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Theorem tanval3ap 11410
Description: Express the tangent function directly in terms of exp. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Dec-2022.)
Assertion
Ref Expression
tanval3ap ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (tan‘𝐴) = (((exp‘(2 · (i · 𝐴))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1))))

Proof of Theorem tanval3ap
StepHypRef Expression
1 ax-icn 7708 . . . . . 6 i ∈ ℂ
2 simpl 108 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
3 mulcl 7740 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
41, 2, 3sylancr 410 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
5 efcl 11359 . . . . 5 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
64, 5syl 14 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
7 negicn 7956 . . . . . 6 -i ∈ ℂ
8 mulcl 7740 . . . . . 6 ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
97, 2, 8sylancr 410 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
10 efcl 11359 . . . . 5 ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
119, 10syl 14 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
126, 11subcld 8066 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
136, 11addcld 7778 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
14 mulcl 7740 . . . 4 ((i ∈ ℂ ∧ ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ) → (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
151, 13, 14sylancr 410 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
16 2z 9075 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
17 efexp 11377 . . . . . . . . . . 11 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℤ) → (exp‘(2 · (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴))↑2))
184, 16, 17sylancl 409 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (exp‘(2 · (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴))↑2))
196sqvald 10414 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴))↑2) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
2018, 19eqtrd 2170 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (exp‘(2 · (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
21 mulneg1 8150 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) = -(i · 𝐴))
221, 2, 21sylancr 410 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (-i · 𝐴) = -(i · 𝐴))
2322fveq2d 5418 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (exp‘(-i · 𝐴)) = (exp‘-(i · 𝐴)))
2423oveq2d 5783 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘-(i · 𝐴))))
25 efcan 11371 . . . . . . . . . . 11 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘-(i · 𝐴))) = 1)
264, 25syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘-(i · 𝐴))) = 1)
2724, 26eqtr2d 2171 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → 1 = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))))
2820, 27oveq12d 5785 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) = (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴)))))
296, 6, 11adddid 7783 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))) = (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴)))))
3028, 29eqtr4d 2173 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) = ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))))
3130oveq2d 5783 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (i · ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1)) = (i · ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
321a1i 9 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → i ∈ ℂ)
3332, 6, 13mul12d 7907 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (i · ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
3431, 33eqtrd 2170 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (i · ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1)) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
35 2cn 8784 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
36 mulcl 7740 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (2 · (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
3735, 4, 36sylancr 410 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (2 · (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
38 efcl 11359 . . . . . . . 8 ((2 · (i · 𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘(2 · (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
3937, 38syl 14 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (exp‘(2 · (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
40 ax-1cn 7706 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
41 addcl 7738 . . . . . . 7 (((exp‘(2 · (i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ∈ ℂ)
4239, 40, 41sylancl 409 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ∈ ℂ)
43 iap0 8936 . . . . . . 7 i # 0
4443a1i 9 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → i # 0)
45 simpr 109 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0)
4632, 42, 44, 45mulap0d 8412 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (i · ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1)) # 0)
4734, 46eqbrtrrd 3947 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))) # 0)
486, 15, 47mulap0bbd 8414 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))) # 0)
49 efap0 11372 . . . 4 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) # 0)
504, 49syl 14 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (exp‘(i · 𝐴)) # 0)
5112, 15, 6, 48, 50divcanap5d 8570 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) / ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
5220, 27oveq12d 5785 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) − 1) = (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) − ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴)))))
536, 6, 11subdid 8169 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) = (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) − ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴)))))
5452, 53eqtr4d 2173 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) − 1) = ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))))
5554, 34oveq12d 5785 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (((exp‘(2 · (i · 𝐴))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1))) = (((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) / ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))))))
56 cosval 11399 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
5756adantr 274 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
58 2cnd 8786 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → 2 ∈ ℂ)
5932, 13, 48mulap0bbd 8414 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) # 0)
60 2ap0 8806 . . . . . 6 2 # 0
6160a1i 9 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → 2 # 0)
6213, 58, 59, 61divap0d 8559 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) # 0)
6357, 62eqbrtrd 3945 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (cos‘𝐴) # 0)
64 tanval2ap 11409 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (tan‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
6563, 64syldan 280 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (tan‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
6651, 55, 653eqtr4rd 2181 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) # 0) → (tan‘𝐴) = (((exp‘(2 · (i · 𝐴))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480   class class class wbr 3924  cfv 5118  (class class class)co 5767  cc 7611  0cc0 7613  1c1 7614  ici 7615   + caddc 7616   · cmul 7618  cmin 7926  -cneg 7927   # cap 8336   / cdiv 8425  2c2 8764  cz 9047  cexp 10285  expce 11337  cosccos 11340  tanctan 11341
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-disj 3902  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-frec 6281  df-1o 6306  df-oadd 6310  df-er 6422  df-en 6628  df-dom 6629  df-fin 6630  df-sup 6864  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-ico 9670  df-fz 9784  df-fzo 9913  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-fac 10465  df-bc 10487  df-ihash 10515  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-clim 11041  df-sumdc 11116  df-ef 11343  df-sin 11345  df-cos 11346  df-tan 11347
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