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Theorem cvgratnnlemmn 11488
Description: Lemma for cvgratnn 11494. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgratnn.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
cvgratnn.4 (𝜑𝐴 < 1)
cvgratnn.gt0 (𝜑 → 0 < 𝐴)
cvgratnn.6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
cvgratnn.7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))))
cvgratnn.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
cvgratnn.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
Assertion
Ref Expression
cvgratnnlemmn (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑁𝑀))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀

Proof of Theorem cvgratnnlemmn
Dummy variables 𝑛 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvgratnn.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 2fveq3 5501 . . . . 5 (𝑤 = 𝑀 → (abs‘(𝐹𝑤)) = (abs‘(𝐹𝑀)))
3 oveq1 5860 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑀 → (𝑤𝑀) = (𝑀𝑀))
43oveq2d 5869 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑀 → (𝐴↑(𝑤𝑀)) = (𝐴↑(𝑀𝑀)))
54oveq2d 5869 . . . . 5 (𝑤 = 𝑀 → ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑤𝑀))) = ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑀𝑀))))
62, 5breq12d 4002 . . . 4 (𝑤 = 𝑀 → ((abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑤𝑀))) ↔ (abs‘(𝐹𝑀)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑀𝑀)))))
76imbi2d 229 . . 3 (𝑤 = 𝑀 → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑤𝑀)))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑀)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑀𝑀))))))
8 2fveq3 5501 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → (abs‘(𝐹𝑤)) = (abs‘(𝐹𝑘)))
9 oveq1 5860 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑘 → (𝑤𝑀) = (𝑘𝑀))
109oveq2d 5869 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑘 → (𝐴↑(𝑤𝑀)) = (𝐴↑(𝑘𝑀)))
1110oveq2d 5869 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑤𝑀))) = ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀))))
128, 11breq12d 4002 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → ((abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑤𝑀))) ↔ (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀)))))
1312imbi2d 229 . . 3 (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑤𝑀)))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀))))))
14 2fveq3 5501 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (abs‘(𝐹𝑤)) = (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
15 oveq1 5860 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝑤𝑀) = ((𝑘 + 1) − 𝑀))
1615oveq2d 5869 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑(𝑤𝑀)) = (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀)))
1716oveq2d 5869 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑤𝑀))) = ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀))))
1814, 17breq12d 4002 . . . 4 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑤𝑀))) ↔ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀)))))
1918imbi2d 229 . . 3 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑤𝑀)))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀))))))
20 2fveq3 5501 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → (abs‘(𝐹𝑤)) = (abs‘(𝐹𝑁)))
21 oveq1 5860 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑁 → (𝑤𝑀) = (𝑁𝑀))
2221oveq2d 5869 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑁 → (𝐴↑(𝑤𝑀)) = (𝐴↑(𝑁𝑀)))
2322oveq2d 5869 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑤𝑀))) = ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑁𝑀))))
2420, 23breq12d 4002 . . . 4 (𝑤 = 𝑁 → ((abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑤𝑀))) ↔ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑁𝑀)))))
2524imbi2d 229 . . 3 (𝑤 = 𝑁 → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑤𝑀)))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑁𝑀))))))
26 fveq2 5496 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑀 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑀))
2726eleq1d 2239 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑀) ∈ ℂ))
28 cvgratnn.6 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2928ralrimiva 2543 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
30 cvgratnn.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3127, 29, 30rspcdva 2839 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℂ)
3231abscld 11145 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑀)) ∈ ℝ)
3332leidd 8433 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑀)) ≤ (abs‘(𝐹𝑀)))
3430nncnd 8892 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
3534subidd 8218 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀𝑀) = 0)
3635oveq2d 5869 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴↑(𝑀𝑀)) = (𝐴↑0))
37 cvgratnn.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3837recnd 7948 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3938exp0d 10603 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)
4036, 39eqtrd 2203 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴↑(𝑀𝑀)) = 1)
4140oveq2d 5869 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑀𝑀))) = ((abs‘(𝐹𝑀)) · 1))
4232recnd 7948 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑀)) ∈ ℂ)
4342mulid1d 7937 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(𝐹𝑀)) · 1) = (abs‘(𝐹𝑀)))
4441, 43eqtrd 2203 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑀𝑀))) = (abs‘(𝐹𝑀)))
4533, 44breqtrrd 4017 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑀)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑀𝑀))))
4645a1i 9 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑀)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑀𝑀)))))
47 eluznn 9559 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
4830, 47sylan 281 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
4948, 28syldan 280 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
5049abscld 11145 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
5132adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹𝑀)) ∈ ℝ)
5237adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ)
53 uznn0sub 9518 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘𝑀) ∈ ℕ0)
5453adantl 275 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘𝑀) ∈ ℕ0)
5552, 54reexpcld 10626 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴↑(𝑘𝑀)) ∈ ℝ)
5651, 55remulcld 7950 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀))) ∈ ℝ)
57 0red 7921 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 ∈ ℝ)
58 cvgratnn.gt0 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 𝐴)
5958adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 < 𝐴)
6057, 52, 59ltled 8038 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 ≤ 𝐴)
61 lemul2a 8775 . . . . . . . . 9 ((((abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀))) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀)))) → (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ (𝐴 · ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀)))))
6261ex 114 . . . . . . . 8 (((abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀))) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → ((abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀))) → (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ (𝐴 · ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀))))))
6350, 56, 52, 60, 62syl112anc 1237 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀))) → (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ (𝐴 · ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀))))))
6438adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6542adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹𝑀)) ∈ ℂ)
6655recnd 7948 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴↑(𝑘𝑀)) ∈ ℂ)
6764, 65, 66mul12d 8071 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴 · ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀)))) = ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴 · (𝐴↑(𝑘𝑀)))))
6864, 54expp1d 10610 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴↑((𝑘𝑀) + 1)) = ((𝐴↑(𝑘𝑀)) · 𝐴))
6948nncnd 8892 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℂ)
70 1cnd 7936 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 1 ∈ ℂ)
71 eluzel2 9492 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
7271adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
7372zcnd 9335 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℂ)
7469, 70, 73addsubd 8251 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 + 1) − 𝑀) = ((𝑘𝑀) + 1))
7574oveq2d 5869 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀)) = (𝐴↑((𝑘𝑀) + 1)))
7664, 66mulcomd 7941 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴 · (𝐴↑(𝑘𝑀))) = ((𝐴↑(𝑘𝑀)) · 𝐴))
7768, 75, 763eqtr4rd 2214 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴 · (𝐴↑(𝑘𝑀))) = (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀)))
7877oveq2d 5869 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴 · (𝐴↑(𝑘𝑀)))) = ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀))))
7967, 78eqtrd 2203 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴 · ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀)))) = ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀))))
8079breq2d 4001 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ (𝐴 · ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀)))) ↔ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀)))))
8163, 80sylibd 148 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀))) → (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀)))))
82 cvgratnn.7 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))))
8348, 82syldan 280 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))))
84 fveq2 5496 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑛) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
8584eleq1d 2239 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑛) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ))
86 fveq2 5496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
8786eleq1d 2239 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑛) ∈ ℂ))
8887cbvralv 2696 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
8929, 88sylib 121 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
9089adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
9148peano2nnd 8893 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
9285, 90, 91rspcdva 2839 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
9392abscld 11145 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
9452, 50remulcld 7950 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
95 peano2uz 9542 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
9695adantl 275 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
97 uznn0sub 9518 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑘 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
9896, 97syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
9952, 98reexpcld 10626 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀)) ∈ ℝ)
10051, 99remulcld 7950 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀))) ∈ ℝ)
101 letr 8002 . . . . . . . 8 (((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀))) ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ∧ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀)))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀)))))
10293, 94, 100, 101syl3anc 1233 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ∧ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀)))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀)))))
10383, 102mpand 427 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀)))))
10481, 103syld 45 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀)))))
105104expcom 115 . . . 4 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝜑 → ((abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀))))))
106105a2d 26 . . 3 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀)))) → (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀))))))
1077, 13, 19, 25, 46, 106uzind4 9547 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑁𝑀)))))
1081, 107mpcom 36 1 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑁𝑀))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 973   = wceq 1348  wcel 2141  wral 2448   class class class wbr 3989  cfv 5198  (class class class)co 5853  cc 7772  cr 7773  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777   · cmul 7779   < clt 7954  cle 7955  cmin 8090  cn 8878  0cn0 9135  cz 9212  cuz 9487  cexp 10475  abscabs 10961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-rp 9611  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963
This theorem is referenced by:  cvgratnnlemabsle  11490
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