Theorem elrpd 10044

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
elrpd.2	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
elrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem elrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		elrpd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3		elrp 10006	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4	1, 2, 3	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  ℝcr 8142  0cc0 8143   < clt 8324  ℝ⁺crp 10004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-rab 2531  df-v 2817  df-un 3218  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-br 4115  df-rp 10005

This theorem is referenced by:  mul2lt0rgt0  10111  mul2lt0np  10114  zltaddlt1le  10360  modqval  10710  ltexp2a  10977  leexp2a  10978  expnlbnd2  11052  nn0ltexp2  11096  resqrexlem1arp  11715  resqrexlemp1rp  11716  resqrexlemcalc2  11725  resqrexlemcalc3  11726  resqrexlemgt0  11730  resqrexlemglsq  11732  rpsqrtcl  11751  absrpclap  11771  rpmaxcl  11933  rpmincl  11948  xrminrpcl  11984  xrbdtri  11986  mulcn2  12022  reccn2ap  12023  climge0  12035  divcnv  12208  georeclim  12224  cvgratnnlembern  12234  cvgratnnlemsumlt  12239  cvgratnnlemfm  12240  cvgratnnlemrate  12241  cvgratnn  12242  cvgratz  12243  rpefcl  12396  efltim  12409  ef01bndlem  12467  pythagtriplem12  12998  pythagtriplem14  13000  pythagtriplem16  13002  bdmopn  15495  mulcncflem  15598  ivthinclemlopn  15627  ivthinclemuopn  15629  dveflem  15717  reeff1olem  15762  pilem3  15774  tanrpcl  15828  cosordlem  15840  rplogcl  15870  logdivlti  15872  cxplt  15907  cxple  15908  rpabscxpbnd  15931  ltexp2  15932  iooref1o  16944