Theorem elrpd 10105

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
elrpd.2	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
elrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem elrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		elrpd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3		elrp 10067	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4	1, 2, 3	sylanbrc 421	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ℝcr 8179  0cc0 8180   < clt 8361  ℝ⁺crp 10065

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-rp 10066

This theorem is used by:  mul2lt0rgt0  10172  mul2lt0np  10175  zltaddlt1le  10421  modqval  10776  ltexp2a  11043  leexp2a  11044  expnlbnd2  11118  nn0ltexp2  11163  resqrexlem1arp  11787  resqrexlemp1rp  11788  resqrexlemcalc2  11797  resqrexlemcalc3  11798  resqrexlemgt0  11802  resqrexlemglsq  11804  rpsqrtcl  11823  absrpclap  11843  rpmaxcl  12006  rpmincl  12022  xrminrpcl  12059  xrbdtri  12061  mulcn2  12097  reccn2ap  12098  climge0  12110  divcnv  12283  georeclim  12299  cvgratnnlembern  12309  cvgratnnlemsumlt  12314  cvgratnnlemfm  12315  cvgratnnlemrate  12316  cvgratnn  12317  cvgratz  12318  rpefcl  12471  efltim  12484  ef01bndlem  12542  pythagtriplem12  13077  pythagtriplem14  13079  pythagtriplem16  13081  bdmopn  15696  mulcncflem  15799  ivthinclemlopn  15828  ivthinclemuopn  15830  dveflem  15918  reeff1olem  15963  pilem3  15976  tanrpcl  16030  cosordlem  16042  rplogcl  16073  logdivlti  16075  logdivlt  16088  logdivle  16089  cxplt  16113  cxple  16114  rpabscxpbnd  16137  ltexp2  16138  chtqrpcl  16240  chtqleppi  16255  iooref1o  17249