Theorem nconstwlpolem 15796

Description: Lemma for nconstwlpo 15797. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nconstwlpo.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℤ)
nconstwlpo.0	⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 0)
nconstwlpo.rp	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑥) ≠ 0)
nconstwlpo.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶{0, 1})
nconstwlpo.a	⊢ 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺‘𝑖))

Assertion

Ref	Expression
nconstwlpolem	⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0 ∨ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴   𝑥,𝐹   𝑦,𝐹   𝑖,𝐺,𝑦   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem nconstwlpolem

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4038	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐴))
2		fveq2 5561	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴))
3	2	neeq1d 2385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝐹‘𝐴) ≠ 0))
4	1, 3	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((0 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≠ 0) ↔ (0 < 𝐴 → (𝐹‘𝐴) ≠ 0)))
5		elrp 9747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
6		nconstwlpo.rp	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑥) ≠ 0)
7	5, 6	sylan2br 288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → (𝐹‘𝑥) ≠ 0)
8	7	expr 375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≠ 0))
9	8	ralrimiva 2570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≠ 0))
10		nconstwlpo.g	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶{0, 1})
11		nconstwlpo.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺‘𝑖))
12	10, 11	trilpolemcl 15768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
13	4, 9, 12	rspcdva 2873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 → (𝐹‘𝐴) ≠ 0))
14	13	necon2bd 2425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) = 0 → ¬ 0 < 𝐴))
15	14	imp 124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → ¬ 0 < 𝐴)
16	10	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1) → 𝐺:ℕ⟶{0, 1})
17		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1) → ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1)
18		fveqeq2 5570	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ((𝐺‘𝑦) = 1 ↔ (𝐺‘𝑎) = 1))
19	18	cbvrexv 2730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1 ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ (𝐺‘𝑎) = 1)
20	17, 19	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1) → ∃𝑎 ∈ ℕ (𝐺‘𝑎) = 1)
21	16, 11, 20	nconstwlpolemgt0 15795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1) → 0 < 𝐴)
22	21	ex 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1 → 0 < 𝐴))
23	22	con3d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 < 𝐴 → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1))
24	23	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (¬ 0 < 𝐴 → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1))
25	15, 24	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1)
26		ralnex 2485	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ ¬ (𝐺‘𝑦) = 1 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1)
27	25, 26	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ (𝐺‘𝑦) = 1)
28	27	r19.21bi 2585	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ (𝐺‘𝑦) = 1)
29	10	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝐺:ℕ⟶{0, 1})
30		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
31	29, 30	ffvelcdmd 5701	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑦) ∈ {0, 1})
32		elpri 3646	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺‘𝑦) ∈ {0, 1} → ((𝐺‘𝑦) = 0 ∨ (𝐺‘𝑦) = 1))
33	31, 32	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑦) = 0 ∨ (𝐺‘𝑦) = 1))
34	28, 33	ecased 1360	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑦) = 0)
35	34	ralrimiva 2570	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0)
36	35	orcd 734	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0 ∨ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0))
37	10	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0) → 𝐺:ℕ⟶{0, 1})
38		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0) → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0)
39	37, 11, 38	nconstwlpolem0 15794	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0) → 𝐴 = 0)
40	39	fveq2d 5565	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0) → (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘0))
41		nconstwlpo.0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 0)
42	41	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0) → (𝐹‘0) = 0)
43	40, 42	eqtrd 2229	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0) → (𝐹‘𝐴) = 0)
44	43	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0 → (𝐹‘𝐴) = 0))
45	44	con3d 632	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐹‘𝐴) = 0 → ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0))
46	45	imp 124	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = 0) → ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0)
47	46	olcd 735	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = 0) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0 ∨ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0))
48		nconstwlpo.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℤ)
49	48, 12	ffvelcdmd 5701	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℤ)
50		0z 9354	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
51		zdceq 9418	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID (𝐹‘𝐴) = 0)
52	49, 50, 51	sylancl 413	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID (𝐹‘𝐴) = 0)
53		exmiddc 837	. . 3 ⊢ (DECID (𝐹‘𝐴) = 0 → ((𝐹‘𝐴) = 0 ∨ ¬ (𝐹‘𝐴) = 0))
54	52, 53	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) = 0 ∨ ¬ (𝐹‘𝐴) = 0))
55	36, 47, 54	mpjaodan 799	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0 ∨ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  ∀wral 2475  ∃wrex 2476  {cpr 3624   class class class wbr 4034  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  ℝcr 7895  0cc0 7896  1c1 7897   · cmul 7901   < clt 8078   / cdiv 8716  ℕcn 9007  2c2 9058  ℤcz 9343  ℝ⁺crp 9745  ↑cexp 10647  Σcsu 11535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-ico 9986  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-ihash 10885  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461  df-sumdc 11536

This theorem is referenced by:  nconstwlpo  15797