Theorem elrpd 9787

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
elrpd.2	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
elrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem elrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		elrpd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3		elrp 9749	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4	1, 2, 3	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ℝcr 7897  0cc0 7898   < clt 8080  ℝ⁺crp 9747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035  df-rp 9748

This theorem is referenced by:  mul2lt0rgt0  9854  mul2lt0np  9857  zltaddlt1le  10101  modqval  10435  ltexp2a  10702  leexp2a  10703  expnlbnd2  10776  nn0ltexp2  10820  resqrexlem1arp  11189  resqrexlemp1rp  11190  resqrexlemcalc2  11199  resqrexlemcalc3  11200  resqrexlemgt0  11204  resqrexlemglsq  11206  rpsqrtcl  11225  absrpclap  11245  rpmaxcl  11407  rpmincl  11422  xrminrpcl  11458  xrbdtri  11460  mulcn2  11496  reccn2ap  11497  climge0  11509  divcnv  11681  georeclim  11697  cvgratnnlembern  11707  cvgratnnlemsumlt  11712  cvgratnnlemfm  11713  cvgratnnlemrate  11714  cvgratnn  11715  cvgratz  11716  rpefcl  11869  efltim  11882  ef01bndlem  11940  pythagtriplem12  12471  pythagtriplem14  12473  pythagtriplem16  12475  bdmopn  14848  mulcncflem  14951  ivthinclemlopn  14980  ivthinclemuopn  14982  dveflem  15070  reeff1olem  15115  pilem3  15127  tanrpcl  15181  cosordlem  15193  rplogcl  15223  logdivlti  15225  cxplt  15260  cxple  15261  rpabscxpbnd  15284  ltexp2  15285  iooref1o  15791