cvgratnnlemnexp - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem cvgratnnlemnexp 12165

Description: Lemma for cvgratnn 12172. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Nov-2022.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cvgratnn.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cvgratnn.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
cvgratnn.gt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
cvgratnn.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
cvgratnn.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
cvgratnnlemnexp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

**Assertion**
Ref	Expression
cvgratnnlemnexp	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑁 − 1))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑘 𝑘,𝐹 𝑘,𝑁 𝜑,𝑘

Proof of Theorem cvgratnnlemnexp Dummy variables 𝑛 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgratnnlemnexp.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2		nnuz 9853	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
3	1, 2	eleqtrdi 2324	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘1))
4		2fveq3 5653	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 1 → (abs‘(𝐹‘𝑤)) = (abs‘(𝐹‘1)))
5		oveq1 6035	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 1 → (𝑤 − 1) = (1 − 1))
6	5	oveq2d 6044	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 1 → (𝐴↑(𝑤 − 1)) = (𝐴↑(1 − 1)))
7	6	oveq2d 6044	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 1 → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1))) = ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(1 − 1))))
8	4, 7	breq12d 4106	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 1 → ((abs‘(𝐹‘𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1))) ↔ (abs‘(𝐹‘1)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(1 − 1)))))
9	8	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 1 → ((𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘1)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(1 − 1))))))
10		2fveq3 5653	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (abs‘(𝐹‘𝑤)) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
11		oveq1 6035	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝑤 − 1) = (𝑘 − 1))
12	11	oveq2d 6044	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐴↑(𝑤 − 1)) = (𝐴↑(𝑘 − 1)))
13	12	oveq2d 6044	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1))) = ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))))
14	10, 13	breq12d 4106	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((abs‘(𝐹‘𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1))) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1)))))
15	14	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))))))
16		2fveq3 5653	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (abs‘(𝐹‘𝑤)) = (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
17		oveq1 6035	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝑤 − 1) = ((𝑘 + 1) − 1))
18	17	oveq2d 6044	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑(𝑤 − 1)) = (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))
19	18	oveq2d 6044	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1))) = ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))))
20	16, 19	breq12d 4106	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((abs‘(𝐹‘𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1))) ↔ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))))
21	20	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))))))
22		2fveq3 5653	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (abs‘(𝐹‘𝑤)) = (abs‘(𝐹‘𝑁)))
23		oveq1 6035	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (𝑤 − 1) = (𝑁 − 1))
24	23	oveq2d 6044	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (𝐴↑(𝑤 − 1)) = (𝐴↑(𝑁 − 1)))
25	24	oveq2d 6044	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1))) = ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑁 − 1))))
26	22, 25	breq12d 4106	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((abs‘(𝐹‘𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1))) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑁 − 1)))))
27	26	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑁 − 1))))))
28		fveq2 5648	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘1))
29	28	eleq1d 2300	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘1) ∈ ℂ))
30		cvgratnn.6	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
31	30	ralrimiva 2606	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
32		1nn 9213	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
33	32	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
34	29, 31, 33	rspcdva 2916	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℂ)
35	34	abscld 11821	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ)
36	35	leidd 8753	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘1)) ≤ (abs‘(𝐹‘1)))
37		1m1e0 9271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 − 1) = 0
38	37	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 − 1) = 0)
39	38	oveq2d 6044	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(1 − 1)) = (𝐴↑0))
40		cvgratnn.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
41	40	recnd 8267	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
42	41	exp0d 10992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)
43	39, 42	eqtrd 2264	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(1 − 1)) = 1)
44	43	oveq2d 6044	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(1 − 1))) = ((abs‘(𝐹‘1)) · 1))
45	35	recnd 8267	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘1)) ∈ ℂ)
46	45	mulridd 8256	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘1)) · 1) = (abs‘(𝐹‘1)))
47	44, 46	eqtrd 2264	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(1 − 1))) = (abs‘(𝐹‘1)))
48	36, 47	breqtrrd 4121	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘1)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(1 − 1))))
49	48	a1i 9	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (𝜑 → (abs‘(𝐹‘1)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(1 − 1)))))
50		elnnuz 9854	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1))
51	30	abscld 11821	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
52	35	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ)
53	40	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
54		nnm1nn0 9502	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ₀)
55	54	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ₀)
56	53, 55	reexpcld 11015	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑘 − 1)) ∈ ℝ)
57	52, 56	remulcld 8269	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) ∈ ℝ)
58		0red 8240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
59		cvgratnn.gt0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
60	59	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝐴)
61	58, 53, 60	ltled 8357	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
62		lemul2a 9098	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1)))) → (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) ≤ (𝐴 · ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1)))))
63	62	ex 115	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) → (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) ≤ (𝐴 · ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))))))
64	51, 57, 53, 61, 63	syl112anc 1278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) → (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) ≤ (𝐴 · ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))))))
65	41	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
66	45	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘1)) ∈ ℂ)
67	56	recnd 8267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
68	65, 66, 67	mul12d 8390	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1)))) = ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴 · (𝐴↑(𝑘 − 1)))))
69	65, 55	expp1d 10999	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑((𝑘 − 1) + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 − 1)) · 𝐴))
70		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
71	70	nncnd 9216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
72		1cnd 8255	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
73	71, 72, 72	addsubd 8570	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) − 1) = ((𝑘 − 1) + 1))
74	73	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)) = (𝐴↑((𝑘 − 1) + 1)))
75	65, 67	mulcomd 8260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · (𝐴↑(𝑘 − 1))) = ((𝐴↑(𝑘 − 1)) · 𝐴))
76	69, 74, 75	3eqtr4rd 2275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · (𝐴↑(𝑘 − 1))) = (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))
77	76	oveq2d 6044	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴 · (𝐴↑(𝑘 − 1)))) = ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))))
78	68, 77	eqtrd 2264	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1)))) = ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))))
79	78	breq2d 4105	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) ≤ (𝐴 · ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1)))) ↔ (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))))
80	64, 79	sylibd 149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) → (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))))
81		cvgratnn.7	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
82		fveq2 5648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
83	82	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑛) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ))
84		fveq2 5648	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
85	84	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ))
86	85	cbvralv 2768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
87	31, 86	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
88	87	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
89		peano2nn 9214	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
90	89	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
91	83, 88, 90	rspcdva 2916	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
92	91	abscld 11821	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
93	53, 51	remulcld 8269	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
94		elnnuz 9854	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ ↔ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
95	89, 94	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
96	95	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
97		uznn0sub 9849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ (ℤ_≥‘1) → ((𝑘 + 1) − 1) ∈ ℕ₀)
98	96, 97	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) − 1) ∈ ℕ₀)
99	53, 98	reexpcld 11015	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)) ∈ ℝ)
100	52, 99	remulcld 8269	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))) ∈ ℝ)
101		letr 8321	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))) ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) ∧ (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))))
102	92, 93, 100, 101	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) ∧ (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))))
103	81, 102	mpand 429	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))))
104	80, 103	syld 45	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))))
105	50, 104	sylan2br 288	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))))
106	105	expcom 116	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1) → (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))))))
107	106	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1) → ((𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1)))) → (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))))))
108	9, 15, 21, 27, 49, 107	uzind4 9883	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘1) → (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑁 − 1)))))
109	3, 108	mpcom 36	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑁)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑁 − 1))))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 ∧ w3a 1005 = wceq 1398 ∈ wcel 2202 ∀wral 2511 class class class wbr 4093 ‘cfv 5333 (class class class)co 6028 ℂcc 8090 ℝcr 8091 0cc0 8092 1c1 8093 + caddc 8095 · cmul 8097 < clt 8273 ≤ cle 8274 − cmin 8409 ℕcn 9202 ℕ₀cn0 9461 ℤcz 9540 ℤ_≥cuz 9816 ↑cexp 10863 abscabs 11637

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4209 ax-sep 4212 ax-nul 4220 ax-pow 4270 ax-pr 4305 ax-un 4536 ax-setind 4641 ax-iinf 4692 ax-cnex 8183 ax-resscn 8184 ax-1cn 8185 ax-1re 8186 ax-icn 8187 ax-addcl 8188 ax-addrcl 8189 ax-mulcl 8190 ax-mulrcl 8191 ax-addcom 8192 ax-mulcom 8193 ax-addass 8194 ax-mulass 8195 ax-distr 8196 ax-i2m1 8197 ax-0lt1 8198 ax-1rid 8199 ax-0id 8200 ax-rnegex 8201 ax-precex 8202 ax-cnre 8203 ax-pre-ltirr 8204 ax-pre-ltwlin 8205 ax-pre-lttrn 8206 ax-pre-apti 8207 ax-pre-ltadd 8208 ax-pre-mulgt0 8209 ax-pre-mulext 8210 ax-arch 8211 ax-caucvg 8212

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2364 df-ne 2404 df-nel 2499 df-ral 2516 df-rex 2517 df-reu 2518 df-rmo 2519 df-rab 2520 df-v 2805 df-sbc 3033 df-csb 3129 df-dif 3203 df-un 3205 df-in 3207 df-ss 3214 df-nul 3497 df-if 3608 df-pw 3658 df-sn 3679 df-pr 3680 df-op 3682 df-uni 3899 df-int 3934 df-iun 3977 df-br 4094 df-opab 4156 df-mpt 4157 df-tr 4193 df-id 4396 df-po 4399 df-iso 4400 df-iord 4469 df-on 4471 df-ilim 4472 df-suc 4474 df-iom 4695 df-xp 4737 df-rel 4738 df-cnv 4739 df-co 4740 df-dm 4741 df-rn 4742 df-res 4743 df-ima 4744 df-iota 5293 df-fun 5335 df-fn 5336 df-f 5337 df-f1 5338 df-fo 5339 df-f1o 5340 df-fv 5341 df-riota 5981 df-ov 6031 df-oprab 6032 df-mpo 6033 df-1st 6312 df-2nd 6313 df-recs 6514 df-frec 6600 df-pnf 8275 df-mnf 8276 df-xr 8277 df-ltxr 8278 df-le 8279 df-sub 8411 df-neg 8412 df-reap 8814 df-ap 8821 df-div 8912 df-inn 9203 df-2 9261 df-3 9262 df-4 9263 df-n0 9462 df-z 9541 df-uz 9817 df-rp 9950 df-seqfrec 10773 df-exp 10864 df-cj 11482 df-re 11483 df-im 11484 df-rsqrt 11638 df-abs 11639

This theorem is referenced by: cvgratnnlemfm 12170

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