Theorem funcnvres2 5156

Description: The converse of a restriction of the converse of a function equals the function restricted to the image of its converse. (Contributed by NM, 4-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
funcnvres2	⊢ (Fun 𝐹 → ◡(◡𝐹 ↾ 𝐴) = (𝐹 ↾ (◡𝐹 “ 𝐴)))

Proof of Theorem funcnvres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcnvcnv 5140	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun ◡◡𝐹)
2		funcnvres 5154	. . 3 ⊢ (Fun ◡◡𝐹 → ◡(◡𝐹 ↾ 𝐴) = (◡◡𝐹 ↾ (◡𝐹 “ 𝐴)))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → ◡(◡𝐹 ↾ 𝐴) = (◡◡𝐹 ↾ (◡𝐹 “ 𝐴)))
4		funrel 5098	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
5		dfrel2 4947	. . . 4 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ◡◡𝐹 = 𝐹)
6	4, 5	sylib 121	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → ◡◡𝐹 = 𝐹)
7	6	reseq1d 4776	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡◡𝐹 ↾ (◡𝐹 “ 𝐴)) = (𝐹 ↾ (◡𝐹 “ 𝐴)))
8	3, 7	eqtrd 2147	1 ⊢ (Fun 𝐹 → ◡(◡𝐹 ↾ 𝐴) = (𝐹 ↾ (◡𝐹 “ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1314  ^◡ccnv 4498   ↾ cres 4501   “ cima 4502  Rel wrel 4504  Fun wfun 5075

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ral 2395  df-rex 2396  df-v 2659  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-br 3896  df-opab 3950  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-fun 5083

This theorem is referenced by:  funimacnv  5157  foimacnv  5341