) ∈ ℕ) → ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ)
2418, 22, 23mp2an 420 . . 3 ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ
25 remulcl 7712 . . 3 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) ∈ ℝ)
2616, 24, 25sylancl 407 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) ∈ ℝ)
27 6nn 8839 . . 3 6 ∈ ℕ
28 nndivre 8716 . . 3 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
2916, 27, 28sylancl 407 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
30 eqid 2115 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘(i · 𝐴))↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘(i · 𝐴))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
31 eqid 2115 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘(i · 𝐴))↑4) / (!‘4)) · ((1 / (4 + 1))↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘(i · 𝐴))↑4) / (!‘4)) · ((1 / (4 + 1))↑𝑛)))
3221a1i 9 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 4 ∈ ℕ)
33 absmul 10792 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘(i · 𝐴)) = ((abs‘i) · (abs‘𝐴)))
341, 7, 33sylancr 408 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) = ((abs‘i) · (abs‘𝐴)))
35 absi 10782 . . . . . . . 8 (abs‘i) = 1
3635oveq1i 5750 . . . . . . 7 ((abs‘i) · (abs‘𝐴)) = (1 · (abs‘𝐴))
375simp2bi 980 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝐴)
386, 37elrpd 9432 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ+)
39 rpre 9399 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
40 rpge0 9405 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
4139, 40absidd 10890 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4238, 41syl 14 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4342oveq2d 5756 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 · (abs‘𝐴)) = (1 · 𝐴))
4436, 43syl5eq 2160 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘i) · (abs‘𝐴)) = (1 · 𝐴))
457mulid2d 7748 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
4634, 44, 453eqtrd 2152 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) = 𝐴)
475simp3bi 981 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ≤ 1)
4846, 47eqbrtrd 3918 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) ≤ 1)
4911, 30, 31, 32, 9, 48eftlub 11306 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) ≤ (((abs‘(i · 𝐴))↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
5046oveq1d 5755 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘(i · 𝐴))↑4) = (𝐴↑4))
5150oveq1d 5755 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((abs‘(i · 𝐴))↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) = ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
5249, 51breqtrd 3922 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) ≤ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
53 3pos 8774 . . . . . . . . 9 0 < 3
54 0re 7730 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
55 3re 8754 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
56 5re 8759 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℝ
5754, 55, 56ltadd1i 8228 . . . . . . . . 9 (0 < 3 ↔ (0 + 5) < (3 + 5))
5853, 57mpbi 144 . . . . . . . 8 (0 + 5) < (3 + 5)
59 5cn 8760 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
6059addid2i 7869 . . . . . . . 8 (0 + 5) = 5
61 cu2 10342 . . . . . . . . 9 (2↑3) = 8
62 5p3e8 8821 . . . . . . . . 9 (5 + 3) = 8
63 3cn 8755 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
6459, 63addcomi 7870 . . . . . . . . 9 (5 + 3) = (3 + 5)
6561, 62, 643eqtr2ri 2143 . . . . . . . 8 (3 + 5) = (2↑3)
6658, 60, 653brtr3i 3925 . . . . . . 7 5 < (2↑3)
67 2re 8750 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
68 1le2 8882 . . . . . . . 8 1 ≤ 2
69 4z 9038 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℤ
70 3lt4 8846 . . . . . . . . . 10 3 < 4
7155, 17, 70ltleii 7830 . . . . . . . . 9 3 ≤ 4
72 3z 9037 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℤ
7372eluz1i 9285 . . . . . . . . 9 (4 ∈ (ℤ‘3) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 4))
7469, 71, 73mpbir2an 909 . . . . . . . 8 4 ∈ (ℤ‘3)
75 leexp2a 10297 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2 ∧ 4 ∈ (ℤ‘3)) → (2↑3) ≤ (2↑4))
7667, 68, 74, 75mp3an 1298 . . . . . . 7 (2↑3) ≤ (2↑4)
77 8re 8765 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℝ
7861, 77eqeltri 2188 . . . . . . . 8 (2↑3) ∈ ℝ
79 2nn 8835 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ
80 nnexpcl 10257 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (2↑4) ∈ ℕ)
8179, 10, 80mp2an 420 . . . . . . . . 9 (2↑4) ∈ ℕ
8281nnrei 8689 . . . . . . . 8 (2↑4) ∈ ℝ
8356, 78, 82ltletri 7834 . . . . . . 7 ((5 < (2↑3) ∧ (2↑3) ≤ (2↑4)) → 5 < (2↑4))
8466, 76, 83mp2an 420 . . . . . 6 5 < (2↑4)
85 6re 8761 . . . . . . . 8 6 ∈ ℝ
8685, 82remulcli 7744 . . . . . . 7 (6 · (2↑4)) ∈ ℝ
87 6pos 8781 . . . . . . . 8 0 < 6
8881nngt0i 8710 . . . . . . . 8 0 < (2↑4)
8985, 82, 87, 88mulgt0ii 7838 . . . . . . 7 0 < (6 · (2↑4))
9056, 82, 86, 89ltdiv1ii 8647 . . . . . 6 (5 < (2↑4) ↔ (5 / (6 · (2↑4))) < ((2↑4) / (6 · (2↑4))))
9184, 90mpbi 144 . . . . 5 (5 / (6 · (2↑4))) < ((2↑4) / (6 · (2↑4)))
92 df-5 8742 . . . . . 6 5 = (4 + 1)
93 df-4 8741 . . . . . . . . . . 11 4 = (3 + 1)
9493fveq2i 5390 . . . . . . . . . 10 (!‘4) = (!‘(3 + 1))
95 3nn0 8949 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ0
96 facp1 10427 . . . . . . . . . . 11 (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
9795, 96ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
98 sq2 10339 . . . . . . . . . . . 12 (2↑2) = 4
9998, 93eqtr2i 2137 . . . . . . . . . . 11 (3 + 1) = (2↑2)
10099oveq2i 5751 . . . . . . . . . 10 ((!‘3) · (3 + 1)) = ((!‘3) · (2↑2))
10194, 97, 1003eqtri 2140 . . . . . . . . 9 (!‘4) = ((!‘3) · (2↑2))
102101oveq1i 5750 . . . . . . . 8 ((!‘4) · (2↑2)) = (((!‘3) · (2↑2)) · (2↑2))
10398oveq2i 5751 . . . . . . . 8 ((!‘4) · (2↑2)) = ((!‘4) · 4)
104 fac3 10429 . . . . . . . . . 10 (!‘3) = 6
105 6cn 8762 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℂ
106104, 105eqeltri 2188 . . . . . . . . 9 (!‘3) ∈ ℂ
10717recni 7742 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
10898, 107eqeltri 2188 . . . . . . . . 9 (2↑2) ∈ ℂ
109106, 108, 108mulassi 7739 . . . . . . . 8 (((!‘3) · (2↑2)) · (2↑2)) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
110102, 103, 1093eqtr3i 2144 . . . . . . 7 ((!‘4) · 4) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
111 2p2e4 8801 . . . . . . . . . 10 (2 + 2) = 4
112111oveq2i 5751 . . . . . . . . 9 (2↑(2 + 2)) = (2↑4)
113 2cn 8751 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
114 2nn0 8948 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
115 expadd 10286 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (2↑(2 + 2)) = ((2↑2) · (2↑2)))
116113, 114, 114, 115mp3an 1298 . . . . . . . . 9 (2↑(2 + 2)) = ((2↑2) · (2↑2))
117112, 116eqtr3i 2138 . . . . . . . 8 (2↑4) = ((2↑2) · (2↑2))
118117oveq2i 5751 . . . . . . 7 ((!‘3) · (2↑4)) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
119104oveq1i 5750 . . . . . . 7 ((!‘3) · (2↑4)) = (6 · (2↑4))
120110, 118, 1193eqtr2ri 2143 . . . . . 6 (6 · (2↑4)) = ((!‘4) · 4)
12192, 120oveq12i 5752 . . . . 5 (5 / (6 · (2↑4))) = ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))
12281nncni 8690 . . . . . . . 8 (2↑4) ∈ ℂ
123122mulid2i 7733 . . . . . . 7 (1 · (2↑4)) = (2↑4)
124123oveq1i 5750 . . . . . 6 ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4))) = ((2↑4) / (6 · (2↑4)))
12582, 88gt0ap0ii 8353 . . . . . . . . 9 (2↑4) # 0
126122, 125dividapi 8468 . . . . . . . 8 ((2↑4) / (2↑4)) = 1
127126oveq2i 5751 . . . . . . 7 ((1 / 6) · ((2↑4) / (2↑4))) = ((1 / 6) · 1)
128 ax-1cn 7677 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
12985, 87gt0ap0ii 8353 . . . . . . . 8 6 # 0
130128, 105, 122, 122, 129, 125divmuldivapi 8495 . . . . . . 7 ((1 / 6) · ((2↑4) / (2↑4))) = ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4)))
13185, 129rerecclapi 8500 . . . . . . . . 9 (1 / 6) ∈ ℝ
132131recni 7742 . . . . . . . 8 (1 / 6) ∈ ℂ
133132mulid1i 7732 . . . . . . 7 ((1 / 6) · 1) = (1 / 6)
134127, 130, 1333eqtr3i 2144 . . . . . 6 ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4))) = (1 / 6)
135124, 134eqtr3i 2138 . . . . 5 ((2↑4) / (6 · (2↑4))) = (1 / 6)
13691, 121, 1353brtr3i 3925 . . . 4 ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6)
137 rpexpcl 10263 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℤ) → (𝐴↑4) ∈ ℝ+)
13838, 69, 137sylancl 407 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℝ+)
139 elrp 9395 . . . . . 6 ((𝐴↑4) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4)))
140 ltmul2 8574 . . . . . . 7 ((((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ ∧ (1 / 6) ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4))) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
14124, 131, 140mp3an12 1288 . . . . . 6 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4)) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
142139, 141sylbi 120 . . . . 5 ((𝐴↑4) ∈ ℝ+ → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
143138, 142syl 14 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
144136, 143mpbii 147 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
14516recnd 7758 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
146 divrecap 8411 . . . . 5 (((𝐴↑4) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
147105, 129, 146mp3an23 1290 . . . 4 ((𝐴↑4) ∈ ℂ → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
148145, 147syl 14 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
149144, 148breqtrrd 3924 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) / 6))
15014, 26, 29, 52, 149lelttrd 7851 1 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) < ((𝐴↑4) / 6))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 945   = wceq 1314  wcel 1463   class class class wbr 3897  cmpt 3957  cfv 5091  (class class class)co 5740  cc 7582  cr 7583  0cc0 7584  1c1 7585  ici 7586   + caddc 7587   · cmul 7589  *cxr 7763   < clt 7764  cle 7765   # cap 8306   / cdiv 8395  cn 8680  2c2 8731  3c3 8732  4c4 8733  5c5 8734  6c6 8735  8c8 8737  0cn0 8931  cz 9008  cuz 9278  +crp 9393  (,]cioc 9623  cexp 10243  !cfa 10422  abscabs 10720  Σcsu 11073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-isom 5100  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-frec 6254  df-1o 6279  df-oadd 6283  df-er 6395  df-en 6601  df-dom 6602  df-fin 6603  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-inn 8681  df-2 8739  df-3 8740  df-4 8741  df-5 8742  df-6 8743  df-7 8744  df-8 8745  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-q 9364  df-rp 9394  df-ioc 9627  df-ico 9628  df-fz 9742  df-fzo 9871  df-seqfrec 10170  df-exp 10244  df-fac 10423  df-ihash 10473  df-shft 10538  df-cj 10565  df-re 10566  df-im 10567  df-rsqrt 10721  df-abs 10722  df-clim 10999  df-sumdc 11074
This theorem is referenced by:  sin01bnd  11374  cos01bnd  11375
  Copyright terms: Public domain W3C validator