Theorem nconstwlpolem 14898

Description: Lemma for nconstwlpo 14899. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nconstwlpo.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℤ)
nconstwlpo.0	⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 0)
nconstwlpo.rp	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑥) ≠ 0)
nconstwlpo.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶{0, 1})
nconstwlpo.a	⊢ 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺‘𝑖))

Assertion

Ref	Expression
nconstwlpolem	⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0 ∨ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴   𝑥,𝐹   𝑦,𝐹   𝑖,𝐺,𝑦   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem nconstwlpolem

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4009	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐴))
2		fveq2 5517	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴))
3	2	neeq1d 2365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝐹‘𝐴) ≠ 0))
4	1, 3	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((0 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≠ 0) ↔ (0 < 𝐴 → (𝐹‘𝐴) ≠ 0)))
5		elrp 9657	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
6		nconstwlpo.rp	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑥) ≠ 0)
7	5, 6	sylan2br 288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → (𝐹‘𝑥) ≠ 0)
8	7	expr 375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≠ 0))
9	8	ralrimiva 2550	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≠ 0))
10		nconstwlpo.g	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶{0, 1})
11		nconstwlpo.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺‘𝑖))
12	10, 11	trilpolemcl 14870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
13	4, 9, 12	rspcdva 2848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 → (𝐹‘𝐴) ≠ 0))
14	13	necon2bd 2405	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) = 0 → ¬ 0 < 𝐴))
15	14	imp 124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → ¬ 0 < 𝐴)
16	10	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1) → 𝐺:ℕ⟶{0, 1})
17		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1) → ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1)
18		fveqeq2 5526	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ((𝐺‘𝑦) = 1 ↔ (𝐺‘𝑎) = 1))
19	18	cbvrexv 2706	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1 ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ (𝐺‘𝑎) = 1)
20	17, 19	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1) → ∃𝑎 ∈ ℕ (𝐺‘𝑎) = 1)
21	16, 11, 20	nconstwlpolemgt0 14897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1) → 0 < 𝐴)
22	21	ex 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1 → 0 < 𝐴))
23	22	con3d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 < 𝐴 → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1))
24	23	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (¬ 0 < 𝐴 → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1))
25	15, 24	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1)
26		ralnex 2465	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ ¬ (𝐺‘𝑦) = 1 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1)
27	25, 26	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ (𝐺‘𝑦) = 1)
28	27	r19.21bi 2565	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ (𝐺‘𝑦) = 1)
29	10	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝐺:ℕ⟶{0, 1})
30		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
31	29, 30	ffvelcdmd 5654	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑦) ∈ {0, 1})
32		elpri 3617	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺‘𝑦) ∈ {0, 1} → ((𝐺‘𝑦) = 0 ∨ (𝐺‘𝑦) = 1))
33	31, 32	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑦) = 0 ∨ (𝐺‘𝑦) = 1))
34	28, 33	ecased 1349	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑦) = 0)
35	34	ralrimiva 2550	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0)
36	35	orcd 733	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0 ∨ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0))
37	10	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0) → 𝐺:ℕ⟶{0, 1})
38		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0) → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0)
39	37, 11, 38	nconstwlpolem0 14896	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0) → 𝐴 = 0)
40	39	fveq2d 5521	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0) → (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘0))
41		nconstwlpo.0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 0)
42	41	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0) → (𝐹‘0) = 0)
43	40, 42	eqtrd 2210	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0) → (𝐹‘𝐴) = 0)
44	43	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0 → (𝐹‘𝐴) = 0))
45	44	con3d 631	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐹‘𝐴) = 0 → ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0))
46	45	imp 124	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = 0) → ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0)
47	46	olcd 734	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = 0) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0 ∨ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0))
48		nconstwlpo.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℤ)
49	48, 12	ffvelcdmd 5654	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℤ)
50		0z 9266	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
51		zdceq 9330	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID (𝐹‘𝐴) = 0)
52	49, 50, 51	sylancl 413	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID (𝐹‘𝐴) = 0)
53		exmiddc 836	. . 3 ⊢ (DECID (𝐹‘𝐴) = 0 → ((𝐹‘𝐴) = 0 ∨ ¬ (𝐹‘𝐴) = 0))
54	52, 53	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) = 0 ∨ ¬ (𝐹‘𝐴) = 0))
55	36, 47, 54	mpjaodan 798	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0 ∨ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347  ∀wral 2455  ∃wrex 2456  {cpr 3595   class class class wbr 4005  ⟶wf 5214  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  ℝcr 7812  0cc0 7813  1c1 7814   · cmul 7818   < clt 7994   / cdiv 8631  ℕcn 8921  2c2 8972  ℤcz 9255  ℝ⁺crp 9655  ↑cexp 10521  Σcsu 11363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-frec 6394  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-er 6537  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-ico 9896  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-ihash 10758  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289  df-sumdc 11364

This theorem is referenced by:  nconstwlpo  14899