Theorem elrpd 9785

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
elrpd.2	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
elrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem elrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		elrpd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3		elrp 9747	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4	1, 2, 3	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ℝcr 7895  0cc0 7896   < clt 8078  ℝ⁺crp 9745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035  df-rp 9746

This theorem is referenced by:  mul2lt0rgt0  9852  mul2lt0np  9855  zltaddlt1le  10099  modqval  10433  ltexp2a  10700  leexp2a  10701  expnlbnd2  10774  nn0ltexp2  10818  resqrexlem1arp  11187  resqrexlemp1rp  11188  resqrexlemcalc2  11197  resqrexlemcalc3  11198  resqrexlemgt0  11202  resqrexlemglsq  11204  rpsqrtcl  11223  absrpclap  11243  rpmaxcl  11405  rpmincl  11420  xrminrpcl  11456  xrbdtri  11458  mulcn2  11494  reccn2ap  11495  climge0  11507  divcnv  11679  georeclim  11695  cvgratnnlembern  11705  cvgratnnlemsumlt  11710  cvgratnnlemfm  11711  cvgratnnlemrate  11712  cvgratnn  11713  cvgratz  11714  rpefcl  11867  efltim  11880  ef01bndlem  11938  pythagtriplem12  12469  pythagtriplem14  12471  pythagtriplem16  12473  bdmopn  14824  mulcncflem  14927  ivthinclemlopn  14956  ivthinclemuopn  14958  dveflem  15046  reeff1olem  15091  pilem3  15103  tanrpcl  15157  cosordlem  15169  rplogcl  15199  logdivlti  15201  cxplt  15236  cxple  15237  rpabscxpbnd  15260  ltexp2  15261  iooref1o  15765