Theorem funcnvres 5121

Description: The converse of a restricted function. (Contributed by NM, 27-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
funcnvres	⊢ (Fun ◡𝐹 → ◡(𝐹 ↾ 𝐴) = (◡𝐹 ↾ (𝐹 “ 𝐴)))

Proof of Theorem funcnvres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 4480	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) = ran (𝐹 ↾ 𝐴)
2		df-rn 4478	. . . 4 ⊢ ran (𝐹 ↾ 𝐴) = dom ◡(𝐹 ↾ 𝐴)
3	1, 2	eqtri 2115	. . 3 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) = dom ◡(𝐹 ↾ 𝐴)
4	3	reseq2i 4742	. 2 ⊢ (◡𝐹 ↾ (𝐹 “ 𝐴)) = (◡𝐹 ↾ dom ◡(𝐹 ↾ 𝐴))
5		resss 4769	. . . 4 ⊢ (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐹
6		cnvss 4640	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐹 → ◡(𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ ◡𝐹)
7	5, 6	ax-mp 7	. . 3 ⊢ ◡(𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ ◡𝐹
8		funssres 5090	. . 3 ⊢ ((Fun ◡𝐹 ∧ ◡(𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ ◡𝐹) → (◡𝐹 ↾ dom ◡(𝐹 ↾ 𝐴)) = ◡(𝐹 ↾ 𝐴))
9	7, 8	mpan2 417	. 2 ⊢ (Fun ◡𝐹 → (◡𝐹 ↾ dom ◡(𝐹 ↾ 𝐴)) = ◡(𝐹 ↾ 𝐴))
10	4, 9	syl5req 2140	1 ⊢ (Fun ◡𝐹 → ◡(𝐹 ↾ 𝐴) = (◡𝐹 ↾ (𝐹 “ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1296   ⊆ wss 3013  ^◡ccnv 4466  dom cdm 4467  ran crn 4468   ↾ cres 4469   “ cima 4470  Fun wfun 5043

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-v 2635  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-fun 5051

This theorem is referenced by:  cnvresid  5122  funcnvres2  5123  f1orescnv  5304  f1imacnv  5305  sbthlemi4  6749