Theorem elrpd 9768

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
elrpd.2	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
elrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem elrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		elrpd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3		elrp 9730	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4	1, 2, 3	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4033  ℝcr 7878  0cc0 7879   < clt 8061  ℝ⁺crp 9728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034  df-rp 9729

This theorem is referenced by:  mul2lt0rgt0  9835  mul2lt0np  9838  zltaddlt1le  10082  modqval  10416  ltexp2a  10683  leexp2a  10684  expnlbnd2  10757  nn0ltexp2  10801  resqrexlem1arp  11170  resqrexlemp1rp  11171  resqrexlemcalc2  11180  resqrexlemcalc3  11181  resqrexlemgt0  11185  resqrexlemglsq  11187  rpsqrtcl  11206  absrpclap  11226  rpmaxcl  11388  rpmincl  11403  xrminrpcl  11439  xrbdtri  11441  mulcn2  11477  reccn2ap  11478  climge0  11490  divcnv  11662  georeclim  11678  cvgratnnlembern  11688  cvgratnnlemsumlt  11693  cvgratnnlemfm  11694  cvgratnnlemrate  11695  cvgratnn  11696  cvgratz  11697  rpefcl  11850  efltim  11863  ef01bndlem  11921  pythagtriplem12  12444  pythagtriplem14  12446  pythagtriplem16  12448  bdmopn  14740  mulcncflem  14843  ivthinclemlopn  14872  ivthinclemuopn  14874  dveflem  14962  reeff1olem  15007  pilem3  15019  tanrpcl  15073  cosordlem  15085  rplogcl  15115  logdivlti  15117  cxplt  15152  cxple  15153  rpabscxpbnd  15176  ltexp2  15177  iooref1o  15678