Theorem dfrp2 10522

Description: Alternate definition of the positive real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfrp2	⊢ ℝ+ = (0(,)+∞)

Proof of Theorem dfrp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltpnf 10014	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
2	1	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 < +∞)
3	2	pm4.71i 391	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑥 < +∞))
4		df-3an 1006	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑥 < +∞))
5	3, 4	bitr4i 187	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
6		elrp 9889	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
7		0xr 8225	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
8		pnfxr 8231	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
9		elioo2 10155	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)))
10	7, 8, 9	mp2an 426	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
11	5, 6, 10	3bitr4i 212	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ 𝑥 ∈ (0(,)+∞))
12	11	eqriv 2228	1 ⊢ ℝ+ = (0(,)+∞)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017  ℝcr 8030  0cc0 8031  +∞cpnf 8210  ℝ^*cxr 8212   < clt 8213  ℝ⁺crp 9887  (,)cioo 10122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-rp 9888  df-ioo 10126

This theorem is referenced by: (None)