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Theorem cvgratnnlemnexp 11082
Description: Lemma for cvgratnn 11089. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgratnn.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
cvgratnn.4 (𝜑𝐴 < 1)
cvgratnn.gt0 (𝜑 → 0 < 𝐴)
cvgratnn.6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
cvgratnn.7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))))
cvgratnnlemnexp.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
cvgratnnlemnexp (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑁 − 1))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem cvgratnnlemnexp
Dummy variables 𝑛 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvgratnnlemnexp.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 nnuz 9153 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
31, 2syl6eleq 2187 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
4 2fveq3 5345 . . . . 5 (𝑤 = 1 → (abs‘(𝐹𝑤)) = (abs‘(𝐹‘1)))
5 oveq1 5697 . . . . . . 7 (𝑤 = 1 → (𝑤 − 1) = (1 − 1))
65oveq2d 5706 . . . . . 6 (𝑤 = 1 → (𝐴↑(𝑤 − 1)) = (𝐴↑(1 − 1)))
76oveq2d 5706 . . . . 5 (𝑤 = 1 → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1))) = ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(1 − 1))))
84, 7breq12d 3880 . . . 4 (𝑤 = 1 → ((abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1))) ↔ (abs‘(𝐹‘1)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(1 − 1)))))
98imbi2d 229 . . 3 (𝑤 = 1 → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘1)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(1 − 1))))))
10 2fveq3 5345 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → (abs‘(𝐹𝑤)) = (abs‘(𝐹𝑘)))
11 oveq1 5697 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑘 → (𝑤 − 1) = (𝑘 − 1))
1211oveq2d 5706 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑘 → (𝐴↑(𝑤 − 1)) = (𝐴↑(𝑘 − 1)))
1312oveq2d 5706 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1))) = ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))))
1410, 13breq12d 3880 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → ((abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1))) ↔ (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1)))))
1514imbi2d 229 . . 3 (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))))))
16 2fveq3 5345 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (abs‘(𝐹𝑤)) = (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
17 oveq1 5697 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝑤 − 1) = ((𝑘 + 1) − 1))
1817oveq2d 5706 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑(𝑤 − 1)) = (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))
1918oveq2d 5706 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1))) = ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))))
2016, 19breq12d 3880 . . . 4 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1))) ↔ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))))
2120imbi2d 229 . . 3 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))))))
22 2fveq3 5345 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → (abs‘(𝐹𝑤)) = (abs‘(𝐹𝑁)))
23 oveq1 5697 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑁 → (𝑤 − 1) = (𝑁 − 1))
2423oveq2d 5706 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑁 → (𝐴↑(𝑤 − 1)) = (𝐴↑(𝑁 − 1)))
2524oveq2d 5706 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1))) = ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑁 − 1))))
2622, 25breq12d 3880 . . . 4 (𝑤 = 𝑁 → ((abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1))) ↔ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑁 − 1)))))
2726imbi2d 229 . . 3 (𝑤 = 𝑁 → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑁 − 1))))))
28 fveq2 5340 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1 → (𝐹𝑘) = (𝐹‘1))
2928eleq1d 2163 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘1) ∈ ℂ))
30 cvgratnn.6 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3130ralrimiva 2458 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
32 1nn 8531 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
3332a1i 9 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
3429, 31, 33rspcdva 2741 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℂ)
3534abscld 10745 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ)
3635leidd 8089 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘1)) ≤ (abs‘(𝐹‘1)))
37 1m1e0 8589 . . . . . . . . . 10 (1 − 1) = 0
3837a1i 9 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 − 1) = 0)
3938oveq2d 5706 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴↑(1 − 1)) = (𝐴↑0))
40 cvgratnn.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4140recnd 7613 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4241exp0d 10211 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)
4339, 42eqtrd 2127 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴↑(1 − 1)) = 1)
4443oveq2d 5706 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(1 − 1))) = ((abs‘(𝐹‘1)) · 1))
4535recnd 7613 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘1)) ∈ ℂ)
4645mulid1d 7602 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘1)) · 1) = (abs‘(𝐹‘1)))
4744, 46eqtrd 2127 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(1 − 1))) = (abs‘(𝐹‘1)))
4836, 47breqtrrd 3893 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘1)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(1 − 1))))
4948a1i 9 . . 3 (1 ∈ ℤ → (𝜑 → (abs‘(𝐹‘1)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(1 − 1)))))
50 elnnuz 9154 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
5130abscld 10745 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
5235adantr 271 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ)
5340adantr 271 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
54 nnm1nn0 8812 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
5554adantl 272 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
5653, 55reexpcld 10234 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑘 − 1)) ∈ ℝ)
5752, 56remulcld 7615 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) ∈ ℝ)
58 0red 7586 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
59 cvgratnn.gt0 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 𝐴)
6059adantr 271 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝐴)
6158, 53, 60ltled 7699 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
62 lemul2a 8417 . . . . . . . . . 10 ((((abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1)))) → (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ (𝐴 · ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1)))))
6362ex 114 . . . . . . . . 9 (((abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → ((abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) → (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ (𝐴 · ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))))))
6451, 57, 53, 61, 63syl112anc 1185 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) → (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ (𝐴 · ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))))))
6541adantr 271 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6645adantr 271 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘1)) ∈ ℂ)
6756recnd 7613 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
6865, 66, 67mul12d 7731 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1)))) = ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴 · (𝐴↑(𝑘 − 1)))))
6965, 55expp1d 10218 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑((𝑘 − 1) + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 − 1)) · 𝐴))
70 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
7170nncnd 8534 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
72 1cnd 7601 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
7371, 72, 72addsubd 7911 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) − 1) = ((𝑘 − 1) + 1))
7473oveq2d 5706 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)) = (𝐴↑((𝑘 − 1) + 1)))
7565, 67mulcomd 7606 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · (𝐴↑(𝑘 − 1))) = ((𝐴↑(𝑘 − 1)) · 𝐴))
7669, 74, 753eqtr4rd 2138 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · (𝐴↑(𝑘 − 1))) = (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))
7776oveq2d 5706 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴 · (𝐴↑(𝑘 − 1)))) = ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))))
7868, 77eqtrd 2127 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1)))) = ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))))
7978breq2d 3879 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ (𝐴 · ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1)))) ↔ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))))
8064, 79sylibd 148 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) → (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))))
81 cvgratnn.7 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))))
82 fveq2 5340 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑛) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
8382eleq1d 2163 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑛) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ))
84 fveq2 5340 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
8584eleq1d 2163 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑛) ∈ ℂ))
8685cbvralv 2604 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
8731, 86sylib 121 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
8887adantr 271 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
89 peano2nn 8532 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
9089adantl 272 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
9183, 88, 90rspcdva 2741 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
9291abscld 10745 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
9353, 51remulcld 7615 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
94 elnnuz 9154 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ ↔ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ‘1))
9589, 94sylib 121 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ‘1))
9695adantl 272 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ‘1))
97 uznn0sub 9149 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 + 1) ∈ (ℤ‘1) → ((𝑘 + 1) − 1) ∈ ℕ0)
9896, 97syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) − 1) ∈ ℕ0)
9953, 98reexpcld 10234 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)) ∈ ℝ)
10052, 99remulcld 7615 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))) ∈ ℝ)
101 letr 7665 . . . . . . . . 9 (((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))) ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ∧ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))))
10292, 93, 100, 101syl3anc 1181 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ∧ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))))
10381, 102mpand 421 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))))
10480, 103syld 45 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))))
10550, 104sylan2br 283 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → ((abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1)))))
106105expcom 115 . . . 4 (𝑘 ∈ (ℤ‘1) → (𝜑 → ((abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))))))
107106a2d 26 . . 3 (𝑘 ∈ (ℤ‘1) → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑘 − 1)))) → (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 1))))))
1089, 15, 21, 27, 49, 107uzind4 9175 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑁 − 1)))))
1093, 108mpcom 36 1 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑁 − 1))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 927   = wceq 1296  wcel 1445  wral 2370   class class class wbr 3867  cfv 5049  (class class class)co 5690  cc 7445  cr 7446  0cc0 7447  1c1 7448   + caddc 7450   · cmul 7452   < clt 7619  cle 7620  cmin 7750  cn 8520  0cn0 8771  cz 8848  cuz 9118  cexp 10085  abscabs 10561
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560  ax-arch 7561  ax-caucvg 7562
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-if 3414  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-iord 4217  df-on 4219  df-ilim 4220  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-frec 6194  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-2 8579  df-3 8580  df-4 8581  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-rp 9234  df-iseq 10002  df-seq3 10003  df-exp 10086  df-cj 10407  df-re 10408  df-im 10409  df-rsqrt 10562  df-abs 10563
This theorem is referenced by:  cvgratnnlemfm  11087
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