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Theorem cvgratnnlemnexp 11421
Description: Lemma for cvgratnn 11428. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgratnn.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
cvgratnn.4 (𝜑𝐴 < 1)
cvgratnn.gt0 (𝜑 → 0 < 𝐴)
cvgratnn.6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
cvgratnn.7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))))
cvgratnnlemnexp.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
cvgratnnlemnexp (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑁 − 1))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem cvgratnnlemnexp
Dummy variables 𝑛 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvgratnnlemnexp.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 nnuz 9474 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
31, 2eleqtrdi 2250 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
4 2fveq3 5473 . . . . 5 (𝑤 = 1 → (abs‘(𝐹𝑤)) = (abs‘(𝐹‘1)))
5 oveq1 5831 . . . . . . 7 (𝑤 = 1 → (𝑤 − 1) = (1 − 1))
65oveq2d 5840 . . . . . 6 (𝑤 = 1 → (𝐴↑(𝑤 − 1)) = (𝐴↑(1 − 1)))
76oveq2d 5840 . . . . 5 (𝑤 = 1 → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1))) = ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(1 − 1))))
84, 7breq12d 3978 . . . 4 (𝑤 = 1 → ((abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1))) ↔ (abs‘(𝐹‘1)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(1 − 1)))))
98imbi2d 229 . . 3 (𝑤 = 1 → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘1)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(1 − 1))))))
10 2fveq3 5473 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → (abs‘(𝐹𝑤)) = (abs‘(𝐹𝑘)))
11 oveq1 5831 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑘 → (𝑤 − 1) = (𝑘 − 1))
1211oveq2d 5840 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑘 → (𝐴↑(𝑤 − 1)) = (𝐴↑(𝑘 − 1)))
1312oveq2d 5840 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1))) = ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))))
1410, 13breq12d 3978 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → ((abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1))) ↔ (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1)))))
1514imbi2d 229 . . 3 (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))))))
16 2fveq3 5473 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (abs‘(𝐹𝑤)) = (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
17 oveq1 5831 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝑤 − 1) = ((𝑘 + 1) − 1))
1817oveq2d 5840 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑(𝑤 − 1)) = (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))
1918oveq2d 5840 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1))) = ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))))
2016, 19breq12d 3978 . . . 4 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1))) ↔ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))))
2120imbi2d 229 . . 3 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))))))
22 2fveq3 5473 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → (abs‘(𝐹𝑤)) = (abs‘(𝐹𝑁)))
23 oveq1 5831 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑁 → (𝑤 − 1) = (𝑁 − 1))
2423oveq2d 5840 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑁 → (𝐴↑(𝑤 − 1)) = (𝐴↑(𝑁 − 1)))
2524oveq2d 5840 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1))) = ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑁 − 1))))
2622, 25breq12d 3978 . . . 4 (𝑤 = 𝑁 → ((abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1))) ↔ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑁 − 1)))))
2726imbi2d 229 . . 3 (𝑤 = 𝑁 → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑁 − 1))))))
28 fveq2 5468 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1 → (𝐹𝑘) = (𝐹‘1))
2928eleq1d 2226 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘1) ∈ ℂ))
30 cvgratnn.6 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3130ralrimiva 2530 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
32 1nn 8844 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
3332a1i 9 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
3429, 31, 33rspcdva 2821 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℂ)
3534abscld 11081 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ)
3635leidd 8389 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘1)) ≤ (abs‘(𝐹‘1)))
37 1m1e0 8902 . . . . . . . . . 10 (1 − 1) = 0
3837a1i 9 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 − 1) = 0)
3938oveq2d 5840 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴↑(1 − 1)) = (𝐴↑0))
40 cvgratnn.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4140recnd 7906 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4241exp0d 10545 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)
4339, 42eqtrd 2190 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴↑(1 − 1)) = 1)
4443oveq2d 5840 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(1 − 1))) = ((abs‘(𝐹‘1)) · 1))
4535recnd 7906 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘1)) ∈ ℂ)
4645mulid1d 7895 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘1)) · 1) = (abs‘(𝐹‘1)))
4744, 46eqtrd 2190 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(1 − 1))) = (abs‘(𝐹‘1)))
4836, 47breqtrrd 3992 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘1)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(1 − 1))))
4948a1i 9 . . 3 (1 ∈ ℤ → (𝜑 → (abs‘(𝐹‘1)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(1 − 1)))))
50 elnnuz 9475 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
5130abscld 11081 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
5235adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ)
5340adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
54 nnm1nn0 9131 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
5554adantl 275 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
5653, 55reexpcld 10568 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑘 − 1)) ∈ ℝ)
5752, 56remulcld 7908 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) ∈ ℝ)
58 0red 7879 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
59 cvgratnn.gt0 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 𝐴)
6059adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝐴)
6158, 53, 60ltled 7994 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
62 lemul2a 8730 . . . . . . . . . 10 ((((abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1)))) → (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ (𝐴 · ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1)))))
6362ex 114 . . . . . . . . 9 (((abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → ((abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) → (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ (𝐴 · ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))))))
6451, 57, 53, 61, 63syl112anc 1224 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) → (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ (𝐴 · ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))))))
6541adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6645adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘1)) ∈ ℂ)
6756recnd 7906 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
6865, 66, 67mul12d 8027 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1)))) = ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴 · (𝐴↑(𝑘 − 1)))))
6965, 55expp1d 10552 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑((𝑘 − 1) + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 − 1)) · 𝐴))
70 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
7170nncnd 8847 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
72 1cnd 7894 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
7371, 72, 72addsubd 8207 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) − 1) = ((𝑘 − 1) + 1))
7473oveq2d 5840 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)) = (𝐴↑((𝑘 − 1) + 1)))
7565, 67mulcomd 7899 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · (𝐴↑(𝑘 − 1))) = ((𝐴↑(𝑘 − 1)) · 𝐴))
7669, 74, 753eqtr4rd 2201 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · (𝐴↑(𝑘 − 1))) = (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))
7776oveq2d 5840 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴 · (𝐴↑(𝑘 − 1)))) = ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))))
7868, 77eqtrd 2190 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1)))) = ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))))
7978breq2d 3977 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ (𝐴 · ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1)))) ↔ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))))
8064, 79sylibd 148 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) → (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))))
81 cvgratnn.7 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))))
82 fveq2 5468 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑛) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
8382eleq1d 2226 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑛) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ))
84 fveq2 5468 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
8584eleq1d 2226 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑛) ∈ ℂ))
8685cbvralv 2680 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
8731, 86sylib 121 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
8887adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
89 peano2nn 8845 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
9089adantl 275 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
9183, 88, 90rspcdva 2821 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
9291abscld 11081 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
9353, 51remulcld 7908 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
94 elnnuz 9475 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ ↔ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ‘1))
9589, 94sylib 121 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ‘1))
9695adantl 275 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ‘1))
97 uznn0sub 9470 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 + 1) ∈ (ℤ‘1) → ((𝑘 + 1) − 1) ∈ ℕ0)
9896, 97syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) − 1) ∈ ℕ0)
9953, 98reexpcld 10568 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)) ∈ ℝ)
10052, 99remulcld 7908 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))) ∈ ℝ)
101 letr 7960 . . . . . . . . 9 (((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))) ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ∧ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))))
10292, 93, 100, 101syl3anc 1220 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ∧ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))))
10381, 102mpand 426 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))))
10480, 103syld 45 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))))
10550, 104sylan2br 286 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → ((abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))))
106105expcom 115 . . . 4 (𝑘 ∈ (ℤ‘1) → (𝜑 → ((abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))))))
107106a2d 26 . . 3 (𝑘 ∈ (ℤ‘1) → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1)))) → (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))))))
1089, 15, 21, 27, 49, 107uzind4 9499 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑁 − 1)))))
1093, 108mpcom 36 1 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑁 − 1))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 963   = wceq 1335  wcel 2128  wral 2435   class class class wbr 3965  cfv 5170  (class class class)co 5824  cc 7730  cr 7731  0cc0 7732  1c1 7733   + caddc 7735   · cmul 7737   < clt 7912  cle 7913  cmin 8046  cn 8833  0cn0 9090  cz 9167  cuz 9439  cexp 10418  abscabs 10897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850  ax-arch 7851  ax-caucvg 7852
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-frec 6338  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-2 8892  df-3 8893  df-4 8894  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-rp 9561  df-seqfrec 10345  df-exp 10419  df-cj 10742  df-re 10743  df-im 10744  df-rsqrt 10898  df-abs 10899
This theorem is referenced by:  cvgratnnlemfm  11426
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