ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  funcnvres GIF version

Theorem funcnvres 5196
Description: The converse of a restricted function. (Contributed by NM, 27-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
funcnvres (Fun 𝐹(𝐹𝐴) = (𝐹 ↾ (𝐹𝐴)))

Proof of Theorem funcnvres
StepHypRef Expression
1 df-ima 4552 . . . 4 (𝐹𝐴) = ran (𝐹𝐴)
2 df-rn 4550 . . . 4 ran (𝐹𝐴) = dom (𝐹𝐴)
31, 2eqtri 2160 . . 3 (𝐹𝐴) = dom (𝐹𝐴)
43reseq2i 4816 . 2 (𝐹 ↾ (𝐹𝐴)) = (𝐹 ↾ dom (𝐹𝐴))
5 resss 4843 . . . 4 (𝐹𝐴) ⊆ 𝐹
6 cnvss 4712 . . . 4 ((𝐹𝐴) ⊆ 𝐹(𝐹𝐴) ⊆ 𝐹)
75, 6ax-mp 5 . . 3 (𝐹𝐴) ⊆ 𝐹
8 funssres 5165 . . 3 ((Fun 𝐹(𝐹𝐴) ⊆ 𝐹) → (𝐹 ↾ dom (𝐹𝐴)) = (𝐹𝐴))
97, 8mpan2 421 . 2 (Fun 𝐹 → (𝐹 ↾ dom (𝐹𝐴)) = (𝐹𝐴))
104, 9syl5req 2185 1 (Fun 𝐹(𝐹𝐴) = (𝐹 ↾ (𝐹𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1331  wss 3071  ccnv 4538  dom cdm 4539  ran crn 4540  cres 4541  cima 4542  Fun wfun 5117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-fun 5125
This theorem is referenced by:  cnvresid  5197  funcnvres2  5198  f1orescnv  5383  f1imacnv  5384  sbthlemi4  6848  hmeores  12494
  Copyright terms: Public domain W3C validator