Theorem elrpd 9927

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
elrpd.2	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
elrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem elrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		elrpd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3		elrp 9889	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4	1, 2, 3	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ℝcr 8030  0cc0 8031   < clt 8213  ℝ⁺crp 9887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-rab 2519  df-v 2804  df-un 3204  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-rp 9888

This theorem is referenced by:  mul2lt0rgt0  9994  mul2lt0np  9997  zltaddlt1le  10241  modqval  10585  ltexp2a  10852  leexp2a  10853  expnlbnd2  10926  nn0ltexp2  10970  resqrexlem1arp  11565  resqrexlemp1rp  11566  resqrexlemcalc2  11575  resqrexlemcalc3  11576  resqrexlemgt0  11580  resqrexlemglsq  11582  rpsqrtcl  11601  absrpclap  11621  rpmaxcl  11783  rpmincl  11798  xrminrpcl  11834  xrbdtri  11836  mulcn2  11872  reccn2ap  11873  climge0  11885  divcnv  12057  georeclim  12073  cvgratnnlembern  12083  cvgratnnlemsumlt  12088  cvgratnnlemfm  12089  cvgratnnlemrate  12090  cvgratnn  12091  cvgratz  12092  rpefcl  12245  efltim  12258  ef01bndlem  12316  pythagtriplem12  12847  pythagtriplem14  12849  pythagtriplem16  12851  bdmopn  15227  mulcncflem  15330  ivthinclemlopn  15359  ivthinclemuopn  15361  dveflem  15449  reeff1olem  15494  pilem3  15506  tanrpcl  15560  cosordlem  15572  rplogcl  15602  logdivlti  15604  cxplt  15639  cxple  15640  rpabscxpbnd  15663  ltexp2  15664  iooref1o  16638