Theorem elrpd 9928

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
elrpd.2	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
elrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem elrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		elrpd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3		elrp 9890	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4	1, 2, 3	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ℝcr 8031  0cc0 8032   < clt 8214  ℝ⁺crp 9888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-rab 2519  df-v 2804  df-un 3204  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-rp 9889

This theorem is referenced by:  mul2lt0rgt0  9995  mul2lt0np  9998  zltaddlt1le  10242  modqval  10587  ltexp2a  10854  leexp2a  10855  expnlbnd2  10928  nn0ltexp2  10972  resqrexlem1arp  11570  resqrexlemp1rp  11571  resqrexlemcalc2  11580  resqrexlemcalc3  11581  resqrexlemgt0  11585  resqrexlemglsq  11587  rpsqrtcl  11606  absrpclap  11626  rpmaxcl  11788  rpmincl  11803  xrminrpcl  11839  xrbdtri  11841  mulcn2  11877  reccn2ap  11878  climge0  11890  divcnv  12063  georeclim  12079  cvgratnnlembern  12089  cvgratnnlemsumlt  12094  cvgratnnlemfm  12095  cvgratnnlemrate  12096  cvgratnn  12097  cvgratz  12098  rpefcl  12251  efltim  12264  ef01bndlem  12322  pythagtriplem12  12853  pythagtriplem14  12855  pythagtriplem16  12857  bdmopn  15234  mulcncflem  15337  ivthinclemlopn  15366  ivthinclemuopn  15368  dveflem  15456  reeff1olem  15501  pilem3  15513  tanrpcl  15567  cosordlem  15579  rplogcl  15609  logdivlti  15611  cxplt  15646  cxple  15647  rpabscxpbnd  15670  ltexp2  15671  iooref1o  16664