Theorem nnrp 10080

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nnrp	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 9320	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nngt0 9338	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3		elrp 10072	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4	1, 2, 3	sylanbrc 421	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ℝcr 8184  0cc0 8185   < clt 8366  ℕcn 9313  ℝ⁺crp 10070

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-cnv 4784  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-inn 9314  df-rp 10071

This theorem is used by:  nnrpd  10111  nn0ledivnn  10184  adddivflid  10747  divfl0  10751  nnesq  11117  bcrpcl  11212  lswccatn0lsw  11400  expcnvap0  12293  dvdsmodexp  12586  flodddiv4  12727  isprm6  12950  sqrt2irr  12965  pythagtriplem13  13083  4sqlem12  13209  modxai  13223  ballotfilemonn  13278  logfac  16143  cxpexpnn  16146  logbgcd1irr  16220  sqrt2cxp2logb9e3  16228  birthdaylem2  16243  bcmono  16321  bclbnd  16324  bposlem1  16328  bposlem7  16334  bposlem8  16335  bposlem9  16336  gausslemma2dlem1a  16399  gausslemma2dlem4  16405