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Theorem cvgratnnlemmn 11083
Description: Lemma for cvgratnn 11089. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgratnn.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
cvgratnn.4 (𝜑𝐴 < 1)
cvgratnn.gt0 (𝜑 → 0 < 𝐴)
cvgratnn.6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
cvgratnn.7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))))
cvgratnn.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
cvgratnn.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
Assertion
Ref Expression
cvgratnnlemmn (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑁𝑀))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀

Proof of Theorem cvgratnnlemmn
Dummy variables 𝑛 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvgratnn.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 2fveq3 5345 . . . . 5 (𝑤 = 𝑀 → (abs‘(𝐹𝑤)) = (abs‘(𝐹𝑀)))
3 oveq1 5697 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑀 → (𝑤𝑀) = (𝑀𝑀))
43oveq2d 5706 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑀 → (𝐴↑(𝑤𝑀)) = (𝐴↑(𝑀𝑀)))
54oveq2d 5706 . . . . 5 (𝑤 = 𝑀 → ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑤𝑀))) = ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑀𝑀))))
62, 5breq12d 3880 . . . 4 (𝑤 = 𝑀 → ((abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑤𝑀))) ↔ (abs‘(𝐹𝑀)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑀𝑀)))))
76imbi2d 229 . . 3 (𝑤 = 𝑀 → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑤𝑀)))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑀)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑀𝑀))))))
8 2fveq3 5345 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → (abs‘(𝐹𝑤)) = (abs‘(𝐹𝑘)))
9 oveq1 5697 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑘 → (𝑤𝑀) = (𝑘𝑀))
109oveq2d 5706 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑘 → (𝐴↑(𝑤𝑀)) = (𝐴↑(𝑘𝑀)))
1110oveq2d 5706 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑤𝑀))) = ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀))))
128, 11breq12d 3880 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → ((abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑤𝑀))) ↔ (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀)))))
1312imbi2d 229 . . 3 (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑤𝑀)))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀))))))
14 2fveq3 5345 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (abs‘(𝐹𝑤)) = (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
15 oveq1 5697 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝑤𝑀) = ((𝑘 + 1) − 𝑀))
1615oveq2d 5706 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑(𝑤𝑀)) = (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀)))
1716oveq2d 5706 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑤𝑀))) = ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀))))
1814, 17breq12d 3880 . . . 4 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑤𝑀))) ↔ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀)))))
1918imbi2d 229 . . 3 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑤𝑀)))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀))))))
20 2fveq3 5345 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → (abs‘(𝐹𝑤)) = (abs‘(𝐹𝑁)))
21 oveq1 5697 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑁 → (𝑤𝑀) = (𝑁𝑀))
2221oveq2d 5706 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑁 → (𝐴↑(𝑤𝑀)) = (𝐴↑(𝑁𝑀)))
2322oveq2d 5706 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑤𝑀))) = ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑁𝑀))))
2420, 23breq12d 3880 . . . 4 (𝑤 = 𝑁 → ((abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑤𝑀))) ↔ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑁𝑀)))))
2524imbi2d 229 . . 3 (𝑤 = 𝑁 → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑤𝑀)))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑁𝑀))))))
26 fveq2 5340 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑀 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑀))
2726eleq1d 2163 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑀) ∈ ℂ))
28 cvgratnn.6 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2928ralrimiva 2458 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
30 cvgratnn.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3127, 29, 30rspcdva 2741 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℂ)
3231abscld 10745 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑀)) ∈ ℝ)
3332leidd 8089 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑀)) ≤ (abs‘(𝐹𝑀)))
3430nncnd 8534 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
3534subidd 7878 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀𝑀) = 0)
3635oveq2d 5706 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴↑(𝑀𝑀)) = (𝐴↑0))
37 cvgratnn.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3837recnd 7613 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3938exp0d 10211 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)
4036, 39eqtrd 2127 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴↑(𝑀𝑀)) = 1)
4140oveq2d 5706 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑀𝑀))) = ((abs‘(𝐹𝑀)) · 1))
4232recnd 7613 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑀)) ∈ ℂ)
4342mulid1d 7602 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(𝐹𝑀)) · 1) = (abs‘(𝐹𝑀)))
4441, 43eqtrd 2127 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑀𝑀))) = (abs‘(𝐹𝑀)))
4533, 44breqtrrd 3893 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑀)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑀𝑀))))
4645a1i 9 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑀)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑀𝑀)))))
47 eluznn 9186 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
4830, 47sylan 278 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
4948, 28syldan 277 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
5049abscld 10745 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
5132adantr 271 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹𝑀)) ∈ ℝ)
5237adantr 271 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ)
53 uznn0sub 9149 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘𝑀) ∈ ℕ0)
5453adantl 272 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘𝑀) ∈ ℕ0)
5552, 54reexpcld 10234 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴↑(𝑘𝑀)) ∈ ℝ)
5651, 55remulcld 7615 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀))) ∈ ℝ)
57 0red 7586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 ∈ ℝ)
58 cvgratnn.gt0 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 𝐴)
5958adantr 271 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 < 𝐴)
6057, 52, 59ltled 7699 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 ≤ 𝐴)
61 lemul2a 8417 . . . . . . . . 9 ((((abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀))) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀)))) → (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ (𝐴 · ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀)))))
6261ex 114 . . . . . . . 8 (((abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀))) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → ((abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀))) → (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ (𝐴 · ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀))))))
6350, 56, 52, 60, 62syl112anc 1185 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀))) → (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ (𝐴 · ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀))))))
6438adantr 271 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6542adantr 271 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹𝑀)) ∈ ℂ)
6655recnd 7613 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴↑(𝑘𝑀)) ∈ ℂ)
6764, 65, 66mul12d 7731 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴 · ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀)))) = ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴 · (𝐴↑(𝑘𝑀)))))
6864, 54expp1d 10218 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴↑((𝑘𝑀) + 1)) = ((𝐴↑(𝑘𝑀)) · 𝐴))
6948nncnd 8534 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℂ)
70 1cnd 7601 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 1 ∈ ℂ)
71 eluzel2 9123 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
7271adantl 272 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
7372zcnd 8968 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℂ)
7469, 70, 73addsubd 7911 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 + 1) − 𝑀) = ((𝑘𝑀) + 1))
7574oveq2d 5706 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀)) = (𝐴↑((𝑘𝑀) + 1)))
7664, 66mulcomd 7606 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴 · (𝐴↑(𝑘𝑀))) = ((𝐴↑(𝑘𝑀)) · 𝐴))
7768, 75, 763eqtr4rd 2138 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴 · (𝐴↑(𝑘𝑀))) = (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀)))
7877oveq2d 5706 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴 · (𝐴↑(𝑘𝑀)))) = ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀))))
7967, 78eqtrd 2127 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴 · ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀)))) = ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀))))
8079breq2d 3879 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ (𝐴 · ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀)))) ↔ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀)))))
8163, 80sylibd 148 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀))) → (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀)))))
82 cvgratnn.7 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))))
8348, 82syldan 277 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))))
84 fveq2 5340 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑛) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
8584eleq1d 2163 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑛) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ))
86 fveq2 5340 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
8786eleq1d 2163 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑛) ∈ ℂ))
8887cbvralv 2604 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
8929, 88sylib 121 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
9089adantr 271 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
9148peano2nnd 8535 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
9285, 90, 91rspcdva 2741 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
9392abscld 10745 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
9452, 50remulcld 7615 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
95 peano2uz 9170 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
9695adantl 272 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
97 uznn0sub 9149 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑘 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
9896, 97syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
9952, 98reexpcld 10234 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀)) ∈ ℝ)
10051, 99remulcld 7615 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀))) ∈ ℝ)
101 letr 7665 . . . . . . . 8 (((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀))) ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ∧ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀)))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀)))))
10293, 94, 100, 101syl3anc 1181 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ∧ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀)))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀)))))
10383, 102mpand 421 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀)))))
10481, 103syld 45 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀)))))
105104expcom 115 . . . 4 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝜑 → ((abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀))))))
106105a2d 26 . . 3 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀)))) → (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀))))))
1077, 13, 19, 25, 46, 106uzind4 9175 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑁𝑀)))))
1081, 107mpcom 36 1 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑁𝑀))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 927   = wceq 1296  wcel 1445  wral 2370   class class class wbr 3867  cfv 5049  (class class class)co 5690  cc 7445  cr 7446  0cc0 7447  1c1 7448   + caddc 7450   · cmul 7452   < clt 7619  cle 7620  cmin 7750  cn 8520  0cn0 8771  cz 8848  cuz 9118  cexp 10085  abscabs 10561
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560  ax-arch 7561  ax-caucvg 7562
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-if 3414  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-iord 4217  df-on 4219  df-ilim 4220  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-frec 6194  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-2 8579  df-3 8580  df-4 8581  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-rp 9234  df-iseq 10002  df-seq3 10003  df-exp 10086  df-cj 10407  df-re 10408  df-im 10409  df-rsqrt 10562  df-abs 10563
This theorem is referenced by:  cvgratnnlemabsle  11085
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