Theorem elrpd 10110

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
elrpd.2	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
elrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem elrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		elrpd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3		elrp 10072	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4	1, 2, 3	sylanbrc 421	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ℝcr 8184  0cc0 8185   < clt 8366  ℝ⁺crp 10070

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132  df-rp 10071

This theorem is used by:  mul2lt0rgt0  10177  mul2lt0np  10180  zltaddlt1le  10426  modqval  10781  ltexp2a  11048  leexp2a  11049  expnlbnd2  11123  nn0ltexp2  11168  resqrexlem1arp  11792  resqrexlemp1rp  11793  resqrexlemcalc2  11802  resqrexlemcalc3  11803  resqrexlemgt0  11807  resqrexlemglsq  11809  rpsqrtcl  11828  absrpclap  11848  rpmaxcl  12011  rpmincl  12027  xrminrpcl  12064  xrbdtri  12066  mulcn2  12102  reccn2ap  12103  climge0  12115  divcnv  12288  georeclim  12304  cvgratnnlembern  12314  cvgratnnlemsumlt  12319  cvgratnnlemfm  12320  cvgratnnlemrate  12321  cvgratnn  12322  cvgratz  12323  rpefcl  12476  efltim  12489  ef01bndlem  12547  pythagtriplem12  13082  pythagtriplem14  13084  pythagtriplem16  13086  bdmopn  15747  mulcncflem  15850  ivthinclemlopn  15879  ivthinclemuopn  15881  dveflem  15969  reeff1olem  16014  pilem3  16027  tanrpcl  16081  cosordlem  16094  rplogcl  16126  logdivlti  16128  logdivlt  16141  logdivle  16142  cxplt  16168  cxple  16169  rpabscxpbnd  16192  ltexp2  16194  chtqrpcl  16296  chtqleppi  16311  iooref1o  17306