Theorem icccntr 10192

Description: Membership in a contracted interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
icccntr.1	⊢ (𝐴 / 𝑅) = 𝐶
icccntr.2	⊢ (𝐵 / 𝑅) = 𝐷

Assertion

Ref	Expression
icccntr	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 / 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))

Proof of Theorem icccntr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ)
2		rerpdivcl 9876	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑋 / 𝑅) ∈ ℝ)
3	1, 2	2thd 175	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑋 ∈ ℝ ↔ (𝑋 / 𝑅) ∈ ℝ))
4	3	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ∈ ℝ ↔ (𝑋 / 𝑅) ∈ ℝ))
5		elrp 9847	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑅))
6		lediv1 9012	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑅)) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 / 𝑅) ≤ (𝑋 / 𝑅)))
7	5, 6	syl3an3b 1309	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 / 𝑅) ≤ (𝑋 / 𝑅)))
8	7	3expb 1228	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 / 𝑅) ≤ (𝑋 / 𝑅)))
9	8	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 / 𝑅) ≤ (𝑋 / 𝑅)))
10		icccntr.1	. . . . 5 ⊢ (𝐴 / 𝑅) = 𝐶
11	10	breq1i 4089	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 𝑅) ≤ (𝑋 / 𝑅) ↔ 𝐶 ≤ (𝑋 / 𝑅))
12	9, 11	bitrdi 196	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ 𝐶 ≤ (𝑋 / 𝑅)))
13		lediv1 9012	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑅)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 / 𝑅) ≤ (𝐵 / 𝑅)))
14	5, 13	syl3an3b 1309	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 / 𝑅) ≤ (𝐵 / 𝑅)))
15	14	3expb 1228	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 / 𝑅) ≤ (𝐵 / 𝑅)))
16	15	an12s 565	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 / 𝑅) ≤ (𝐵 / 𝑅)))
17	16	adantll 476	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 / 𝑅) ≤ (𝐵 / 𝑅)))
18		icccntr.2	. . . . 5 ⊢ (𝐵 / 𝑅) = 𝐷
19	18	breq2i 4090	. . . 4 ⊢ ((𝑋 / 𝑅) ≤ (𝐵 / 𝑅) ↔ (𝑋 / 𝑅) ≤ 𝐷)
20	17, 19	bitrdi 196	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 / 𝑅) ≤ 𝐷))
21	4, 12, 20	3anbi123d 1346	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵) ↔ ((𝑋 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 / 𝑅) ∧ (𝑋 / 𝑅) ≤ 𝐷)))
22		elicc2 10130	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
23	22	adantr 276	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
24		rerpdivcl 9876	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝑅) ∈ ℝ)
25	10, 24	eqeltrrid 2317	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
26		rerpdivcl 9876	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝐵 / 𝑅) ∈ ℝ)
27	18, 26	eqeltrrid 2317	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ)
28		elicc2 10130	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((𝑋 / 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 / 𝑅) ∧ (𝑋 / 𝑅) ≤ 𝐷)))
29	25, 27, 28	syl2an 289	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → ((𝑋 / 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 / 𝑅) ∧ (𝑋 / 𝑅) ≤ 𝐷)))
30	29	anandirs 595	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝑋 / 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 / 𝑅) ∧ (𝑋 / 𝑅) ≤ 𝐷)))
31	30	adantrl 478	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → ((𝑋 / 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 / 𝑅) ∧ (𝑋 / 𝑅) ≤ 𝐷)))
32	21, 23, 31	3bitr4d 220	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 / 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082  (class class class)co 6000  ℝcr 7994  0cc0 7995   < clt 8177   ≤ cle 8178   / cdiv 8815  ℝ⁺crp 9845  [,]cicc 10083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-rp 9846  df-icc 10087

This theorem is referenced by:  icccntri  10193