Theorem rpnegap 10005

Description: Either a real apart from zero or its negation is a positive real, but not both. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rpnegap	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → (𝐴 ∈ ℝ+ ⊻ -𝐴 ∈ ℝ+))

Proof of Theorem rpnegap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8262	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		reapltxor 8851	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 < 0 ⊻ 0 < 𝐴)))
3	1, 2	mpan2 425	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 < 0 ⊻ 0 < 𝐴)))
4		xorcom 1433	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 < 0 ⊻ 0 < 𝐴) ↔ (0 < 𝐴 ⊻ 𝐴 < 0))
5	3, 4	bitrdi 196	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 0 ↔ (0 < 𝐴 ⊻ 𝐴 < 0)))
6	5	pm5.32i 454	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝐴 ⊻ 𝐴 < 0)))
7		anxordi 1445	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝐴 ⊻ 𝐴 < 0)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ⊻ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0)))
8	6, 7	bitri 184	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ⊻ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0)))
9	8	biimpi 120	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ⊻ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0)))
10		elrp 9974	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
11	10	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)))
12		elrp 9974	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴))
13		renegcl 8522	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
14	13	biantrurd 305	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < -𝐴 ↔ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴)))
15	12, 14	bitr4id 199	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ 0 < -𝐴))
16		lt0neg1 8730	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
17		ibar 301	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0)))
18	15, 16, 17	3bitr2d 216	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0)))
19	18	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0)))
20	11, 19	xorbi12d 1427	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → ((𝐴 ∈ ℝ+ ⊻ -𝐴 ∈ ℝ+) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ⊻ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0))))
21	9, 20	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → (𝐴 ∈ ℝ+ ⊻ -𝐴 ∈ ℝ+))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ⊻ wxo 1420   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4102  ℝcr 8114  0cc0 8115   < clt 8296  -cneg 8433   # cap 8843  ℝ⁺crp 9972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4221  ax-pow 4279  ax-pr 4314  ax-un 4545  ax-setind 4650  ax-cnex 8206  ax-resscn 8207  ax-1cn 8208  ax-1re 8209  ax-icn 8210  ax-addcl 8211  ax-addrcl 8212  ax-mulcl 8213  ax-mulrcl 8214  ax-addcom 8215  ax-mulcom 8216  ax-addass 8217  ax-mulass 8218  ax-distr 8219  ax-i2m1 8220  ax-0lt1 8221  ax-1rid 8222  ax-0id 8223  ax-rnegex 8224  ax-precex 8225  ax-cnre 8226  ax-pre-ltirr 8227  ax-pre-ltwlin 8228  ax-pre-lttrn 8229  ax-pre-apti 8230  ax-pre-ltadd 8231  ax-pre-mulgt0 8232

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3667  df-sn 3688  df-pr 3689  df-op 3691  df-uni 3908  df-br 4103  df-opab 4165  df-id 4405  df-po 4408  df-iso 4409  df-xp 4746  df-rel 4747  df-cnv 4748  df-co 4749  df-dm 4750  df-iota 5303  df-fun 5345  df-fv 5351  df-riota 5994  df-ov 6044  df-oprab 6045  df-mpo 6046  df-pnf 8298  df-mnf 8299  df-ltxr 8301  df-sub 8434  df-neg 8435  df-reap 8837  df-ap 8844  df-rp 9973

This theorem is referenced by: (None)