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Theorem cvgratnnlemnexp 11546
Description: Lemma for cvgratnn 11553. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgratnn.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
cvgratnn.4 (𝜑𝐴 < 1)
cvgratnn.gt0 (𝜑 → 0 < 𝐴)
cvgratnn.6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
cvgratnn.7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))))
cvgratnnlemnexp.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
cvgratnnlemnexp (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑁 − 1))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem cvgratnnlemnexp
Dummy variables 𝑛 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvgratnnlemnexp.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 nnuz 9577 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
31, 2eleqtrdi 2280 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
4 2fveq3 5532 . . . . 5 (𝑤 = 1 → (abs‘(𝐹𝑤)) = (abs‘(𝐹‘1)))
5 oveq1 5895 . . . . . . 7 (𝑤 = 1 → (𝑤 − 1) = (1 − 1))
65oveq2d 5904 . . . . . 6 (𝑤 = 1 → (𝐴↑(𝑤 − 1)) = (𝐴↑(1 − 1)))
76oveq2d 5904 . . . . 5 (𝑤 = 1 → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1))) = ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(1 − 1))))
84, 7breq12d 4028 . . . 4 (𝑤 = 1 → ((abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1))) ↔ (abs‘(𝐹‘1)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(1 − 1)))))
98imbi2d 230 . . 3 (𝑤 = 1 → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘1)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(1 − 1))))))
10 2fveq3 5532 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → (abs‘(𝐹𝑤)) = (abs‘(𝐹𝑘)))
11 oveq1 5895 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑘 → (𝑤 − 1) = (𝑘 − 1))
1211oveq2d 5904 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑘 → (𝐴↑(𝑤 − 1)) = (𝐴↑(𝑘 − 1)))
1312oveq2d 5904 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1))) = ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))))
1410, 13breq12d 4028 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → ((abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1))) ↔ (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1)))))
1514imbi2d 230 . . 3 (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))))))
16 2fveq3 5532 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (abs‘(𝐹𝑤)) = (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
17 oveq1 5895 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝑤 − 1) = ((𝑘 + 1) − 1))
1817oveq2d 5904 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑(𝑤 − 1)) = (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))
1918oveq2d 5904 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1))) = ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))))
2016, 19breq12d 4028 . . . 4 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1))) ↔ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))))
2120imbi2d 230 . . 3 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))))))
22 2fveq3 5532 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → (abs‘(𝐹𝑤)) = (abs‘(𝐹𝑁)))
23 oveq1 5895 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑁 → (𝑤 − 1) = (𝑁 − 1))
2423oveq2d 5904 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑁 → (𝐴↑(𝑤 − 1)) = (𝐴↑(𝑁 − 1)))
2524oveq2d 5904 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1))) = ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑁 − 1))))
2622, 25breq12d 4028 . . . 4 (𝑤 = 𝑁 → ((abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1))) ↔ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑁 − 1)))))
2726imbi2d 230 . . 3 (𝑤 = 𝑁 → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑁 − 1))))))
28 fveq2 5527 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1 → (𝐹𝑘) = (𝐹‘1))
2928eleq1d 2256 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘1) ∈ ℂ))
30 cvgratnn.6 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3130ralrimiva 2560 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
32 1nn 8944 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
3332a1i 9 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
3429, 31, 33rspcdva 2858 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℂ)
3534abscld 11204 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ)
3635leidd 8485 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘1)) ≤ (abs‘(𝐹‘1)))
37 1m1e0 9002 . . . . . . . . . 10 (1 − 1) = 0
3837a1i 9 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 − 1) = 0)
3938oveq2d 5904 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴↑(1 − 1)) = (𝐴↑0))
40 cvgratnn.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4140recnd 8000 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4241exp0d 10662 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)
4339, 42eqtrd 2220 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴↑(1 − 1)) = 1)
4443oveq2d 5904 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(1 − 1))) = ((abs‘(𝐹‘1)) · 1))
4535recnd 8000 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘1)) ∈ ℂ)
4645mulridd 7988 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘1)) · 1) = (abs‘(𝐹‘1)))
4744, 46eqtrd 2220 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(1 − 1))) = (abs‘(𝐹‘1)))
4836, 47breqtrrd 4043 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘1)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(1 − 1))))
4948a1i 9 . . 3 (1 ∈ ℤ → (𝜑 → (abs‘(𝐹‘1)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(1 − 1)))))
50 elnnuz 9578 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
5130abscld 11204 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
5235adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ)
5340adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
54 nnm1nn0 9231 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
5554adantl 277 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
5653, 55reexpcld 10685 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑘 − 1)) ∈ ℝ)
5752, 56remulcld 8002 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) ∈ ℝ)
58 0red 7972 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
59 cvgratnn.gt0 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 𝐴)
6059adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝐴)
6158, 53, 60ltled 8090 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
62 lemul2a 8830 . . . . . . . . . 10 ((((abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1)))) → (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ (𝐴 · ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1)))))
6362ex 115 . . . . . . . . 9 (((abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → ((abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) → (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ (𝐴 · ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))))))
6451, 57, 53, 61, 63syl112anc 1252 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) → (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ (𝐴 · ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))))))
6541adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6645adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘1)) ∈ ℂ)
6756recnd 8000 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
6865, 66, 67mul12d 8123 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1)))) = ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴 · (𝐴↑(𝑘 − 1)))))
6965, 55expp1d 10669 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑((𝑘 − 1) + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 − 1)) · 𝐴))
70 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
7170nncnd 8947 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
72 1cnd 7987 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
7371, 72, 72addsubd 8303 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) − 1) = ((𝑘 − 1) + 1))
7473oveq2d 5904 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)) = (𝐴↑((𝑘 − 1) + 1)))
7565, 67mulcomd 7993 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · (𝐴↑(𝑘 − 1))) = ((𝐴↑(𝑘 − 1)) · 𝐴))
7669, 74, 753eqtr4rd 2231 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · (𝐴↑(𝑘 − 1))) = (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))
7776oveq2d 5904 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴 · (𝐴↑(𝑘 − 1)))) = ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))))
7868, 77eqtrd 2220 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1)))) = ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))))
7978breq2d 4027 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ (𝐴 · ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1)))) ↔ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))))
8064, 79sylibd 149 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) → (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))))
81 cvgratnn.7 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))))
82 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑛) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
8382eleq1d 2256 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑛) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ))
84 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
8584eleq1d 2256 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑛) ∈ ℂ))
8685cbvralv 2715 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
8731, 86sylib 122 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
8887adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
89 peano2nn 8945 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
9089adantl 277 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
9183, 88, 90rspcdva 2858 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
9291abscld 11204 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
9353, 51remulcld 8002 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
94 elnnuz 9578 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ ↔ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ‘1))
9589, 94sylib 122 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ‘1))
9695adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ‘1))
97 uznn0sub 9573 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 + 1) ∈ (ℤ‘1) → ((𝑘 + 1) − 1) ∈ ℕ0)
9896, 97syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) − 1) ∈ ℕ0)
9953, 98reexpcld 10685 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)) ∈ ℝ)
10052, 99remulcld 8002 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))) ∈ ℝ)
101 letr 8054 . . . . . . . . 9 (((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))) ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ∧ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))))
10292, 93, 100, 101syl3anc 1248 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ∧ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))))
10381, 102mpand 429 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))))
10480, 103syld 45 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))))
10550, 104sylan2br 288 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → ((abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))))
106105expcom 116 . . . 4 (𝑘 ∈ (ℤ‘1) → (𝜑 → ((abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))))))
107106a2d 26 . . 3 (𝑘 ∈ (ℤ‘1) → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1)))) → (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))))))
1089, 15, 21, 27, 49, 107uzind4 9602 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑁 − 1)))))
1093, 108mpcom 36 1 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑁 − 1))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 979   = wceq 1363  wcel 2158  wral 2465   class class class wbr 4015  cfv 5228  (class class class)co 5888  cc 7823  cr 7824  0cc0 7825  1c1 7826   + caddc 7828   · cmul 7830   < clt 8006  cle 8007  cmin 8142  cn 8933  0cn0 9190  cz 9267  cuz 9542  cexp 10533  abscabs 11020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-frec 6406  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-rp 9668  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022
This theorem is referenced by:  cvgratnnlemfm  11551
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