Theorem divrecap 8983

Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
divrecap	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Proof of Theorem divrecap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1025	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		simp1 1024	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		recclap 8974	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (1 / 𝐵) ∈ ℂ)
4	3	3adant1 1042	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (1 / 𝐵) ∈ ℂ)
5	1, 2, 4	mul12d 8443	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐵 · (𝐴 · (1 / 𝐵))) = (𝐴 · (𝐵 · (1 / 𝐵))))
6		recidap 8981	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐵 · (1 / 𝐵)) = 1)
7	6	3adant1 1042	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐵 · (1 / 𝐵)) = 1)
8	7	oveq2d 6075	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 · (𝐵 · (1 / 𝐵))) = (𝐴 · 1))
9	2	mulridd 8308	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
10	5, 8, 9	3eqtrd 2271	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐵 · (𝐴 · (1 / 𝐵))) = 𝐴)
11	2, 4	mulcld 8311	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 · (1 / 𝐵)) ∈ ℂ)
12		3simpc 1023	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0))
13		divmulap 8970	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · (1 / 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) → ((𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)) ↔ (𝐵 · (𝐴 · (1 / 𝐵))) = 𝐴))
14	2, 11, 12, 13	syl3anc 1274	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → ((𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)) ↔ (𝐵 · (𝐴 · (1 / 𝐵))) = 𝐴))
15	10, 14	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4115  (class class class)co 6059  ℂcc 8142  0cc0 8144  1c1 8145   · cmul 8149   # cap 8874   / cdiv 8967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-1re 8238  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-mulrcl 8243  ax-addcom 8244  ax-mulcom 8245  ax-addass 8246  ax-mulass 8247  ax-distr 8248  ax-i2m1 8249  ax-0lt1 8250  ax-1rid 8251  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-precex 8254  ax-cnre 8255  ax-pre-ltirr 8256  ax-pre-ltwlin 8257  ax-pre-lttrn 8258  ax-pre-apti 8259  ax-pre-ltadd 8260  ax-pre-mulgt0 8261  ax-pre-mulext 8262

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-br 4116  df-opab 4178  df-id 4420  df-po 4423  df-iso 4424  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fv 5366  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-pnf 8327  df-mnf 8328  df-xr 8329  df-ltxr 8330  df-le 8331  df-sub 8464  df-neg 8465  df-reap 8868  df-ap 8875  df-div 8968

This theorem is referenced by:  divrecap2  8984  divassap  8985  divdirap  8992  dividap  8996  divnegap  9001  rec11ap  9005  divdiv32ap  9015  redivclap  9026  divrecapzi  9045  divrecapi  9052  divrecapd  9088  expdivap  10980  efival  12448  ef01bndlem  12472  cos01bnd  12474  divcnap  15561