ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elrpd GIF version

Theorem elrpd 9506
Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
elrpd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
elrpd.2 (𝜑 → 0 < 𝐴)
Assertion
Ref Expression
elrpd (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem elrpd
StepHypRef Expression
1 elrpd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 elrpd.2 . 2 (𝜑 → 0 < 𝐴)
3 elrp 9468 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
41, 2, 3sylanbrc 414 1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1481   class class class wbr 3933  cr 7639  0cc0 7640   < clt 7820  +crp 9466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-rab 2426  df-v 2689  df-un 3076  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-br 3934  df-rp 9467
This theorem is referenced by:  mul2lt0rgt0  9573  mul2lt0np  9576  zltaddlt1le  9816  modqval  10124  ltexp2a  10372  leexp2a  10373  expnlbnd2  10444  resqrexlem1arp  10805  resqrexlemp1rp  10806  resqrexlemcalc2  10815  resqrexlemcalc3  10816  resqrexlemgt0  10820  resqrexlemglsq  10822  rpsqrtcl  10841  absrpclap  10861  rpmaxcl  11023  rpmincl  11037  xrminrpcl  11071  xrbdtri  11073  mulcn2  11109  reccn2ap  11110  climge0  11122  divcnv  11294  georeclim  11310  cvgratnnlembern  11320  cvgratnnlemsumlt  11325  cvgratnnlemfm  11326  cvgratnnlemrate  11327  cvgratnn  11328  cvgratz  11329  rpefcl  11419  efltim  11432  ef01bndlem  11490  bdmopn  12703  mulcncflem  12789  ivthinclemlopn  12813  ivthinclemuopn  12815  dveflem  12886  reeff1olem  12891  pilem3  12903  tanrpcl  12957  cosordlem  12969  rplogcl  12999  logdivlti  13001  cxplt  13035  cxple  13036  rpabscxpbnd  13058  iooref1o  13409
  Copyright terms: Public domain W3C validator