Theorem icccntr 10104

Description: Membership in a contracted interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
icccntr.1	⊢ (𝐴 / 𝑅) = 𝐶
icccntr.2	⊢ (𝐵 / 𝑅) = 𝐷

Assertion

Ref	Expression
icccntr	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 / 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))

Proof of Theorem icccntr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ)
2		rerpdivcl 9788	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑋 / 𝑅) ∈ ℝ)
3	1, 2	2thd 175	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑋 ∈ ℝ ↔ (𝑋 / 𝑅) ∈ ℝ))
4	3	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ∈ ℝ ↔ (𝑋 / 𝑅) ∈ ℝ))
5		elrp 9759	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑅))
6		lediv1 8924	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑅)) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 / 𝑅) ≤ (𝑋 / 𝑅)))
7	5, 6	syl3an3b 1287	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 / 𝑅) ≤ (𝑋 / 𝑅)))
8	7	3expb 1206	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 / 𝑅) ≤ (𝑋 / 𝑅)))
9	8	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 / 𝑅) ≤ (𝑋 / 𝑅)))
10		icccntr.1	. . . . 5 ⊢ (𝐴 / 𝑅) = 𝐶
11	10	breq1i 4050	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 𝑅) ≤ (𝑋 / 𝑅) ↔ 𝐶 ≤ (𝑋 / 𝑅))
12	9, 11	bitrdi 196	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ 𝐶 ≤ (𝑋 / 𝑅)))
13		lediv1 8924	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑅)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 / 𝑅) ≤ (𝐵 / 𝑅)))
14	5, 13	syl3an3b 1287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 / 𝑅) ≤ (𝐵 / 𝑅)))
15	14	3expb 1206	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 / 𝑅) ≤ (𝐵 / 𝑅)))
16	15	an12s 565	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 / 𝑅) ≤ (𝐵 / 𝑅)))
17	16	adantll 476	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 / 𝑅) ≤ (𝐵 / 𝑅)))
18		icccntr.2	. . . . 5 ⊢ (𝐵 / 𝑅) = 𝐷
19	18	breq2i 4051	. . . 4 ⊢ ((𝑋 / 𝑅) ≤ (𝐵 / 𝑅) ↔ (𝑋 / 𝑅) ≤ 𝐷)
20	17, 19	bitrdi 196	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 / 𝑅) ≤ 𝐷))
21	4, 12, 20	3anbi123d 1324	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵) ↔ ((𝑋 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 / 𝑅) ∧ (𝑋 / 𝑅) ≤ 𝐷)))
22		elicc2 10042	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
23	22	adantr 276	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
24		rerpdivcl 9788	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝑅) ∈ ℝ)
25	10, 24	eqeltrrid 2292	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
26		rerpdivcl 9788	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝐵 / 𝑅) ∈ ℝ)
27	18, 26	eqeltrrid 2292	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ)
28		elicc2 10042	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((𝑋 / 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 / 𝑅) ∧ (𝑋 / 𝑅) ≤ 𝐷)))
29	25, 27, 28	syl2an 289	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → ((𝑋 / 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 / 𝑅) ∧ (𝑋 / 𝑅) ≤ 𝐷)))
30	29	anandirs 593	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝑋 / 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 / 𝑅) ∧ (𝑋 / 𝑅) ≤ 𝐷)))
31	30	adantrl 478	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → ((𝑋 / 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 / 𝑅) ∧ (𝑋 / 𝑅) ≤ 𝐷)))
32	21, 23, 31	3bitr4d 220	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 / 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1372   ∈ wcel 2175   class class class wbr 4043  (class class class)co 5934  ℝcr 7906  0cc0 7907   < clt 8089   ≤ cle 8090   / cdiv 8727  ℝ⁺crp 9757  [,]cicc 9995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-mulrcl 8006  ax-addcom 8007  ax-mulcom 8008  ax-addass 8009  ax-mulass 8010  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-1rid 8014  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-precex 8017  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-apti 8022  ax-pre-ltadd 8023  ax-pre-mulgt0 8024  ax-pre-mulext 8025

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4338  df-po 4341  df-iso 4342  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-reap 8630  df-ap 8637  df-div 8728  df-rp 9758  df-icc 9999

This theorem is referenced by:  icccntri  10105