ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rpdivcl GIF version

Theorem rpdivcl 9157
Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by FL, 27-Dec-2007.)
Assertion
Ref Expression
rpdivcl ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpdivcl
StepHypRef Expression
1 rpre 9138 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
2 rpreap0 9150 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0))
3 redivclap 8196 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
433expb 1144 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
51, 2, 4syl2an 283 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
6 elrp 9134 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
7 elrp 9134 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ+ ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
8 divgt0 8331 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 / 𝐵))
96, 7, 8syl2anb 285 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → 0 < (𝐴 / 𝐵))
10 elrp 9134 . 2 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵)))
115, 9, 10sylanbrc 408 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wcel 1438   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652  cr 7347  0cc0 7348   < clt 7520   # cap 8056   / cdiv 8137  +crp 9132
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138  df-rp 9133
This theorem is referenced by:  rpreccl  9158  rphalfcl  9159  rpdivcld  9189  bcrpcl  10157
  Copyright terms: Public domain W3C validator