Theorem funcnvcnv 5438

Description: The double converse of a function is a function. (Contributed by NM, 21-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
funcnvcnv	⊢ (Fun 𝐴 → Fun ◡◡𝐴)

Proof of Theorem funcnvcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvcnvss 5240	. 2 ⊢ ◡◡𝐴 ⊆ 𝐴
2		funss 5394	. 2 ⊢ (◡◡𝐴 ⊆ 𝐴 → (Fun 𝐴 → Fun ◡◡𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (Fun 𝐴 → Fun ◡◡𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ⊆ wss 3220  ^◡ccnv 4771  Fun wfun 5369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-br 4129  df-opab 4191  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-fun 5377

This theorem is referenced by:  funcnvres2  5454  inpreima  5828  difpreima  5829  f1oresrab  5867  sbthlemi8  7275  caseinj  7423  djuinj  7440  cnclima  15307