Theorem elrpd 10094

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
elrpd.2	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
elrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem elrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		elrpd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3		elrp 10056	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4	1, 2, 3	sylanbrc 421	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ℝcr 8178  0cc0 8179   < clt 8360  ℝ⁺crp 10054

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-rp 10055

This theorem is used by:  mul2lt0rgt0  10161  mul2lt0np  10164  zltaddlt1le  10410  modqval  10761  ltexp2a  11028  leexp2a  11029  expnlbnd2  11103  nn0ltexp2  11147  resqrexlem1arp  11771  resqrexlemp1rp  11772  resqrexlemcalc2  11781  resqrexlemcalc3  11782  resqrexlemgt0  11786  resqrexlemglsq  11788  rpsqrtcl  11807  absrpclap  11827  rpmaxcl  11989  rpmincl  12004  xrminrpcl  12040  xrbdtri  12042  mulcn2  12078  reccn2ap  12079  climge0  12091  divcnv  12264  georeclim  12280  cvgratnnlembern  12290  cvgratnnlemsumlt  12295  cvgratnnlemfm  12296  cvgratnnlemrate  12297  cvgratnn  12298  cvgratz  12299  rpefcl  12452  efltim  12465  ef01bndlem  12523  pythagtriplem12  13054  pythagtriplem14  13056  pythagtriplem16  13058  bdmopn  15605  mulcncflem  15708  ivthinclemlopn  15737  ivthinclemuopn  15739  dveflem  15827  reeff1olem  15872  pilem3  15884  tanrpcl  15938  cosordlem  15950  rplogcl  15980  logdivlti  15982  cxplt  16018  cxple  16019  rpabscxpbnd  16042  ltexp2  16043  iooref1o  17083