Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rpnegap GIF version

Theorem rpnegap 9486
 Description: Either a real apart from zero or its negation is a positive real, but not both. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
rpnegap ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → (𝐴 ∈ ℝ+ ⊻ -𝐴 ∈ ℝ+))

Proof of Theorem rpnegap
StepHypRef Expression
1 0re 7778 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
2 reapltxor 8363 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 < 0 ⊻ 0 < 𝐴)))
31, 2mpan2 421 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 < 0 ⊻ 0 < 𝐴)))
4 xorcom 1366 . . . . . 6 ((𝐴 < 0 ⊻ 0 < 𝐴) ↔ (0 < 𝐴𝐴 < 0))
53, 4syl6bb 195 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 0 ↔ (0 < 𝐴𝐴 < 0)))
65pm5.32i 449 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝐴𝐴 < 0)))
7 anxordi 1378 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝐴𝐴 < 0)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ⊻ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0)))
86, 7bitri 183 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ⊻ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0)))
98biimpi 119 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ⊻ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0)))
10 elrp 9455 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
1110a1i 9 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)))
12 renegcl 8035 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
1312biantrurd 303 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < -𝐴 ↔ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴)))
14 elrp 9455 . . . . . 6 (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴))
1513, 14syl6rbbr 198 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ 0 < -𝐴))
16 lt0neg1 8242 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
17 ibar 299 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0)))
1815, 16, 173bitr2d 215 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0)))
1918adantr 274 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0)))
2011, 19xorbi12d 1360 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → ((𝐴 ∈ ℝ+ ⊻ -𝐴 ∈ ℝ+) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ⊻ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0))))
219, 20mpbird 166 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → (𝐴 ∈ ℝ+ ⊻ -𝐴 ∈ ℝ+))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ⊻ wxo 1353   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  ℝcr 7631  0cc0 7632   < clt 7812  -cneg 7946   # cap 8355  ℝ+crp 9453 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-xor 1354  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-ltxr 7817  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-rp 9454 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator