Theorem f10 5541

Description: The empty set maps one-to-one into any class. (Contributed by NM, 7-Apr-1998.)

Assertion

Ref	Expression
f10	⊢ ∅:∅–1-1→𝐴

Proof of Theorem f10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0 5451	. 2 ⊢ ∅:∅⟶𝐴
2		fun0 5317	. . 3 ⊢ Fun ∅
3		cnv0 5074	. . . 4 ⊢ ◡∅ = ∅
4	3	funeqi 5280	. . 3 ⊢ (Fun ◡∅ ↔ Fun ∅)
5	2, 4	mpbir 146	. 2 ⊢ Fun ◡∅
6		df-f1 5264	. 2 ⊢ (∅:∅–1-1→𝐴 ↔ (∅:∅⟶𝐴 ∧ Fun ◡∅))
7	1, 5, 6	mpbir2an 944	1 ⊢ ∅:∅–1-1→𝐴

Syntax hints:  ∅c0 3451  ^◡ccnv 4663  Fun wfun 5253  ⟶wf 5255  –1-1→wf1 5256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264

This theorem is referenced by:  fo00  5543