Theorem elrpd 9650

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
elrpd.2	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
elrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem elrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		elrpd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3		elrp 9612	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4	1, 2, 3	sylanbrc 415	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  ℝcr 7773  0cc0 7774   < clt 7954  ℝ⁺crp 9610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-rab 2457  df-v 2732  df-un 3125  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-rp 9611

This theorem is referenced by:  mul2lt0rgt0  9717  mul2lt0np  9720  zltaddlt1le  9964  modqval  10280  ltexp2a  10528  leexp2a  10529  expnlbnd2  10601  nn0ltexp2  10644  resqrexlem1arp  10969  resqrexlemp1rp  10970  resqrexlemcalc2  10979  resqrexlemcalc3  10980  resqrexlemgt0  10984  resqrexlemglsq  10986  rpsqrtcl  11005  absrpclap  11025  rpmaxcl  11187  rpmincl  11201  xrminrpcl  11237  xrbdtri  11239  mulcn2  11275  reccn2ap  11276  climge0  11288  divcnv  11460  georeclim  11476  cvgratnnlembern  11486  cvgratnnlemsumlt  11491  cvgratnnlemfm  11492  cvgratnnlemrate  11493  cvgratnn  11494  cvgratz  11495  rpefcl  11648  efltim  11661  ef01bndlem  11719  pythagtriplem12  12229  pythagtriplem14  12231  pythagtriplem16  12233  bdmopn  13298  mulcncflem  13384  ivthinclemlopn  13408  ivthinclemuopn  13410  dveflem  13481  reeff1olem  13486  pilem3  13498  tanrpcl  13552  cosordlem  13564  rplogcl  13594  logdivlti  13596  cxplt  13630  cxple  13631  rpabscxpbnd  13653  ltexp2  13654  iooref1o  14066