Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nconstwlpolem GIF version

Theorem nconstwlpolem 13597
 Description: Lemma for nconstwlpo 13598. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
nconstwlpo.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℤ)
nconstwlpo.0 (𝜑 → (𝐹‘0) = 0)
nconstwlpo.rp ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐹𝑥) ≠ 0)
nconstwlpo.g (𝜑𝐺:ℕ⟶{0, 1})
nconstwlpo.a 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖))
Assertion
Ref Expression
nconstwlpolem (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺𝑦) = 0 ∨ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺𝑦) = 0))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴   𝑥,𝐹   𝑦,𝐹   𝑖,𝐺,𝑦   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem nconstwlpolem
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3969 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐴 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐴))
2 fveq2 5465 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐴 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐴))
32neeq1d 2345 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹𝑥) ≠ 0 ↔ (𝐹𝐴) ≠ 0))
41, 3imbi12d 233 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐴 → ((0 < 𝑥 → (𝐹𝑥) ≠ 0) ↔ (0 < 𝐴 → (𝐹𝐴) ≠ 0)))
5 elrp 9544 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
6 nconstwlpo.rp . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐹𝑥) ≠ 0)
75, 6sylan2br 286 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → (𝐹𝑥) ≠ 0)
87expr 373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (0 < 𝑥 → (𝐹𝑥) ≠ 0))
98ralrimiva 2530 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → (𝐹𝑥) ≠ 0))
10 nconstwlpo.g . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺:ℕ⟶{0, 1})
11 nconstwlpo.a . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖))
1210, 11trilpolemcl 13570 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
134, 9, 12rspcdva 2821 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 < 𝐴 → (𝐹𝐴) ≠ 0))
1413necon2bd 2385 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝐴) = 0 → ¬ 0 < 𝐴))
1514imp 123 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = 0) → ¬ 0 < 𝐴)
1610adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺𝑦) = 1) → 𝐺:ℕ⟶{0, 1})
17 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺𝑦) = 1) → ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺𝑦) = 1)
18 fveqeq2 5474 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑎 → ((𝐺𝑦) = 1 ↔ (𝐺𝑎) = 1))
1918cbvrexv 2681 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺𝑦) = 1 ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ (𝐺𝑎) = 1)
2017, 19sylib 121 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺𝑦) = 1) → ∃𝑎 ∈ ℕ (𝐺𝑎) = 1)
2116, 11, 20nconstwlpolemgt0 13596 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺𝑦) = 1) → 0 < 𝐴)
2221ex 114 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺𝑦) = 1 → 0 < 𝐴))
2322con3d 621 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (¬ 0 < 𝐴 → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺𝑦) = 1))
2423adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = 0) → (¬ 0 < 𝐴 → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺𝑦) = 1))
2515, 24mpd 13 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = 0) → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺𝑦) = 1)
26 ralnex 2445 . . . . . . 7 (∀𝑦 ∈ ℕ ¬ (𝐺𝑦) = 1 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺𝑦) = 1)
2725, 26sylibr 133 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = 0) → ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ (𝐺𝑦) = 1)
2827r19.21bi 2545 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ (𝐺𝑦) = 1)
2910ad2antrr 480 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝐺:ℕ⟶{0, 1})
30 simpr 109 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
3129, 30ffvelrnd 5600 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐺𝑦) ∈ {0, 1})
32 elpri 3583 . . . . . 6 ((𝐺𝑦) ∈ {0, 1} → ((𝐺𝑦) = 0 ∨ (𝐺𝑦) = 1))
3331, 32syl 14 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑦) = 0 ∨ (𝐺𝑦) = 1))
3428, 33ecased 1331 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐺𝑦) = 0)
3534ralrimiva 2530 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = 0) → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺𝑦) = 0)
3635orcd 723 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = 0) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺𝑦) = 0 ∨ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺𝑦) = 0))
3710adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺𝑦) = 0) → 𝐺:ℕ⟶{0, 1})
38 simpr 109 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺𝑦) = 0) → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺𝑦) = 0)
3937, 11, 38nconstwlpolem0 13595 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺𝑦) = 0) → 𝐴 = 0)
4039fveq2d 5469 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺𝑦) = 0) → (𝐹𝐴) = (𝐹‘0))
41 nconstwlpo.0 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘0) = 0)
4241adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺𝑦) = 0) → (𝐹‘0) = 0)
4340, 42eqtrd 2190 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺𝑦) = 0) → (𝐹𝐴) = 0)
4443ex 114 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺𝑦) = 0 → (𝐹𝐴) = 0))
4544con3d 621 . . . 4 (𝜑 → (¬ (𝐹𝐴) = 0 → ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺𝑦) = 0))
4645imp 123 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = 0) → ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺𝑦) = 0)
4746olcd 724 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = 0) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺𝑦) = 0 ∨ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺𝑦) = 0))
48 nconstwlpo.f . . . . 5 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℤ)
4948, 12ffvelrnd 5600 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℤ)
50 0z 9161 . . . 4 0 ∈ ℤ
51 zdceq 9222 . . . 4 (((𝐹𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID (𝐹𝐴) = 0)
5249, 50, 51sylancl 410 . . 3 (𝜑DECID (𝐹𝐴) = 0)
53 exmiddc 822 . . 3 (DECID (𝐹𝐴) = 0 → ((𝐹𝐴) = 0 ∨ ¬ (𝐹𝐴) = 0))
5452, 53syl 14 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐴) = 0 ∨ ¬ (𝐹𝐴) = 0))
5536, 47, 54mpjaodan 788 1 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺𝑦) = 0 ∨ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺𝑦) = 0))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698  DECID wdc 820   = wceq 1335   ∈ wcel 2128   ≠ wne 2327  ∀wral 2435  ∃wrex 2436  {cpr 3561   class class class wbr 3965  ⟶wf 5163  ‘cfv 5167  (class class class)co 5818  ℝcr 7714  0cc0 7715  1c1 7716   · cmul 7720   < clt 7895   / cdiv 8528  ℕcn 8816  2c2 8867  ℤcz 9150  ℝ+crp 9542  ↑cexp 10400  Σcsu 11232 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833  ax-arch 7834  ax-caucvg 7835 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-isom 5176  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-irdg 6311  df-frec 6332  df-1o 6357  df-oadd 6361  df-er 6473  df-en 6679  df-dom 6680  df-fin 6681  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-2 8875  df-3 8876  df-4 8877  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-q 9511  df-rp 9543  df-ico 9780  df-fz 9895  df-fzo 10024  df-seqfrec 10327  df-exp 10401  df-ihash 10632  df-cj 10724  df-re 10725  df-im 10726  df-rsqrt 10880  df-abs 10881  df-clim 11158  df-sumdc 11233 This theorem is referenced by:  nconstwlpo  13598
 Copyright terms: Public domain W3C validator