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Theorem tanval3ap 11740
Description: Express the tangent function directly in terms of exp. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Dec-2022.)
Assertion
Ref Expression
tanval3ap ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (tan‘𝐴) = (((exp‘(2 · (i · 𝐴))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1))))

Proof of Theorem tanval3ap
StepHypRef Expression
1 ax-icn 7924 . . . . . 6 i ∈ ℂ
2 simpl 109 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
3 mulcl 7956 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
41, 2, 3sylancr 414 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
5 efcl 11690 . . . . 5 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
64, 5syl 14 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
7 negicn 8176 . . . . . 6 -i ∈ ℂ
8 mulcl 7956 . . . . . 6 ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
97, 2, 8sylancr 414 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
10 efcl 11690 . . . . 5 ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
119, 10syl 14 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
126, 11subcld 8286 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
136, 11addcld 7995 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
14 mulcl 7956 . . . 4 ((i ∈ ℂ ∧ ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ) → (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
151, 13, 14sylancr 414 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
16 2z 9299 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
17 efexp 11708 . . . . . . . . . . 11 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℤ) → (exp‘(2 · (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴))↑2))
184, 16, 17sylancl 413 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (exp‘(2 · (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴))↑2))
196sqvald 10669 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴))↑2) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
2018, 19eqtrd 2222 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (exp‘(2 · (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
21 mulneg1 8370 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) = -(i · 𝐴))
221, 2, 21sylancr 414 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (-i · 𝐴) = -(i · 𝐴))
2322fveq2d 5534 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (exp‘(-i · 𝐴)) = (exp‘-(i · 𝐴)))
2423oveq2d 5907 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘-(i · 𝐴))))
25 efcan 11702 . . . . . . . . . . 11 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘-(i · 𝐴))) = 1)
264, 25syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘-(i · 𝐴))) = 1)
2724, 26eqtr2d 2223 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → 1 = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))))
2820, 27oveq12d 5909 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) = (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴)))))
296, 6, 11adddid 8000 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))) = (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴)))))
3028, 29eqtr4d 2225 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) = ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))))
3130oveq2d 5907 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (i · ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1)) = (i · ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
321a1i 9 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → i ∈ ℂ)
3332, 6, 13mul12d 8127 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (i · ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
3431, 33eqtrd 2222 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (i · ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1)) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
35 2cn 9008 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
36 mulcl 7956 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (2 · (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
3735, 4, 36sylancr 414 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (2 · (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
38 efcl 11690 . . . . . . . 8 ((2 · (i · 𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘(2 · (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
3937, 38syl 14 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (exp‘(2 · (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
40 ax-1cn 7922 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
41 addcl 7954 . . . . . . 7 (((exp‘(2 · (i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ∈ ℂ)
4239, 40, 41sylancl 413 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ∈ ℂ)
43 iap0 9160 . . . . . . 7 i # 0
4443a1i 9 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → i # 0)
45 simpr 110 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0)
4632, 42, 44, 45mulap0d 8633 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (i · ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1)) # 0)
4734, 46eqbrtrrd 4042 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))) # 0)
486, 15, 47mulap0bbd 8635 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))) # 0)
49 efap0 11703 . . . 4 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) # 0)
504, 49syl 14 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (exp‘(i · 𝐴)) # 0)
5112, 15, 6, 48, 50divcanap5d 8792 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) / ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
5220, 27oveq12d 5909 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) − 1) = (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) − ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴)))))
536, 6, 11subdid 8389 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) = (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) − ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴)))))
5452, 53eqtr4d 2225 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) − 1) = ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))))
5554, 34oveq12d 5909 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (((exp‘(2 · (i · 𝐴))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1))) = (((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) / ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))))))
56 cosval 11729 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
5756adantr 276 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
58 2cnd 9010 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → 2 ∈ ℂ)
5932, 13, 48mulap0bbd 8635 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) # 0)
60 2ap0 9030 . . . . . 6 2 # 0
6160a1i 9 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → 2 # 0)
6213, 58, 59, 61divap0d 8781 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) # 0)
6357, 62eqbrtrd 4040 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (cos‘𝐴) # 0)
64 tanval2ap 11739 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (tan‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
6563, 64syldan 282 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (tan‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
6651, 55, 653eqtr4rd 2233 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (tan‘𝐴) = (((exp‘(2 · (i · 𝐴))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wcel 2160   class class class wbr 4018  cfv 5231  (class class class)co 5891  cc 7827  0cc0 7829  1c1 7830  ici 7831   + caddc 7832   · cmul 7834  cmin 8146  -cneg 8147   # cap 8556   / cdiv 8647  2c2 8988  cz 9271  cexp 10537  expce 11668  cosccos 11671  tanctan 11672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-pre-mulext 7947  ax-arch 7948  ax-caucvg 7949
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-disj 3996  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-isom 5240  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-frec 6410  df-1o 6435  df-oadd 6439  df-er 6553  df-en 6759  df-dom 6760  df-fin 6761  df-sup 7001  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-div 8648  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-4 8998  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547  df-q 9638  df-rp 9672  df-ico 9912  df-fz 10027  df-fzo 10161  df-seqfrec 10464  df-exp 10538  df-fac 10724  df-bc 10746  df-ihash 10774  df-cj 10869  df-re 10870  df-im 10871  df-rsqrt 11025  df-abs 11026  df-clim 11305  df-sumdc 11380  df-ef 11674  df-sin 11676  df-cos 11677  df-tan 11678
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