Theorem elrpd 9759

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
elrpd.2	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
elrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem elrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		elrpd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3		elrp 9721	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4	1, 2, 3	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  ℝcr 7871  0cc0 7872   < clt 8054  ℝ⁺crp 9719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-rab 2481  df-v 2762  df-un 3157  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-br 4030  df-rp 9720

This theorem is referenced by:  mul2lt0rgt0  9826  mul2lt0np  9829  zltaddlt1le  10073  modqval  10395  ltexp2a  10662  leexp2a  10663  expnlbnd2  10736  nn0ltexp2  10780  resqrexlem1arp  11149  resqrexlemp1rp  11150  resqrexlemcalc2  11159  resqrexlemcalc3  11160  resqrexlemgt0  11164  resqrexlemglsq  11166  rpsqrtcl  11185  absrpclap  11205  rpmaxcl  11367  rpmincl  11381  xrminrpcl  11417  xrbdtri  11419  mulcn2  11455  reccn2ap  11456  climge0  11468  divcnv  11640  georeclim  11656  cvgratnnlembern  11666  cvgratnnlemsumlt  11671  cvgratnnlemfm  11672  cvgratnnlemrate  11673  cvgratnn  11674  cvgratz  11675  rpefcl  11828  efltim  11841  ef01bndlem  11899  pythagtriplem12  12413  pythagtriplem14  12415  pythagtriplem16  12417  bdmopn  14672  mulcncflem  14761  ivthinclemlopn  14790  ivthinclemuopn  14792  dveflem  14872  reeff1olem  14906  pilem3  14918  tanrpcl  14972  cosordlem  14984  rplogcl  15014  logdivlti  15016  cxplt  15050  cxple  15051  rpabscxpbnd  15073  ltexp2  15074  iooref1o  15524