Theorem tanval3ap 11457

Description: Express the tangent function directly in terms of exp. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
tanval3ap	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (tan‘𝐴) = (((exp‘(2 · (i · 𝐴))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1))))

Proof of Theorem tanval3ap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 7739	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
2		simpl 108	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		mulcl 7771	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	sylancr 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
5		efcl 11407	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
7		negicn 7987	. . . . . 6 ⊢ -i ∈ ℂ
8		mulcl 7771	. . . . . 6 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
9	7, 2, 8	sylancr 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
10		efcl 11407	. . . . 5 ⊢ ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
11	9, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
12	6, 11	subcld 8097	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
13	6, 11	addcld 7809	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
14		mulcl 7771	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ) → (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
15	1, 13, 14	sylancr 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
16		2z 9106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
17		efexp 11425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℤ) → (exp‘(2 · (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴))↑2))
18	4, 16, 17	sylancl 410	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (exp‘(2 · (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴))↑2))
19	6	sqvald 10452	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴))↑2) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
20	18, 19	eqtrd 2173	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (exp‘(2 · (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
21		mulneg1 8181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) = -(i · 𝐴))
22	1, 2, 21	sylancr 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (-i · 𝐴) = -(i · 𝐴))
23	22	fveq2d 5433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (exp‘(-i · 𝐴)) = (exp‘-(i · 𝐴)))
24	23	oveq2d 5798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘-(i · 𝐴))))
25		efcan 11419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘-(i · 𝐴))) = 1)
26	4, 25	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘-(i · 𝐴))) = 1)
27	24, 26	eqtr2d 2174	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → 1 = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))))
28	20, 27	oveq12d 5800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) = (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴)))))
29	6, 6, 11	adddid 7814	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))) = (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴)))))
30	28, 29	eqtr4d 2176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) = ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))))
31	30	oveq2d 5798	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (i · ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1)) = (i · ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
32	1	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → i ∈ ℂ)
33	32, 6, 13	mul12d 7938	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (i · ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
34	31, 33	eqtrd 2173	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (i · ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1)) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
35		2cn 8815	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
36		mulcl 7771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (2 · (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
37	35, 4, 36	sylancr 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (2 · (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
38		efcl 11407	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · (i · 𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘(2 · (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
39	37, 38	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (exp‘(2 · (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
40		ax-1cn 7737	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
41		addcl 7769	. . . . . . 7 ⊢ (((exp‘(2 · (i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ∈ ℂ)
42	39, 40, 41	sylancl 410	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ∈ ℂ)
43		iap0 8967	. . . . . . 7 ⊢ i # 0
44	43	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → i # 0)
45		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0)
46	32, 42, 44, 45	mulap0d 8443	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (i · ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1)) # 0)
47	34, 46	eqbrtrrd 3960	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))) # 0)
48	6, 15, 47	mulap0bbd 8445	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))) # 0)
49		efap0 11420	. . . 4 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) # 0)
50	4, 49	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (exp‘(i · 𝐴)) # 0)
51	12, 15, 6, 48, 50	divcanap5d 8601	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) / ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
52	20, 27	oveq12d 5800	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) − 1) = (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) − ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴)))))
53	6, 6, 11	subdid 8200	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) = (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) − ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴)))))
54	52, 53	eqtr4d 2176	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) − 1) = ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))))
55	54, 34	oveq12d 5800	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (((exp‘(2 · (i · 𝐴))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1))) = (((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) / ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))))))
56		cosval 11446	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
57	56	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
58		2cnd 8817	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → 2 ∈ ℂ)
59	32, 13, 48	mulap0bbd 8445	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) # 0)
60		2ap0 8837	. . . . . 6 ⊢ 2 # 0
61	60	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → 2 # 0)
62	13, 58, 59, 61	divap0d 8590	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) # 0)
63	57, 62	eqbrtrd 3958	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (cos‘𝐴) # 0)
64		tanval2ap 11456	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (tan‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
65	63, 64	syldan 280	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (tan‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
66	51, 55, 65	3eqtr4rd 2184	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (tan‘𝐴) = (((exp‘(2 · (i · 𝐴))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3937  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782  ℂcc 7642  0cc0 7644  1c1 7645  ici 7646   + caddc 7647   · cmul 7649   − cmin 7957  -cneg 7958   # cap 8367   / cdiv 8456  2c2 8795  ℤcz 9078  ↑cexp 10323  expce 11385  cosccos 11388  tanctan 11389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-disj 3915  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-frec 6296  df-1o 6321  df-oadd 6325  df-er 6437  df-en 6643  df-dom 6644  df-fin 6645  df-sup 6879  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-ico 9707  df-fz 9822  df-fzo 9951  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-fac 10504  df-bc 10526  df-ihash 10554  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-clim 11080  df-sumdc 11155  df-ef 11391  df-sin 11393  df-cos 11394  df-tan 11395

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