Theorem rpnegap 10019

Description: Either a real apart from zero or its negation is a positive real, but not both. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rpnegap	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → (𝐴 ∈ ℝ+ ⊻ -𝐴 ∈ ℝ+))

Proof of Theorem rpnegap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8274	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		reapltxor 8863	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 < 0 ⊻ 0 < 𝐴)))
3	1, 2	mpan2 425	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 < 0 ⊻ 0 < 𝐴)))
4		xorcom 1433	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 < 0 ⊻ 0 < 𝐴) ↔ (0 < 𝐴 ⊻ 𝐴 < 0))
5	3, 4	bitrdi 196	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 0 ↔ (0 < 𝐴 ⊻ 𝐴 < 0)))
6	5	pm5.32i 454	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝐴 ⊻ 𝐴 < 0)))
7		anxordi 1445	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝐴 ⊻ 𝐴 < 0)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ⊻ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0)))
8	6, 7	bitri 184	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ⊻ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0)))
9	8	biimpi 120	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ⊻ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0)))
10		elrp 9988	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
11	10	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)))
12		elrp 9988	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴))
13		renegcl 8534	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
14	13	biantrurd 305	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < -𝐴 ↔ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴)))
15	12, 14	bitr4id 199	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ 0 < -𝐴))
16		lt0neg1 8742	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
17		ibar 301	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0)))
18	15, 16, 17	3bitr2d 216	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0)))
19	18	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0)))
20	11, 19	xorbi12d 1427	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → ((𝐴 ∈ ℝ+ ⊻ -𝐴 ∈ ℝ+) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ⊻ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0))))
21	9, 20	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → (𝐴 ∈ ℝ+ ⊻ -𝐴 ∈ ℝ+))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ⊻ wxo 1420   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4109  ℝcr 8126  0cc0 8127   < clt 8308  -cneg 8445   # cap 8855  ℝ⁺crp 9986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-rp 9987

This theorem is referenced by: (None)