ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnclima GIF version

Theorem cnclima 13726
Description: A closed subset of the codomain of a continuous function has a closed preimage. (Contributed by NM, 15-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnclima ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐾)) → (𝐹𝐴) ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem cnclima
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . . . . . 6 𝐽 = 𝐽
2 eqid 2177 . . . . . 6 𝐾 = 𝐾
31, 2cnf 13707 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹: 𝐽 𝐾)
43adantr 276 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐾)) → 𝐹: 𝐽 𝐾)
5 ffun 5369 . . . . . 6 (𝐹: 𝐽 𝐾 → Fun 𝐹)
6 funcnvcnv 5276 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → Fun 𝐹)
7 imadif 5297 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → (𝐹 “ ( 𝐾𝐴)) = ((𝐹 𝐾) ∖ (𝐹𝐴)))
85, 6, 73syl 17 . . . . 5 (𝐹: 𝐽 𝐾 → (𝐹 “ ( 𝐾𝐴)) = ((𝐹 𝐾) ∖ (𝐹𝐴)))
9 fimacnv 5646 . . . . . 6 (𝐹: 𝐽 𝐾 → (𝐹 𝐾) = 𝐽)
109difeq1d 3253 . . . . 5 (𝐹: 𝐽 𝐾 → ((𝐹 𝐾) ∖ (𝐹𝐴)) = ( 𝐽 ∖ (𝐹𝐴)))
118, 10eqtr2d 2211 . . . 4 (𝐹: 𝐽 𝐾 → ( 𝐽 ∖ (𝐹𝐴)) = (𝐹 “ ( 𝐾𝐴)))
124, 11syl 14 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐾)) → ( 𝐽 ∖ (𝐹𝐴)) = (𝐹 “ ( 𝐾𝐴)))
132cldopn 13610 . . . 4 (𝐴 ∈ (Clsd‘𝐾) → ( 𝐾𝐴) ∈ 𝐾)
14 cnima 13723 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ( 𝐾𝐴) ∈ 𝐾) → (𝐹 “ ( 𝐾𝐴)) ∈ 𝐽)
1513, 14sylan2 286 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐾)) → (𝐹 “ ( 𝐾𝐴)) ∈ 𝐽)
1612, 15eqeltrd 2254 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐾)) → ( 𝐽 ∖ (𝐹𝐴)) ∈ 𝐽)
17 cntop1 13704 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
1817adantr 276 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐾)) → 𝐽 ∈ Top)
19 cnvimass 4992 . . . 4 (𝐹𝐴) ⊆ dom 𝐹
2019, 4fssdm 5381 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐾)) → (𝐹𝐴) ⊆ 𝐽)
211iscld2 13607 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐹𝐴) ⊆ 𝐽) → ((𝐹𝐴) ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ( 𝐽 ∖ (𝐹𝐴)) ∈ 𝐽))
2218, 20, 21syl2anc 411 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐾)) → ((𝐹𝐴) ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ( 𝐽 ∖ (𝐹𝐴)) ∈ 𝐽))
2316, 22mpbird 167 1 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐾)) → (𝐹𝐴) ∈ (Clsd‘𝐽))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  cdif 3127  wss 3130   cuni 3810  ccnv 4626  cima 4630  Fun wfun 5211  wf 5213  cfv 5217  (class class class)co 5875  Topctop 13500  Clsdccld 13595   Cn ccn 13688
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-map 6650  df-top 13501  df-topon 13514  df-cld 13598  df-cn 13691
This theorem is referenced by:  hmeocld  13815
  Copyright terms: Public domain W3C validator