Theorem elrpd 9629

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
elrpd.2	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
elrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem elrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		elrpd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3		elrp 9591	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4	1, 2, 3	sylanbrc 414	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982  ℝcr 7752  0cc0 7753   < clt 7933  ℝ⁺crp 9589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-rab 2453  df-v 2728  df-un 3120  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-rp 9590

This theorem is referenced by:  mul2lt0rgt0  9696  mul2lt0np  9699  zltaddlt1le  9943  modqval  10259  ltexp2a  10507  leexp2a  10508  expnlbnd2  10580  nn0ltexp2  10623  resqrexlem1arp  10947  resqrexlemp1rp  10948  resqrexlemcalc2  10957  resqrexlemcalc3  10958  resqrexlemgt0  10962  resqrexlemglsq  10964  rpsqrtcl  10983  absrpclap  11003  rpmaxcl  11165  rpmincl  11179  xrminrpcl  11215  xrbdtri  11217  mulcn2  11253  reccn2ap  11254  climge0  11266  divcnv  11438  georeclim  11454  cvgratnnlembern  11464  cvgratnnlemsumlt  11469  cvgratnnlemfm  11470  cvgratnnlemrate  11471  cvgratnn  11472  cvgratz  11473  rpefcl  11626  efltim  11639  ef01bndlem  11697  pythagtriplem12  12207  pythagtriplem14  12209  pythagtriplem16  12211  bdmopn  13144  mulcncflem  13230  ivthinclemlopn  13254  ivthinclemuopn  13256  dveflem  13327  reeff1olem  13332  pilem3  13344  tanrpcl  13398  cosordlem  13410  rplogcl  13440  logdivlti  13442  cxplt  13476  cxple  13477  rpabscxpbnd  13499  ltexp2  13500  iooref1o  13913