ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rpnegap GIF version

Theorem rpnegap 9265
Description: Either a real apart from zero or its negation is a positive real, but not both. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
rpnegap ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → (𝐴 ∈ ℝ+ ⊻ -𝐴 ∈ ℝ+))

Proof of Theorem rpnegap
StepHypRef Expression
1 0re 7585 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
2 reapltxor 8163 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 < 0 ⊻ 0 < 𝐴)))
31, 2mpan2 417 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 < 0 ⊻ 0 < 𝐴)))
4 xorcom 1331 . . . . . 6 ((𝐴 < 0 ⊻ 0 < 𝐴) ↔ (0 < 𝐴𝐴 < 0))
53, 4syl6bb 195 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 0 ↔ (0 < 𝐴𝐴 < 0)))
65pm5.32i 443 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝐴𝐴 < 0)))
7 anxordi 1343 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝐴𝐴 < 0)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ⊻ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0)))
86, 7bitri 183 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ⊻ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0)))
98biimpi 119 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ⊻ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0)))
10 elrp 9235 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
1110a1i 9 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)))
12 renegcl 7840 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
1312biantrurd 300 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < -𝐴 ↔ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴)))
14 elrp 9235 . . . . . 6 (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴))
1513, 14syl6rbbr 198 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ 0 < -𝐴))
16 lt0neg1 8043 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
17 ibar 296 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0)))
1815, 16, 173bitr2d 215 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0)))
1918adantr 271 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0)))
2011, 19xorbi12d 1325 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → ((𝐴 ∈ ℝ+ ⊻ -𝐴 ∈ ℝ+) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ⊻ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0))))
219, 20mpbird 166 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → (𝐴 ∈ ℝ+ ⊻ -𝐴 ∈ ℝ+))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wxo 1318  wcel 1445   class class class wbr 3867  cr 7446  0cc0 7447   < clt 7619  -cneg 7751   # cap 8155  +crp 9233
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-xor 1319  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-ltxr 7624  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-rp 9234
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator