Theorem funcnvres2 5263

Description: The converse of a restriction of the converse of a function equals the function restricted to the image of its converse. (Contributed by NM, 4-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
funcnvres2	⊢ (Fun 𝐹 → ◡(◡𝐹 ↾ 𝐴) = (𝐹 ↾ (◡𝐹 “ 𝐴)))

Proof of Theorem funcnvres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcnvcnv 5247	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun ◡◡𝐹)
2		funcnvres 5261	. . 3 ⊢ (Fun ◡◡𝐹 → ◡(◡𝐹 ↾ 𝐴) = (◡◡𝐹 ↾ (◡𝐹 “ 𝐴)))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → ◡(◡𝐹 ↾ 𝐴) = (◡◡𝐹 ↾ (◡𝐹 “ 𝐴)))
4		funrel 5205	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
5		dfrel2 5054	. . . 4 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ◡◡𝐹 = 𝐹)
6	4, 5	sylib 121	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → ◡◡𝐹 = 𝐹)
7	6	reseq1d 4883	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡◡𝐹 ↾ (◡𝐹 “ 𝐴)) = (𝐹 ↾ (◡𝐹 “ 𝐴)))
8	3, 7	eqtrd 2198	1 ⊢ (Fun 𝐹 → ◡(◡𝐹 ↾ 𝐴) = (𝐹 ↾ (◡𝐹 “ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1343  ^◡ccnv 4603   ↾ cres 4606   “ cima 4607  Rel wrel 4609  Fun wfun 5182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-fun 5190

This theorem is referenced by:  funimacnv  5264  foimacnv  5450