Theorem elrpd 9328

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
elrpd.2	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
elrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem elrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		elrpd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3		elrp 9293	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4	1, 2, 3	sylanbrc 411	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1448   class class class wbr 3875  ℝcr 7499  0cc0 7500   < clt 7672  ℝ⁺crp 9291

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-rab 2384  df-v 2643  df-un 3025  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-br 3876  df-rp 9292

This theorem is referenced by:  zltaddlt1le  9630  modqval  9938  ltexp2a  10186  leexp2a  10187  expnlbnd2  10258  resqrexlem1arp  10617  resqrexlemp1rp  10618  resqrexlemcalc2  10627  resqrexlemcalc3  10628  resqrexlemgt0  10632  resqrexlemglsq  10634  rpsqrtcl  10653  absrpclap  10673  rpmincl  10848  xrminrpcl  10882  xrbdtri  10884  mulcn2  10920  reccn2ap  10921  climge0  10933  divcnv  11105  georeclim  11121  cvgratnnlembern  11131  cvgratnnlemsumlt  11136  cvgratnnlemfm  11137  cvgratnnlemrate  11138  cvgratnn  11139  cvgratz  11140  rpefcl  11189  efltim  11202  ef01bndlem  11261  bdmopn  12432  mulcncflem  12502