Theorem elrpd 9762

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
elrpd.2	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
elrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem elrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		elrpd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3		elrp 9724	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4	1, 2, 3	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4030  ℝcr 7873  0cc0 7874   < clt 8056  ℝ⁺crp 9722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-rab 2481  df-v 2762  df-un 3158  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-br 4031  df-rp 9723

This theorem is referenced by:  mul2lt0rgt0  9829  mul2lt0np  9832  zltaddlt1le  10076  modqval  10398  ltexp2a  10665  leexp2a  10666  expnlbnd2  10739  nn0ltexp2  10783  resqrexlem1arp  11152  resqrexlemp1rp  11153  resqrexlemcalc2  11162  resqrexlemcalc3  11163  resqrexlemgt0  11167  resqrexlemglsq  11169  rpsqrtcl  11188  absrpclap  11208  rpmaxcl  11370  rpmincl  11384  xrminrpcl  11420  xrbdtri  11422  mulcn2  11458  reccn2ap  11459  climge0  11471  divcnv  11643  georeclim  11659  cvgratnnlembern  11669  cvgratnnlemsumlt  11674  cvgratnnlemfm  11675  cvgratnnlemrate  11676  cvgratnn  11677  cvgratz  11678  rpefcl  11831  efltim  11844  ef01bndlem  11902  pythagtriplem12  12416  pythagtriplem14  12418  pythagtriplem16  12420  bdmopn  14683  mulcncflem  14786  ivthinclemlopn  14815  ivthinclemuopn  14817  dveflem  14905  reeff1olem  14947  pilem3  14959  tanrpcl  15013  cosordlem  15025  rplogcl  15055  logdivlti  15057  cxplt  15091  cxple  15092  rpabscxpbnd  15114  ltexp2  15115  iooref1o  15594