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Theorem cvgratnnlemmn 11301
 Description: Lemma for cvgratnn 11307. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgratnn.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
cvgratnn.4 (𝜑𝐴 < 1)
cvgratnn.gt0 (𝜑 → 0 < 𝐴)
cvgratnn.6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
cvgratnn.7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))))
cvgratnn.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
cvgratnn.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
Assertion
Ref Expression
cvgratnnlemmn (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑁𝑀))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀

Proof of Theorem cvgratnnlemmn
Dummy variables 𝑛 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvgratnn.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 2fveq3 5426 . . . . 5 (𝑤 = 𝑀 → (abs‘(𝐹𝑤)) = (abs‘(𝐹𝑀)))
3 oveq1 5781 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑀 → (𝑤𝑀) = (𝑀𝑀))
43oveq2d 5790 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑀 → (𝐴↑(𝑤𝑀)) = (𝐴↑(𝑀𝑀)))
54oveq2d 5790 . . . . 5 (𝑤 = 𝑀 → ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑤𝑀))) = ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑀𝑀))))
62, 5breq12d 3942 . . . 4 (𝑤 = 𝑀 → ((abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑤𝑀))) ↔ (abs‘(𝐹𝑀)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑀𝑀)))))
76imbi2d 229 . . 3 (𝑤 = 𝑀 → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑤𝑀)))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑀)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑀𝑀))))))
8 2fveq3 5426 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → (abs‘(𝐹𝑤)) = (abs‘(𝐹𝑘)))
9 oveq1 5781 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑘 → (𝑤𝑀) = (𝑘𝑀))
109oveq2d 5790 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑘 → (𝐴↑(𝑤𝑀)) = (𝐴↑(𝑘𝑀)))
1110oveq2d 5790 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑤𝑀))) = ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀))))
128, 11breq12d 3942 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → ((abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑤𝑀))) ↔ (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀)))))
1312imbi2d 229 . . 3 (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑤𝑀)))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀))))))
14 2fveq3 5426 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (abs‘(𝐹𝑤)) = (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
15 oveq1 5781 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝑤𝑀) = ((𝑘 + 1) − 𝑀))
1615oveq2d 5790 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑(𝑤𝑀)) = (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀)))
1716oveq2d 5790 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑤𝑀))) = ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀))))
1814, 17breq12d 3942 . . . 4 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑤𝑀))) ↔ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀)))))
1918imbi2d 229 . . 3 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑤𝑀)))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀))))))
20 2fveq3 5426 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → (abs‘(𝐹𝑤)) = (abs‘(𝐹𝑁)))
21 oveq1 5781 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑁 → (𝑤𝑀) = (𝑁𝑀))
2221oveq2d 5790 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑁 → (𝐴↑(𝑤𝑀)) = (𝐴↑(𝑁𝑀)))
2322oveq2d 5790 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑤𝑀))) = ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑁𝑀))))
2420, 23breq12d 3942 . . . 4 (𝑤 = 𝑁 → ((abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑤𝑀))) ↔ (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑁𝑀)))))
2524imbi2d 229 . . 3 (𝑤 = 𝑁 → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑤)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑤𝑀)))) ↔ (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑁𝑀))))))
26 fveq2 5421 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑀 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑀))
2726eleq1d 2208 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑀) ∈ ℂ))
28 cvgratnn.6 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2928ralrimiva 2505 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
30 cvgratnn.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3127, 29, 30rspcdva 2794 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℂ)
3231abscld 10960 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑀)) ∈ ℝ)
3332leidd 8283 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑀)) ≤ (abs‘(𝐹𝑀)))
3430nncnd 8741 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
3534subidd 8068 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀𝑀) = 0)
3635oveq2d 5790 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴↑(𝑀𝑀)) = (𝐴↑0))
37 cvgratnn.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3837recnd 7801 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3938exp0d 10425 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)
4036, 39eqtrd 2172 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴↑(𝑀𝑀)) = 1)
4140oveq2d 5790 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑀𝑀))) = ((abs‘(𝐹𝑀)) · 1))
4232recnd 7801 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑀)) ∈ ℂ)
4342mulid1d 7790 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(𝐹𝑀)) · 1) = (abs‘(𝐹𝑀)))
4441, 43eqtrd 2172 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑀𝑀))) = (abs‘(𝐹𝑀)))
4533, 44breqtrrd 3956 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑀)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑀𝑀))))
4645a1i 9 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑀)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑀𝑀)))))
47 eluznn 9401 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
4830, 47sylan 281 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
4948, 28syldan 280 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
5049abscld 10960 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
5132adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹𝑀)) ∈ ℝ)
5237adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ)
53 uznn0sub 9364 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘𝑀) ∈ ℕ0)
5453adantl 275 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘𝑀) ∈ ℕ0)
5552, 54reexpcld 10448 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴↑(𝑘𝑀)) ∈ ℝ)
5651, 55remulcld 7803 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀))) ∈ ℝ)
57 0red 7774 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 ∈ ℝ)
58 cvgratnn.gt0 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 𝐴)
5958adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 < 𝐴)
6057, 52, 59ltled 7888 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 ≤ 𝐴)
61 lemul2a 8624 . . . . . . . . 9 ((((abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀))) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀)))) → (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ (𝐴 · ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀)))))
6261ex 114 . . . . . . . 8 (((abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀))) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → ((abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀))) → (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ (𝐴 · ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀))))))
6350, 56, 52, 60, 62syl112anc 1220 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀))) → (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ (𝐴 · ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀))))))
6438adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6542adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹𝑀)) ∈ ℂ)
6655recnd 7801 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴↑(𝑘𝑀)) ∈ ℂ)
6764, 65, 66mul12d 7921 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴 · ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀)))) = ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴 · (𝐴↑(𝑘𝑀)))))
6864, 54expp1d 10432 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴↑((𝑘𝑀) + 1)) = ((𝐴↑(𝑘𝑀)) · 𝐴))
6948nncnd 8741 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℂ)
70 1cnd 7789 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 1 ∈ ℂ)
71 eluzel2 9338 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
7271adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
7372zcnd 9181 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℂ)
7469, 70, 73addsubd 8101 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 + 1) − 𝑀) = ((𝑘𝑀) + 1))
7574oveq2d 5790 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀)) = (𝐴↑((𝑘𝑀) + 1)))
7664, 66mulcomd 7794 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴 · (𝐴↑(𝑘𝑀))) = ((𝐴↑(𝑘𝑀)) · 𝐴))
7768, 75, 763eqtr4rd 2183 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴 · (𝐴↑(𝑘𝑀))) = (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀)))
7877oveq2d 5790 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴 · (𝐴↑(𝑘𝑀)))) = ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀))))
7967, 78eqtrd 2172 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴 · ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀)))) = ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀))))
8079breq2d 3941 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ (𝐴 · ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀)))) ↔ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀)))))
8163, 80sylibd 148 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀))) → (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀)))))
82 cvgratnn.7 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))))
8348, 82syldan 280 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))))
84 fveq2 5421 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑛) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
8584eleq1d 2208 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑛) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ))
86 fveq2 5421 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
8786eleq1d 2208 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑛) ∈ ℂ))
8887cbvralv 2654 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
8929, 88sylib 121 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
9089adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
9148peano2nnd 8742 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
9285, 90, 91rspcdva 2794 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
9392abscld 10960 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
9452, 50remulcld 7803 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
95 peano2uz 9385 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
9695adantl 275 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
97 uznn0sub 9364 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑘 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
9896, 97syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
9952, 98reexpcld 10448 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀)) ∈ ℝ)
10051, 99remulcld 7803 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀))) ∈ ℝ)
101 letr 7854 . . . . . . . 8 (((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀))) ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ∧ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀)))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀)))))
10293, 94, 100, 101syl3anc 1216 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ∧ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀)))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀)))))
10383, 102mpand 425 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀)))))
10481, 103syld 45 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀)))))
105104expcom 115 . . . 4 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝜑 → ((abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀))))))
106105a2d 26 . . 3 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝜑 → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑘𝑀)))) → (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑((𝑘 + 1) − 𝑀))))))
1077, 13, 19, 25, 46, 106uzind4 9390 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑁𝑀)))))
1081, 107mpcom 36 1 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑁)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · (𝐴↑(𝑁𝑀))))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7625  ℝcr 7626  0cc0 7627  1c1 7628   + caddc 7630   · cmul 7632   < clt 7807   ≤ cle 7808   − cmin 7940  ℕcn 8727  ℕ0cn0 8984  ℤcz 9061  ℤ≥cuz 9333  ↑cexp 10299  abscabs 10776 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-rp 9449  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778 This theorem is referenced by:  cvgratnnlemabsle  11303
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