Theorem elrpd 9735

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
elrpd.2	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
elrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem elrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		elrpd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3		elrp 9697	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4	1, 2, 3	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4025  ℝcr 7850  0cc0 7851   < clt 8033  ℝ⁺crp 9695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-rab 2477  df-v 2758  df-un 3152  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-br 4026  df-rp 9696

This theorem is referenced by:  mul2lt0rgt0  9802  mul2lt0np  9805  zltaddlt1le  10049  modqval  10367  ltexp2a  10618  leexp2a  10619  expnlbnd2  10692  nn0ltexp2  10736  resqrexlem1arp  11061  resqrexlemp1rp  11062  resqrexlemcalc2  11071  resqrexlemcalc3  11072  resqrexlemgt0  11076  resqrexlemglsq  11078  rpsqrtcl  11097  absrpclap  11117  rpmaxcl  11279  rpmincl  11293  xrminrpcl  11329  xrbdtri  11331  mulcn2  11367  reccn2ap  11368  climge0  11380  divcnv  11552  georeclim  11568  cvgratnnlembern  11578  cvgratnnlemsumlt  11583  cvgratnnlemfm  11584  cvgratnnlemrate  11585  cvgratnn  11586  cvgratz  11587  rpefcl  11740  efltim  11753  ef01bndlem  11811  pythagtriplem12  12324  pythagtriplem14  12326  pythagtriplem16  12328  bdmopn  14525  mulcncflem  14614  ivthinclemlopn  14643  ivthinclemuopn  14645  dveflem  14725  reeff1olem  14730  pilem3  14742  tanrpcl  14796  cosordlem  14808  rplogcl  14838  logdivlti  14840  cxplt  14874  cxple  14875  rpabscxpbnd  14897  ltexp2  14898  iooref1o  15323