Theorem iccdil 10073

Description: Membership in a dilated interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccdil.1	⊢ (𝐴 · 𝑅) = 𝐶
iccdil.2	⊢ (𝐵 · 𝑅) = 𝐷

Assertion

Ref	Expression
iccdil	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 · 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))

Proof of Theorem iccdil

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ)
2		rpre 9735	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ)
3		remulcl 8007	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋 · 𝑅) ∈ ℝ)
4	2, 3	sylan2 286	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑋 · 𝑅) ∈ ℝ)
5	1, 4	2thd 175	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑋 ∈ ℝ ↔ (𝑋 · 𝑅) ∈ ℝ))
6	5	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ∈ ℝ ↔ (𝑋 · 𝑅) ∈ ℝ))
7		elrp 9730	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑅))
8		lemul1 8620	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑅)) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 · 𝑅) ≤ (𝑋 · 𝑅)))
9	7, 8	syl3an3b 1287	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 · 𝑅) ≤ (𝑋 · 𝑅)))
10	9	3expb 1206	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 · 𝑅) ≤ (𝑋 · 𝑅)))
11	10	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 · 𝑅) ≤ (𝑋 · 𝑅)))
12		iccdil.1	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 𝑅) = 𝐶
13	12	breq1i 4040	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝑅) ≤ (𝑋 · 𝑅) ↔ 𝐶 ≤ (𝑋 · 𝑅))
14	11, 13	bitrdi 196	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ 𝐶 ≤ (𝑋 · 𝑅)))
15		lemul1 8620	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑅)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 · 𝑅) ≤ (𝐵 · 𝑅)))
16	7, 15	syl3an3b 1287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 · 𝑅) ≤ (𝐵 · 𝑅)))
17	16	3expb 1206	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 · 𝑅) ≤ (𝐵 · 𝑅)))
18	17	an12s 565	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 · 𝑅) ≤ (𝐵 · 𝑅)))
19	18	adantll 476	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 · 𝑅) ≤ (𝐵 · 𝑅)))
20		iccdil.2	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 𝑅) = 𝐷
21	20	breq2i 4041	. . . 4 ⊢ ((𝑋 · 𝑅) ≤ (𝐵 · 𝑅) ↔ (𝑋 · 𝑅) ≤ 𝐷)
22	19, 21	bitrdi 196	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 · 𝑅) ≤ 𝐷))
23	6, 14, 22	3anbi123d 1323	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵) ↔ ((𝑋 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 · 𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑅) ≤ 𝐷)))
24		elicc2 10013	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
25	24	adantr 276	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
26		remulcl 8007	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑅) ∈ ℝ)
27	12, 26	eqeltrrid 2284	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
28		remulcl 8007	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝑅) ∈ ℝ)
29	20, 28	eqeltrrid 2284	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ ℝ)
30		elicc2 10013	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((𝑋 · 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 · 𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑅) ≤ 𝐷)))
31	27, 29, 30	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → ((𝑋 · 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 · 𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑅) ≤ 𝐷)))
32	31	anandirs 593	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑋 · 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 · 𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑅) ≤ 𝐷)))
33	2, 32	sylan2 286	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝑋 · 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 · 𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑅) ≤ 𝐷)))
34	33	adantrl 478	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → ((𝑋 · 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 · 𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑅) ≤ 𝐷)))
35	23, 25, 34	3bitr4d 220	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 · 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922  ℝcr 7878  0cc0 7879   · cmul 7884   < clt 8061   ≤ cle 8062  ℝ⁺crp 9728  [,]cicc 9966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-rp 9729  df-icc 9970

This theorem is referenced by:  iccdili  10074  lincmb01cmp  10078  iccf1o  10079