Theorem rpnegap 9843

Description: Either a real apart from zero or its negation is a positive real, but not both. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rpnegap	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → (𝐴 ∈ ℝ+ ⊻ -𝐴 ∈ ℝ+))

Proof of Theorem rpnegap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8107	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		reapltxor 8697	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 < 0 ⊻ 0 < 𝐴)))
3	1, 2	mpan2 425	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 < 0 ⊻ 0 < 𝐴)))
4		xorcom 1408	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 < 0 ⊻ 0 < 𝐴) ↔ (0 < 𝐴 ⊻ 𝐴 < 0))
5	3, 4	bitrdi 196	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 0 ↔ (0 < 𝐴 ⊻ 𝐴 < 0)))
6	5	pm5.32i 454	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝐴 ⊻ 𝐴 < 0)))
7		anxordi 1420	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝐴 ⊻ 𝐴 < 0)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ⊻ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0)))
8	6, 7	bitri 184	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ⊻ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0)))
9	8	biimpi 120	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ⊻ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0)))
10		elrp 9812	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
11	10	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)))
12		elrp 9812	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴))
13		renegcl 8368	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
14	13	biantrurd 305	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < -𝐴 ↔ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴)))
15	12, 14	bitr4id 199	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ 0 < -𝐴))
16		lt0neg1 8576	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
17		ibar 301	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0)))
18	15, 16, 17	3bitr2d 216	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0)))
19	18	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0)))
20	11, 19	xorbi12d 1402	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → ((𝐴 ∈ ℝ+ ⊻ -𝐴 ∈ ℝ+) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ⊻ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0))))
21	9, 20	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → (𝐴 ∈ ℝ+ ⊻ -𝐴 ∈ ℝ+))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ⊻ wxo 1395   ∈ wcel 2178   class class class wbr 4059  ℝcr 7959  0cc0 7960   < clt 8142  -cneg 8279   # cap 8689  ℝ⁺crp 9810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-xor 1396  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-ltxr 8147  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-rp 9811

This theorem is referenced by: (None)