Theorem sqrtdiv 11053

Description: Square root distributes over division. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtdiv	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (√‘(𝐴 / 𝐵)) = ((√‘𝐴) / (√‘𝐵)))

Proof of Theorem sqrtdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rerpdivcl 9686	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
2	1	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
3		elrp 9657	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
4		divge0 8832	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
5	3, 4	sylan2b 287	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
6		resqrtcl 11040	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)) → (√‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
7	2, 5, 6	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (√‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
8	7	recnd 7988	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (√‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
9		rpsqrtcl 11052	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (√‘𝐵) ∈ ℝ+)
10	9	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (√‘𝐵) ∈ ℝ+)
11	10	rpcnd 9700	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (√‘𝐵) ∈ ℂ)
12	10	rpap0d 9704	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (√‘𝐵) # 0)
13	8, 11, 12	divcanap4d 8755	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((√‘(𝐴 / 𝐵)) · (√‘𝐵)) / (√‘𝐵)) = (√‘(𝐴 / 𝐵)))
14		rprege0 9670	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
15	14	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
16		sqrtmul 11046	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (√‘((𝐴 / 𝐵) · 𝐵)) = ((√‘(𝐴 / 𝐵)) · (√‘𝐵)))
17	2, 5, 15, 16	syl21anc 1237	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (√‘((𝐴 / 𝐵) · 𝐵)) = ((√‘(𝐴 / 𝐵)) · (√‘𝐵)))
18		simpll 527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
19	18	recnd 7988	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
20		rpcn 9664	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℂ)
21	20	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
22		rpap0 9672	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 # 0)
23	22	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 # 0)
24	19, 21, 23	divcanap1d 8750	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
25	24	fveq2d 5521	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (√‘((𝐴 / 𝐵) · 𝐵)) = (√‘𝐴))
26	17, 25	eqtr3d 2212	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((√‘(𝐴 / 𝐵)) · (√‘𝐵)) = (√‘𝐴))
27	26	oveq1d 5892	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((√‘(𝐴 / 𝐵)) · (√‘𝐵)) / (√‘𝐵)) = ((√‘𝐴) / (√‘𝐵)))
28	13, 27	eqtr3d 2212	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (√‘(𝐴 / 𝐵)) = ((√‘𝐴) / (√‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  ℂcc 7811  ℝcr 7812  0cc0 7813   · cmul 7818   < clt 7994   ≤ cle 7995   # cap 8540   / cdiv 8631  ℝ⁺crp 9655  √csqrt 11007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-rp 9656  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-rsqrt 11009

This theorem is referenced by:  sqrtdivd  11179