Theorem f10 5233

Description: The empty set maps one-to-one into any class. (Contributed by NM, 7-Apr-1998.)

Assertion

Ref	Expression
f10	⊢ ∅:∅–1-1→𝐴

Proof of Theorem f10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0 5147	. 2 ⊢ ∅:∅⟶𝐴
2		fun0 5023	. . 3 ⊢ Fun ∅
3		cnv0 4787	. . . 4 ⊢ ◡∅ = ∅
4	3	funeqi 4987	. . 3 ⊢ (Fun ◡∅ ↔ Fun ∅)
5	2, 4	mpbir 144	. 2 ⊢ Fun ◡∅
6		df-f1 4972	. 2 ⊢ (∅:∅–1-1→𝐴 ↔ (∅:∅⟶𝐴 ∧ Fun ◡∅))
7	1, 5, 6	mpbir2an 884	1 ⊢ ∅:∅–1-1→𝐴

Syntax hints:  ∅c0 3269  ^◡ccnv 4398  Fun wfun 4961  ⟶wf 4963  –1-1→wf1 4964

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 3999

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2614  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-br 3812  df-opab 3866  df-id 4083  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-f1 4972

This theorem is referenced by:  fo00  5235