ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elrpd GIF version

Theorem elrpd 9140
Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
elrpd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
elrpd.2 (𝜑 → 0 < 𝐴)
Assertion
Ref Expression
elrpd (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem elrpd
StepHypRef Expression
1 elrpd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 elrpd.2 . 2 (𝜑 → 0 < 𝐴)
3 elrp 9105 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
41, 2, 3sylanbrc 408 1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1438   class class class wbr 3837  cr 7328  0cc0 7329   < clt 7501  +crp 9103
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-rab 2368  df-v 2621  df-un 3001  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-br 3838  df-rp 9104
This theorem is referenced by:  zltaddlt1le  9392  modqval  9696  ltexp2a  9971  leexp2a  9972  expnlbnd2  10043  resqrexlem1arp  10402  resqrexlemp1rp  10403  resqrexlemcalc2  10412  resqrexlemcalc3  10413  resqrexlemgt0  10417  resqrexlemglsq  10419  rpsqrtcl  10438  absrpclap  10458  mulcn2  10664  climge0  10676  divcnv  10850  georeclim  10866
  Copyright terms: Public domain W3C validator