Theorem dfrp2 10156

Description: Alternate definition of the positive real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfrp2	⊢ ℝ+ = (0(,)+∞)

Proof of Theorem dfrp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltpnf 9680	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
2	1	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 < +∞)
3	2	pm4.71i 389	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑥 < +∞))
4		df-3an 965	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑥 < +∞))
5	3, 4	bitr4i 186	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
6		elrp 9555	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
7		0xr 7918	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
8		pnfxr 7924	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
9		elioo2 9818	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)))
10	7, 8, 9	mp2an 423	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
11	5, 6, 10	3bitr4i 211	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ 𝑥 ∈ (0(,)+∞))
12	11	eqriv 2154	1 ⊢ ℝ+ = (0(,)+∞)

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 963   = wceq 1335   ∈ wcel 2128   class class class wbr 3965  (class class class)co 5821  ℝcr 7725  0cc0 7726  +∞cpnf 7903  ℝ^*cxr 7905   < clt 7906  ℝ⁺crp 9553  (,)cioo 9785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1re 7820  ax-addrcl 7823  ax-rnegex 7835  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fv 5177  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-rp 9554  df-ioo 9789

This theorem is referenced by: (None)