Theorem tanval3ap 12246

Description: Express the tangent function directly in terms of exp. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
tanval3ap	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (tan‘𝐴) = (((exp‘(2 · (i · 𝐴))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1))))

Proof of Theorem tanval3ap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 8110	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
2		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		mulcl 8142	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
5		efcl 12196	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
7		negicn 8363	. . . . . 6 ⊢ -i ∈ ℂ
8		mulcl 8142	. . . . . 6 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
9	7, 2, 8	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
10		efcl 12196	. . . . 5 ⊢ ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
11	9, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
12	6, 11	subcld 8473	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
13	6, 11	addcld 8182	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
14		mulcl 8142	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ) → (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
15	1, 13, 14	sylancr 414	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
16		2z 9490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
17		efexp 12214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℤ) → (exp‘(2 · (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴))↑2))
18	4, 16, 17	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (exp‘(2 · (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴))↑2))
19	6	sqvald 10909	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴))↑2) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
20	18, 19	eqtrd 2262	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (exp‘(2 · (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
21		mulneg1 8557	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) = -(i · 𝐴))
22	1, 2, 21	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (-i · 𝐴) = -(i · 𝐴))
23	22	fveq2d 5636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (exp‘(-i · 𝐴)) = (exp‘-(i · 𝐴)))
24	23	oveq2d 6026	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘-(i · 𝐴))))
25		efcan 12208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘-(i · 𝐴))) = 1)
26	4, 25	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘-(i · 𝐴))) = 1)
27	24, 26	eqtr2d 2263	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → 1 = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))))
28	20, 27	oveq12d 6028	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) = (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴)))))
29	6, 6, 11	adddid 8187	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))) = (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴)))))
30	28, 29	eqtr4d 2265	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) = ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))))
31	30	oveq2d 6026	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (i · ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1)) = (i · ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
32	1	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → i ∈ ℂ)
33	32, 6, 13	mul12d 8314	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (i · ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
34	31, 33	eqtrd 2262	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (i · ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1)) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
35		2cn 9197	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
36		mulcl 8142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (2 · (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
37	35, 4, 36	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (2 · (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
38		efcl 12196	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · (i · 𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘(2 · (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
39	37, 38	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (exp‘(2 · (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
40		ax-1cn 8108	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
41		addcl 8140	. . . . . . 7 ⊢ (((exp‘(2 · (i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ∈ ℂ)
42	39, 40, 41	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ∈ ℂ)
43		iap0 9350	. . . . . . 7 ⊢ i # 0
44	43	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → i # 0)
45		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0)
46	32, 42, 44, 45	mulap0d 8821	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (i · ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1)) # 0)
47	34, 46	eqbrtrrd 4107	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))) # 0)
48	6, 15, 47	mulap0bbd 8823	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))) # 0)
49		efap0 12209	. . . 4 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) # 0)
50	4, 49	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (exp‘(i · 𝐴)) # 0)
51	12, 15, 6, 48, 50	divcanap5d 8980	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) / ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
52	20, 27	oveq12d 6028	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) − 1) = (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) − ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴)))))
53	6, 6, 11	subdid 8576	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) = (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) − ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴)))))
54	52, 53	eqtr4d 2265	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) − 1) = ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))))
55	54, 34	oveq12d 6028	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (((exp‘(2 · (i · 𝐴))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1))) = (((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) / ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))))))
56		cosval 12235	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
57	56	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
58		2cnd 9199	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → 2 ∈ ℂ)
59	32, 13, 48	mulap0bbd 8823	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) # 0)
60		2ap0 9219	. . . . . 6 ⊢ 2 # 0
61	60	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → 2 # 0)
62	13, 58, 59, 61	divap0d 8969	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) # 0)
63	57, 62	eqbrtrd 4105	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (cos‘𝐴) # 0)
64		tanval2ap 12245	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (tan‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
65	63, 64	syldan 282	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (tan‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
66	51, 55, 65	3eqtr4rd 2273	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (tan‘𝐴) = (((exp‘(2 · (i · 𝐴))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  ℂcc 8013  0cc0 8015  1c1 8016  ici 8017   + caddc 8018   · cmul 8020   − cmin 8333  -cneg 8334   # cap 8744   / cdiv 8835  2c2 9177  ℤcz 9462  ↑cexp 10777  expce 12174  cosccos 12177  tanctan 12178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134  ax-caucvg 8135

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-disj 4060  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-isom 5330  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-irdg 6527  df-frec 6548  df-1o 6573  df-oadd 6577  df-er 6693  df-en 6901  df-dom 6902  df-fin 6903  df-sup 7167  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-q 9832  df-rp 9867  df-ico 10107  df-fz 10222  df-fzo 10356  df-seqfrec 10687  df-exp 10778  df-fac 10965  df-bc 10987  df-ihash 11015  df-cj 11374  df-re 11375  df-im 11376  df-rsqrt 11530  df-abs 11531  df-clim 11811  df-sumdc 11886  df-ef 12180  df-sin 12182  df-cos 12183  df-tan 12184

This theorem is referenced by: (None)