Theorem nconstwlpolem 15709

Description: Lemma for nconstwlpo 15710. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nconstwlpo.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℤ)
nconstwlpo.0	⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 0)
nconstwlpo.rp	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑥) ≠ 0)
nconstwlpo.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶{0, 1})
nconstwlpo.a	⊢ 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺‘𝑖))

Assertion

Ref	Expression
nconstwlpolem	⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0 ∨ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴   𝑥,𝐹   𝑦,𝐹   𝑖,𝐺,𝑦   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem nconstwlpolem

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4037	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐴))
2		fveq2 5558	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴))
3	2	neeq1d 2385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝐹‘𝐴) ≠ 0))
4	1, 3	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((0 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≠ 0) ↔ (0 < 𝐴 → (𝐹‘𝐴) ≠ 0)))
5		elrp 9730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
6		nconstwlpo.rp	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑥) ≠ 0)
7	5, 6	sylan2br 288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → (𝐹‘𝑥) ≠ 0)
8	7	expr 375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≠ 0))
9	8	ralrimiva 2570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≠ 0))
10		nconstwlpo.g	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶{0, 1})
11		nconstwlpo.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺‘𝑖))
12	10, 11	trilpolemcl 15681	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
13	4, 9, 12	rspcdva 2873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 → (𝐹‘𝐴) ≠ 0))
14	13	necon2bd 2425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) = 0 → ¬ 0 < 𝐴))
15	14	imp 124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → ¬ 0 < 𝐴)
16	10	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1) → 𝐺:ℕ⟶{0, 1})
17		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1) → ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1)
18		fveqeq2 5567	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ((𝐺‘𝑦) = 1 ↔ (𝐺‘𝑎) = 1))
19	18	cbvrexv 2730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1 ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ (𝐺‘𝑎) = 1)
20	17, 19	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1) → ∃𝑎 ∈ ℕ (𝐺‘𝑎) = 1)
21	16, 11, 20	nconstwlpolemgt0 15708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1) → 0 < 𝐴)
22	21	ex 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1 → 0 < 𝐴))
23	22	con3d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 < 𝐴 → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1))
24	23	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (¬ 0 < 𝐴 → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1))
25	15, 24	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1)
26		ralnex 2485	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ ¬ (𝐺‘𝑦) = 1 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1)
27	25, 26	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ (𝐺‘𝑦) = 1)
28	27	r19.21bi 2585	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ (𝐺‘𝑦) = 1)
29	10	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝐺:ℕ⟶{0, 1})
30		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
31	29, 30	ffvelcdmd 5698	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑦) ∈ {0, 1})
32		elpri 3645	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺‘𝑦) ∈ {0, 1} → ((𝐺‘𝑦) = 0 ∨ (𝐺‘𝑦) = 1))
33	31, 32	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑦) = 0 ∨ (𝐺‘𝑦) = 1))
34	28, 33	ecased 1360	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑦) = 0)
35	34	ralrimiva 2570	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0)
36	35	orcd 734	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0 ∨ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0))
37	10	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0) → 𝐺:ℕ⟶{0, 1})
38		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0) → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0)
39	37, 11, 38	nconstwlpolem0 15707	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0) → 𝐴 = 0)
40	39	fveq2d 5562	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0) → (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘0))
41		nconstwlpo.0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 0)
42	41	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0) → (𝐹‘0) = 0)
43	40, 42	eqtrd 2229	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0) → (𝐹‘𝐴) = 0)
44	43	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0 → (𝐹‘𝐴) = 0))
45	44	con3d 632	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐹‘𝐴) = 0 → ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0))
46	45	imp 124	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = 0) → ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0)
47	46	olcd 735	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = 0) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0 ∨ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0))
48		nconstwlpo.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℤ)
49	48, 12	ffvelcdmd 5698	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℤ)
50		0z 9337	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
51		zdceq 9401	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID (𝐹‘𝐴) = 0)
52	49, 50, 51	sylancl 413	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID (𝐹‘𝐴) = 0)
53		exmiddc 837	. . 3 ⊢ (DECID (𝐹‘𝐴) = 0 → ((𝐹‘𝐴) = 0 ∨ ¬ (𝐹‘𝐴) = 0))
54	52, 53	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) = 0 ∨ ¬ (𝐹‘𝐴) = 0))
55	36, 47, 54	mpjaodan 799	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0 ∨ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  ∀wral 2475  ∃wrex 2476  {cpr 3623   class class class wbr 4033  ⟶wf 5254  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  ℝcr 7878  0cc0 7879  1c1 7880   · cmul 7884   < clt 8061   / cdiv 8699  ℕcn 8990  2c2 9041  ℤcz 9326  ℝ⁺crp 9728  ↑cexp 10630  Σcsu 11518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-ico 9969  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-sumdc 11519

This theorem is referenced by:  nconstwlpo  15710