Theorem nconstwlpolem 13943

Description: Lemma for nconstwlpo 13944. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nconstwlpo.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℤ)
nconstwlpo.0	⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 0)
nconstwlpo.rp	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑥) ≠ 0)
nconstwlpo.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶{0, 1})
nconstwlpo.a	⊢ 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺‘𝑖))

Assertion

Ref	Expression
nconstwlpolem	⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0 ∨ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴   𝑥,𝐹   𝑦,𝐹   𝑖,𝐺,𝑦   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem nconstwlpolem

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 3986	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐴))
2		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴))
3	2	neeq1d 2354	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝐹‘𝐴) ≠ 0))
4	1, 3	imbi12d 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((0 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≠ 0) ↔ (0 < 𝐴 → (𝐹‘𝐴) ≠ 0)))
5		elrp 9591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
6		nconstwlpo.rp	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑥) ≠ 0)
7	5, 6	sylan2br 286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → (𝐹‘𝑥) ≠ 0)
8	7	expr 373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≠ 0))
9	8	ralrimiva 2539	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≠ 0))
10		nconstwlpo.g	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶{0, 1})
11		nconstwlpo.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺‘𝑖))
12	10, 11	trilpolemcl 13916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
13	4, 9, 12	rspcdva 2835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 → (𝐹‘𝐴) ≠ 0))
14	13	necon2bd 2394	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) = 0 → ¬ 0 < 𝐴))
15	14	imp 123	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → ¬ 0 < 𝐴)
16	10	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1) → 𝐺:ℕ⟶{0, 1})
17		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1) → ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1)
18		fveqeq2 5495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ((𝐺‘𝑦) = 1 ↔ (𝐺‘𝑎) = 1))
19	18	cbvrexv 2693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1 ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ (𝐺‘𝑎) = 1)
20	17, 19	sylib 121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1) → ∃𝑎 ∈ ℕ (𝐺‘𝑎) = 1)
21	16, 11, 20	nconstwlpolemgt0 13942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1) → 0 < 𝐴)
22	21	ex 114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1 → 0 < 𝐴))
23	22	con3d 621	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 < 𝐴 → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1))
24	23	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (¬ 0 < 𝐴 → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1))
25	15, 24	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1)
26		ralnex 2454	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ ¬ (𝐺‘𝑦) = 1 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 1)
27	25, 26	sylibr 133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ (𝐺‘𝑦) = 1)
28	27	r19.21bi 2554	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ (𝐺‘𝑦) = 1)
29	10	ad2antrr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝐺:ℕ⟶{0, 1})
30		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
31	29, 30	ffvelrnd 5621	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑦) ∈ {0, 1})
32		elpri 3599	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺‘𝑦) ∈ {0, 1} → ((𝐺‘𝑦) = 0 ∨ (𝐺‘𝑦) = 1))
33	31, 32	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑦) = 0 ∨ (𝐺‘𝑦) = 1))
34	28, 33	ecased 1339	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑦) = 0)
35	34	ralrimiva 2539	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0)
36	35	orcd 723	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0 ∨ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0))
37	10	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0) → 𝐺:ℕ⟶{0, 1})
38		simpr 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0) → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0)
39	37, 11, 38	nconstwlpolem0 13941	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0) → 𝐴 = 0)
40	39	fveq2d 5490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0) → (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘0))
41		nconstwlpo.0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 0)
42	41	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0) → (𝐹‘0) = 0)
43	40, 42	eqtrd 2198	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0) → (𝐹‘𝐴) = 0)
44	43	ex 114	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0 → (𝐹‘𝐴) = 0))
45	44	con3d 621	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐹‘𝐴) = 0 → ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0))
46	45	imp 123	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = 0) → ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0)
47	46	olcd 724	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = 0) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0 ∨ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0))
48		nconstwlpo.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℤ)
49	48, 12	ffvelrnd 5621	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℤ)
50		0z 9202	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
51		zdceq 9266	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID (𝐹‘𝐴) = 0)
52	49, 50, 51	sylancl 410	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID (𝐹‘𝐴) = 0)
53		exmiddc 826	. . 3 ⊢ (DECID (𝐹‘𝐴) = 0 → ((𝐹‘𝐴) = 0 ∨ ¬ (𝐹‘𝐴) = 0))
54	52, 53	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) = 0 ∨ ¬ (𝐹‘𝐴) = 0))
55	36, 47, 54	mpjaodan 788	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0 ∨ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝐺‘𝑦) = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698  DECID wdc 824   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2336  ∀wral 2444  ∃wrex 2445  {cpr 3577   class class class wbr 3982  ⟶wf 5184  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  ℝcr 7752  0cc0 7753  1c1 7754   · cmul 7758   < clt 7933   / cdiv 8568  ℕcn 8857  2c2 8908  ℤcz 9191  ℝ⁺crp 9589  ↑cexp 10454  Σcsu 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-ico 9830  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-ihash 10689  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295

This theorem is referenced by:  nconstwlpo  13944