Theorem icccntr 10030

Description: Membership in a contracted interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
icccntr.1	⊢ (𝐴 / 𝑅) = 𝐶
icccntr.2	⊢ (𝐵 / 𝑅) = 𝐷

Assertion

Ref	Expression
icccntr	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 / 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))

Proof of Theorem icccntr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ)
2		rerpdivcl 9714	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑋 / 𝑅) ∈ ℝ)
3	1, 2	2thd 175	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑋 ∈ ℝ ↔ (𝑋 / 𝑅) ∈ ℝ))
4	3	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ∈ ℝ ↔ (𝑋 / 𝑅) ∈ ℝ))
5		elrp 9685	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑅))
6		lediv1 8856	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑅)) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 / 𝑅) ≤ (𝑋 / 𝑅)))
7	5, 6	syl3an3b 1287	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 / 𝑅) ≤ (𝑋 / 𝑅)))
8	7	3expb 1206	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 / 𝑅) ≤ (𝑋 / 𝑅)))
9	8	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 / 𝑅) ≤ (𝑋 / 𝑅)))
10		icccntr.1	. . . . 5 ⊢ (𝐴 / 𝑅) = 𝐶
11	10	breq1i 4025	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 𝑅) ≤ (𝑋 / 𝑅) ↔ 𝐶 ≤ (𝑋 / 𝑅))
12	9, 11	bitrdi 196	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ 𝐶 ≤ (𝑋 / 𝑅)))
13		lediv1 8856	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑅)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 / 𝑅) ≤ (𝐵 / 𝑅)))
14	5, 13	syl3an3b 1287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 / 𝑅) ≤ (𝐵 / 𝑅)))
15	14	3expb 1206	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 / 𝑅) ≤ (𝐵 / 𝑅)))
16	15	an12s 565	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 / 𝑅) ≤ (𝐵 / 𝑅)))
17	16	adantll 476	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 / 𝑅) ≤ (𝐵 / 𝑅)))
18		icccntr.2	. . . . 5 ⊢ (𝐵 / 𝑅) = 𝐷
19	18	breq2i 4026	. . . 4 ⊢ ((𝑋 / 𝑅) ≤ (𝐵 / 𝑅) ↔ (𝑋 / 𝑅) ≤ 𝐷)
20	17, 19	bitrdi 196	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 / 𝑅) ≤ 𝐷))
21	4, 12, 20	3anbi123d 1323	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵) ↔ ((𝑋 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 / 𝑅) ∧ (𝑋 / 𝑅) ≤ 𝐷)))
22		elicc2 9968	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
23	22	adantr 276	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
24		rerpdivcl 9714	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝑅) ∈ ℝ)
25	10, 24	eqeltrrid 2277	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
26		rerpdivcl 9714	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝐵 / 𝑅) ∈ ℝ)
27	18, 26	eqeltrrid 2277	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ)
28		elicc2 9968	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((𝑋 / 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 / 𝑅) ∧ (𝑋 / 𝑅) ≤ 𝐷)))
29	25, 27, 28	syl2an 289	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → ((𝑋 / 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 / 𝑅) ∧ (𝑋 / 𝑅) ≤ 𝐷)))
30	29	anandirs 593	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝑋 / 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 / 𝑅) ∧ (𝑋 / 𝑅) ≤ 𝐷)))
31	30	adantrl 478	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → ((𝑋 / 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 / 𝑅) ∧ (𝑋 / 𝑅) ≤ 𝐷)))
32	21, 23, 31	3bitr4d 220	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 / 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5896  ℝcr 7840  0cc0 7841   < clt 8022   ≤ cle 8023   / cdiv 8659  ℝ⁺crp 9683  [,]cicc 9921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-rp 9684  df-icc 9925

This theorem is referenced by:  icccntri  10031