Theorem nnrp 9871

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nnrp	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 9128	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nngt0 9146	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3		elrp 9863	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4	1, 2, 3	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  ℝcr 8009  0cc0 8010   < clt 8192  ℕcn 9121  ℝ⁺crp 9861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1re 8104  ax-addrcl 8107  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-cnv 4727  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6010  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-inn 9122  df-rp 9862

This theorem is referenced by:  nnrpd  9902  nn0ledivnn  9975  adddivflid  10524  divfl0  10528  nnesq  10893  bcrpcl  10987  lswccatn0lsw  11159  expcnvap0  12028  dvdsmodexp  12321  flodddiv4  12462  isprm6  12684  sqrt2irr  12699  pythagtriplem13  12814  4sqlem12  12940  modxai  12954  cxpexpnn  15585  logbgcd1irr  15656  sqrt2cxp2logb9e3  15664  gausslemma2dlem1a  15752  gausslemma2dlem4  15758