Theorem elrpd 10026

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
elrpd.2	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
elrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem elrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		elrpd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3		elrp 9988	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4	1, 2, 3	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4109  ℝcr 8126  0cc0 8127   < clt 8308  ℝ⁺crp 9986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-rab 2529  df-v 2815  df-un 3215  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-br 4110  df-rp 9987

This theorem is referenced by:  mul2lt0rgt0  10093  mul2lt0np  10096  zltaddlt1le  10341  modqval  10686  ltexp2a  10953  leexp2a  10954  expnlbnd2  11027  nn0ltexp2  11071  resqrexlem1arp  11690  resqrexlemp1rp  11691  resqrexlemcalc2  11700  resqrexlemcalc3  11701  resqrexlemgt0  11705  resqrexlemglsq  11707  rpsqrtcl  11726  absrpclap  11746  rpmaxcl  11908  rpmincl  11923  xrminrpcl  11959  xrbdtri  11961  mulcn2  11997  reccn2ap  11998  climge0  12010  divcnv  12183  georeclim  12199  cvgratnnlembern  12209  cvgratnnlemsumlt  12214  cvgratnnlemfm  12215  cvgratnnlemrate  12216  cvgratnn  12217  cvgratz  12218  rpefcl  12371  efltim  12384  ef01bndlem  12442  pythagtriplem12  12973  pythagtriplem14  12975  pythagtriplem16  12977  bdmopn  15369  mulcncflem  15472  ivthinclemlopn  15501  ivthinclemuopn  15503  dveflem  15591  reeff1olem  15636  pilem3  15648  tanrpcl  15702  cosordlem  15714  rplogcl  15744  logdivlti  15746  cxplt  15781  cxple  15782  rpabscxpbnd  15805  ltexp2  15806  iooref1o  16818