Theorem negelrp 10067

Description: Elementhood of a negation in the positive real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
negelrp	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ 𝐴 < 0))

Proof of Theorem negelrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrp 10035	. 2 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴))
2		lt0neg1 8786	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
3		renegcl 8577	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
4	3	biantrurd 305	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < -𝐴 ↔ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴)))
5	2, 4	bitr2d 189	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴) ↔ 𝐴 < 0))
6	1, 5	bitrid 192	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ 𝐴 < 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125  ℝcr 8168  0cc0 8169   < clt 8350  -cneg 8488  ℝ⁺crp 10033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-sub 8489  df-neg 8490  df-rp 10034

This theorem is referenced by:  negelrpd  10068