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Theorem cvgratnnlemnexp 11516
Description: Lemma for cvgratnn 11523. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgratnn.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
cvgratnn.4 (𝜑𝐴 < 1)
cvgratnn.gt0 (𝜑 → 0 < 𝐴)
cvgratnn.6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
cvgratnn.7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))))
cvgratnnlemnexp.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
cvgratnnlemnexp (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑁 − 1))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem cvgratnnlemnexp
Dummy variables 𝑛 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvgratnnlemnexp.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 nnuz 9552 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
31, 2eleqtrdi 2270 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
4 2fveq3 5516 . . . . 5 (𝑤 = 1 → (abs‘(𝐹𝑤)) = (abs‘(𝐹‘1)))
5 oveq1 5876 . . . . . . 7 (𝑤 = 1 → (𝑤 − 1) = (1 − 1))
65oveq2d 5885 . . . . . 6 (𝑤 = 1 → (𝐴↑(𝑤 − 1)) = (𝐴↑(1 − 1)))
76oveq2d 5885 . . . . 5 (𝑤 = 1 → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1))) = ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(1 − 1))))
84, 7breq12d 4013 . . . 4 (𝑤 = 1 → ((abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1))) ↔ (abs‘(𝐹‘1)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(1 − 1)))))
98imbi2d 230 . . 3 (𝑤 = 1 → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘1)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(1 − 1))))))
10 2fveq3 5516 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → (abs‘(𝐹𝑤)) = (abs‘(𝐹𝑘)))
11 oveq1 5876 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑘 → (𝑤 − 1) = (𝑘 − 1))
1211oveq2d 5885 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑘 → (𝐴↑(𝑤 − 1)) = (𝐴↑(𝑘 − 1)))
1312oveq2d 5885 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1))) = ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))))
1410, 13breq12d 4013 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → ((abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1))) ↔ (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1)))))
1514imbi2d 230 . . 3 (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))))))
16 2fveq3 5516 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (abs‘(𝐹𝑤)) = (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
17 oveq1 5876 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝑤 − 1) = ((𝑘 + 1) − 1))
1817oveq2d 5885 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑(𝑤 − 1)) = (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))
1918oveq2d 5885 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1))) = ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))))
2016, 19breq12d 4013 . . . 4 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1))) ↔ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))))
2120imbi2d 230 . . 3 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))))))
22 2fveq3 5516 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → (abs‘(𝐹𝑤)) = (abs‘(𝐹𝑁)))
23 oveq1 5876 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑁 → (𝑤 − 1) = (𝑁 − 1))
2423oveq2d 5885 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑁 → (𝐴↑(𝑤 − 1)) = (𝐴↑(𝑁 − 1)))
2524oveq2d 5885 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1))) = ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑁 − 1))))
2622, 25breq12d 4013 . . . 4 (𝑤 = 𝑁 → ((abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1))) ↔ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑁 − 1)))))
2726imbi2d 230 . . 3 (𝑤 = 𝑁 → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑁 − 1))))))
28 fveq2 5511 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1 → (𝐹𝑘) = (𝐹‘1))
2928eleq1d 2246 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘1) ∈ ℂ))
30 cvgratnn.6 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3130ralrimiva 2550 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
32 1nn 8919 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
3332a1i 9 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
3429, 31, 33rspcdva 2846 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℂ)
3534abscld 11174 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ)
3635leidd 8461 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘1)) ≤ (abs‘(𝐹‘1)))
37 1m1e0 8977 . . . . . . . . . 10 (1 − 1) = 0
3837a1i 9 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 − 1) = 0)
3938oveq2d 5885 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴↑(1 − 1)) = (𝐴↑0))
40 cvgratnn.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4140recnd 7976 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4241exp0d 10633 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)
4339, 42eqtrd 2210 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴↑(1 − 1)) = 1)
4443oveq2d 5885 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(1 − 1))) = ((abs‘(𝐹‘1)) · 1))
4535recnd 7976 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘1)) ∈ ℂ)
4645mulid1d 7965 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘1)) · 1) = (abs‘(𝐹‘1)))
4744, 46eqtrd 2210 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(1 − 1))) = (abs‘(𝐹‘1)))
4836, 47breqtrrd 4028 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘1)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(1 − 1))))
4948a1i 9 . . 3 (1 ∈ ℤ → (𝜑 → (abs‘(𝐹‘1)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(1 − 1)))))
50 elnnuz 9553 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
5130abscld 11174 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
5235adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ)
5340adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
54 nnm1nn0 9206 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
5554adantl 277 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
5653, 55reexpcld 10656 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑘 − 1)) ∈ ℝ)
5752, 56remulcld 7978 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) ∈ ℝ)
58 0red 7949 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
59 cvgratnn.gt0 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 𝐴)
6059adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝐴)
6158, 53, 60ltled 8066 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
62 lemul2a 8805 . . . . . . . . . 10 ((((abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1)))) → (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ (𝐴 · ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1)))))
6362ex 115 . . . . . . . . 9 (((abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → ((abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) → (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ (𝐴 · ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))))))
6451, 57, 53, 61, 63syl112anc 1242 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) → (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ (𝐴 · ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))))))
6541adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6645adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘1)) ∈ ℂ)
6756recnd 7976 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
6865, 66, 67mul12d 8099 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1)))) = ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴 · (𝐴↑(𝑘 − 1)))))
6965, 55expp1d 10640 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑((𝑘 − 1) + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 − 1)) · 𝐴))
70 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
7170nncnd 8922 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
72 1cnd 7964 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
7371, 72, 72addsubd 8279 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) − 1) = ((𝑘 − 1) + 1))
7473oveq2d 5885 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)) = (𝐴↑((𝑘 − 1) + 1)))
7565, 67mulcomd 7969 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · (𝐴↑(𝑘 − 1))) = ((𝐴↑(𝑘 − 1)) · 𝐴))
7669, 74, 753eqtr4rd 2221 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · (𝐴↑(𝑘 − 1))) = (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))
7776oveq2d 5885 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴 · (𝐴↑(𝑘 − 1)))) = ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))))
7868, 77eqtrd 2210 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1)))) = ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))))
7978breq2d 4012 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ (𝐴 · ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1)))) ↔ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))))
8064, 79sylibd 149 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) → (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))))
81 cvgratnn.7 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))))
82 fveq2 5511 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑛) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
8382eleq1d 2246 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑛) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ))
84 fveq2 5511 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
8584eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑛) ∈ ℂ))
8685cbvralv 2703 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
8731, 86sylib 122 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
8887adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
89 peano2nn 8920 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
9089adantl 277 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
9183, 88, 90rspcdva 2846 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
9291abscld 11174 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
9353, 51remulcld 7978 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
94 elnnuz 9553 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ ↔ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ‘1))
9589, 94sylib 122 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ‘1))
9695adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ‘1))
97 uznn0sub 9548 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 + 1) ∈ (ℤ‘1) → ((𝑘 + 1) − 1) ∈ ℕ0)
9896, 97syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) − 1) ∈ ℕ0)
9953, 98reexpcld 10656 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)) ∈ ℝ)
10052, 99remulcld 7978 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))) ∈ ℝ)
101 letr 8030 . . . . . . . . 9 (((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))) ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ∧ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))))
10292, 93, 100, 101syl3anc 1238 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ∧ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))))
10381, 102mpand 429 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))))
10480, 103syld 45 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))))
10550, 104sylan2br 288 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → ((abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))))
106105expcom 116 . . . 4 (𝑘 ∈ (ℤ‘1) → (𝜑 → ((abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))))))
107106a2d 26 . . 3 (𝑘 ∈ (ℤ‘1) → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1)))) → (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))))))
1089, 15, 21, 27, 49, 107uzind4 9577 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑁 − 1)))))
1093, 108mpcom 36 1 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑁 − 1))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455   class class class wbr 4000  cfv 5212  (class class class)co 5869  cc 7800  cr 7801  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   · cmul 7807   < clt 7982  cle 7983  cmin 8118  cn 8908  0cn0 9165  cz 9242  cuz 9517  cexp 10505  abscabs 10990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-rp 9641  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992
This theorem is referenced by:  cvgratnnlemfm  11521
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