Theorem nconstwlpolem 14815

Description: Lemma for nconstwlpo 14816. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nconstwlpo.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℤ)
nconstwlpo.0	⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 0)
nconstwlpo.rp	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑥) ≠ 0)
nconstwlpo.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶{0, 1})
nconstwlpo.a	⊢ 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺‘𝑖))

Assertion

Ref	Expression
nconstwlpolem	⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0 ∨ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴   𝑥,𝐹   𝑦,𝐹   𝑖,𝐺,𝑦   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem nconstwlpolem

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4008	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐴))
2		fveq2 5516	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴))
3	2	neeq1d 2365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝐹‘𝐴) ≠ 0))
4	1, 3	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((0 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≠ 0) ↔ (0 < 𝐴 → (𝐹‘𝐴) ≠ 0)))
5		elrp 9655	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
6		nconstwlpo.rp	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑥) ≠ 0)
7	5, 6	sylan2br 288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → (𝐹‘𝑥) ≠ 0)
8	7	expr 375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≠ 0))
9	8	ralrimiva 2550	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≠ 0))
10		nconstwlpo.g	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶{0, 1})
11		nconstwlpo.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺‘𝑖))
12	10, 11	trilpolemcl 14788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
13	4, 9, 12	rspcdva 2847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 → (𝐹‘𝐴) ≠ 0))
14	13	necon2bd 2405	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) = 0 → ¬ 0 < 𝐴))
15	14	imp 124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → ¬ 0 < 𝐴)
16	10	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1) → 𝐺:ℕ⟶{0, 1})
17		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1) → ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1)
18		fveqeq2 5525	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ((𝐺‘𝑦) = 1 ↔ (𝐺‘𝑎) = 1))
19	18	cbvrexv 2705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1 ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ (𝐺‘𝑎) = 1)
20	17, 19	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1) → ∃𝑎 ∈ ℕ (𝐺‘𝑎) = 1)
21	16, 11, 20	nconstwlpolemgt0 14814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1) → 0 < 𝐴)
22	21	ex 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1 → 0 < 𝐴))
23	22	con3d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 < 𝐴 → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1))
24	23	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (¬ 0 < 𝐴 → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1))
25	15, 24	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1)
26		ralnex 2465	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ ¬ (𝐺‘𝑦) = 1 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1)
27	25, 26	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ (𝐺‘𝑦) = 1)
28	27	r19.21bi 2565	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ (𝐺‘𝑦) = 1)
29	10	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝐺:ℕ⟶{0, 1})
30		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
31	29, 30	ffvelcdmd 5653	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑦) ∈ {0, 1})
32		elpri 3616	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺‘𝑦) ∈ {0, 1} → ((𝐺‘𝑦) = 0 ∨ (𝐺‘𝑦) = 1))
33	31, 32	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑦) = 0 ∨ (𝐺‘𝑦) = 1))
34	28, 33	ecased 1349	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑦) = 0)
35	34	ralrimiva 2550	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0)
36	35	orcd 733	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0 ∨ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0))
37	10	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0) → 𝐺:ℕ⟶{0, 1})
38		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0) → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0)
39	37, 11, 38	nconstwlpolem0 14813	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0) → 𝐴 = 0)
40	39	fveq2d 5520	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0) → (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘0))
41		nconstwlpo.0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 0)
42	41	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0) → (𝐹‘0) = 0)
43	40, 42	eqtrd 2210	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0) → (𝐹‘𝐴) = 0)
44	43	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0 → (𝐹‘𝐴) = 0))
45	44	con3d 631	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐹‘𝐴) = 0 → ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0))
46	45	imp 124	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = 0) → ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0)
47	46	olcd 734	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = 0) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0 ∨ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0))
48		nconstwlpo.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℤ)
49	48, 12	ffvelcdmd 5653	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℤ)
50		0z 9264	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
51		zdceq 9328	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID (𝐹‘𝐴) = 0)
52	49, 50, 51	sylancl 413	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID (𝐹‘𝐴) = 0)
53		exmiddc 836	. . 3 ⊢ (DECID (𝐹‘𝐴) = 0 → ((𝐹‘𝐴) = 0 ∨ ¬ (𝐹‘𝐴) = 0))
54	52, 53	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) = 0 ∨ ¬ (𝐹‘𝐴) = 0))
55	36, 47, 54	mpjaodan 798	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0 ∨ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347  ∀wral 2455  ∃wrex 2456  {cpr 3594   class class class wbr 4004  ⟶wf 5213  ‘cfv 5217  (class class class)co 5875  ℝcr 7810  0cc0 7811  1c1 7812   · cmul 7816   < clt 7992   / cdiv 8629  ℕcn 8919  2c2 8970  ℤcz 9253  ℝ⁺crp 9653  ↑cexp 10519  Σcsu 11361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-ico 9894  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-ihash 10756  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-sumdc 11362

This theorem is referenced by:  nconstwlpo  14816