ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cncongr1 GIF version

Theorem cncongr1 12117
Description: One direction of the bicondition in cncongr 12119. Theorem 5.4 in [ApostolNT] p. 109. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
cncongr1 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) mod ๐‘) = ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) = (๐ต mod ๐‘€)))

Proof of Theorem cncongr1
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘Ÿ ๐‘  are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zmulcl 9320 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ค)
213adant2 1017 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ค)
3 zmulcl 9320 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ค)
433adant1 1016 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ค)
5 simpl 109 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
6 congr 12114 . . 3 (((๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) mod ๐‘) = ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท ๐‘) = ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ))))
72, 4, 5, 6syl2an3an 1308 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) mod ๐‘) = ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท ๐‘) = ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ))))
8 simpl 109 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
9 nnz 9286 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
10 nnne0 8961 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โ‰  0)
119, 10jca 306 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0))
1211adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0))
13 eqidd 2188 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ gcd ๐‘) = (๐ถ gcd ๐‘))
148, 12, 133jca 1178 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง (๐ถ gcd ๐‘) = (๐ถ gcd ๐‘)))
1514ex 115 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง (๐ถ gcd ๐‘) = (๐ถ gcd ๐‘))))
16153ad2ant3 1021 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง (๐ถ gcd ๐‘) = (๐ถ gcd ๐‘))))
1716com12 30 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง (๐ถ gcd ๐‘) = (๐ถ gcd ๐‘))))
1817adantr 276 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘))) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง (๐ถ gcd ๐‘) = (๐ถ gcd ๐‘))))
1918impcom 125 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง (๐ถ gcd ๐‘) = (๐ถ gcd ๐‘)))
20 divgcdcoprmex 12116 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง (๐ถ gcd ๐‘) = (๐ถ gcd ๐‘)) โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„ค (๐ถ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘Ÿ) โˆง ๐‘ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘ ) โˆง (๐‘Ÿ gcd ๐‘ ) = 1))
2119, 20syl 14 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„ค (๐ถ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘Ÿ) โˆง ๐‘ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘ ) โˆง (๐‘Ÿ gcd ๐‘ ) = 1))
2221adantr 276 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„ค (๐ถ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘Ÿ) โˆง ๐‘ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘ ) โˆง (๐‘Ÿ gcd ๐‘ ) = 1))
23 oveq2 5896 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘ ) โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘) = (๐‘˜ ยท ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘ )))
24233ad2ant2 1020 . . . . . . . . 9 ((๐ถ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘Ÿ) โˆง ๐‘ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘ ) โˆง (๐‘Ÿ gcd ๐‘ ) = 1) โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘) = (๐‘˜ ยท ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘ )))
2524adantl 277 . . . . . . . 8 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ถ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘Ÿ) โˆง ๐‘ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘ ) โˆง (๐‘Ÿ gcd ๐‘ ) = 1)) โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘) = (๐‘˜ ยท ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘ )))
26 oveq2 5896 . . . . . . . . . . 11 (๐ถ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘Ÿ) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ด ยท ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘Ÿ)))
27 oveq2 5896 . . . . . . . . . . 11 (๐ถ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘Ÿ) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘Ÿ)))
2826, 27oveq12d 5906 . . . . . . . . . 10 (๐ถ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘Ÿ) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) = ((๐ด ยท ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘Ÿ)) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘Ÿ))))
29283ad2ant1 1019 . . . . . . . . 9 ((๐ถ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘Ÿ) โˆง ๐‘ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘ ) โˆง (๐‘Ÿ gcd ๐‘ ) = 1) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) = ((๐ด ยท ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘Ÿ)) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘Ÿ))))
3029adantl 277 . . . . . . . 8 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ถ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘Ÿ) โˆง ๐‘ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘ ) โˆง (๐‘Ÿ gcd ๐‘ ) = 1)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) = ((๐ด ยท ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘Ÿ)) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘Ÿ))))
3125, 30eqeq12d 2202 . . . . . . 7 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ถ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘Ÿ) โˆง ๐‘ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘ ) โˆง (๐‘Ÿ gcd ๐‘ ) = 1)) โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘) = ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) โ†” (๐‘˜ ยท ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘ )) = ((๐ด ยท ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘Ÿ)) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘Ÿ)))))
32 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
3332zcnd 9390 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
3433adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
35 simp3 1000 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
3635adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
379ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
3836, 37gcdcld 11983 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โ†’ (๐ถ gcd ๐‘) โˆˆ โ„•0)
3938nn0cnd 9245 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โ†’ (๐ถ gcd ๐‘) โˆˆ โ„‚)
4039ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ถ gcd ๐‘) โˆˆ โ„‚)
41 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„ค)
4241zcnd 9390 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„‚)
4342adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„‚)
4434, 40, 43mul12d 8123 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘˜ ยท ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘ )) = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท (๐‘˜ ยท ๐‘ )))
45 simp1 998 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
4645zcnd 9390 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4746ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4835ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
495nnzd 9388 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
5049adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
5150adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
5248, 51gcdcld 11983 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ถ gcd ๐‘) โˆˆ โ„•0)
5352nn0cnd 9245 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ถ gcd ๐‘) โˆˆ โ„‚)
5453adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ถ gcd ๐‘) โˆˆ โ„‚)
55 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค)
5655zcnd 9390 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚)
5756adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚)
5847, 54, 57mul12d 8123 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ด ยท ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘Ÿ)) = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท (๐ด ยท ๐‘Ÿ)))
59 simp2 999 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
6059zcnd 9390 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
6160ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
6236, 50gcdcld 11983 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โ†’ (๐ถ gcd ๐‘) โˆˆ โ„•0)
6362nn0cnd 9245 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โ†’ (๐ถ gcd ๐‘) โˆˆ โ„‚)
6463ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ถ gcd ๐‘) โˆˆ โ„‚)
6561, 64, 57mul12d 8123 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ต ยท ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘Ÿ)) = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท (๐ต ยท ๐‘Ÿ)))
6658, 65oveq12d 5906 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ด ยท ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘Ÿ)) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘Ÿ))) = (((๐ถ gcd ๐‘) ยท (๐ด ยท ๐‘Ÿ)) โˆ’ ((๐ถ gcd ๐‘) ยท (๐ต ยท ๐‘Ÿ))))
6744, 66eqeq12d 2202 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘˜ ยท ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘ )) = ((๐ด ยท ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘Ÿ)) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘Ÿ))) โ†” ((๐ถ gcd ๐‘) ยท (๐‘˜ ยท ๐‘ )) = (((๐ถ gcd ๐‘) ยท (๐ด ยท ๐‘Ÿ)) โˆ’ ((๐ถ gcd ๐‘) ยท (๐ต ยท ๐‘Ÿ)))))
6845ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
6955adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค)
7068, 69zmulcld 9395 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ด ยท ๐‘Ÿ) โˆˆ โ„ค)
7170zcnd 9390 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ด ยท ๐‘Ÿ) โˆˆ โ„‚)
7259ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
7372, 69zmulcld 9395 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ต ยท ๐‘Ÿ) โˆˆ โ„ค)
7473zcnd 9390 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ต ยท ๐‘Ÿ) โˆˆ โ„‚)
7564, 71, 74subdid 8385 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ((๐ด ยท ๐‘Ÿ) โˆ’ (๐ต ยท ๐‘Ÿ))) = (((๐ถ gcd ๐‘) ยท (๐ด ยท ๐‘Ÿ)) โˆ’ ((๐ถ gcd ๐‘) ยท (๐ต ยท ๐‘Ÿ))))
7675eqcomd 2193 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐ถ gcd ๐‘) ยท (๐ด ยท ๐‘Ÿ)) โˆ’ ((๐ถ gcd ๐‘) ยท (๐ต ยท ๐‘Ÿ))) = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ((๐ด ยท ๐‘Ÿ) โˆ’ (๐ต ยท ๐‘Ÿ))))
7776eqeq2d 2199 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐ถ gcd ๐‘) ยท (๐‘˜ ยท ๐‘ )) = (((๐ถ gcd ๐‘) ยท (๐ด ยท ๐‘Ÿ)) โˆ’ ((๐ถ gcd ๐‘) ยท (๐ต ยท ๐‘Ÿ))) โ†” ((๐ถ gcd ๐‘) ยท (๐‘˜ ยท ๐‘ )) = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ((๐ด ยท ๐‘Ÿ) โˆ’ (๐ต ยท ๐‘Ÿ)))))
7832adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
79 simprr 531 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„ค)
8078, 79zmulcld 9395 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘ ) โˆˆ โ„ค)
8180zcnd 9390 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘ ) โˆˆ โ„‚)
82 zmulcl 9320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด ยท ๐‘Ÿ) โˆˆ โ„ค)
8382ad2ant2r 509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ด ยท ๐‘Ÿ) โˆˆ โ„ค)
84 zmulcl 9320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต ยท ๐‘Ÿ) โˆˆ โ„ค)
8584ad2ant2lr 510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ต ยท ๐‘Ÿ) โˆˆ โ„ค)
8683, 85zsubcld 9394 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘Ÿ) โˆ’ (๐ต ยท ๐‘Ÿ)) โˆˆ โ„ค)
8786zcnd 9390 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘Ÿ) โˆ’ (๐ต ยท ๐‘Ÿ)) โˆˆ โ„‚)
8887ex 115 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘Ÿ) โˆ’ (๐ต ยท ๐‘Ÿ)) โˆˆ โ„‚))
89883adant3 1018 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘Ÿ) โˆ’ (๐ต ยท ๐‘Ÿ)) โˆˆ โ„‚))
9089ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘Ÿ) โˆ’ (๐ต ยท ๐‘Ÿ)) โˆˆ โ„‚))
9190imp 124 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘Ÿ) โˆ’ (๐ต ยท ๐‘Ÿ)) โˆˆ โ„‚)
9210ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
93 gcd2n0cl 11984 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (๐ถ gcd ๐‘) โˆˆ โ„•)
9436, 50, 92, 93syl3anc 1248 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โ†’ (๐ถ gcd ๐‘) โˆˆ โ„•)
9594nnne0d 8978 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โ†’ (๐ถ gcd ๐‘) โ‰  0)
9695ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ถ gcd ๐‘) โ‰  0)
9752adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ถ gcd ๐‘) โˆˆ โ„•0)
9897nn0zd 9387 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ถ gcd ๐‘) โˆˆ โ„ค)
99 0zd 9279 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
100 zapne 9341 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ถ gcd ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ถ gcd ๐‘) # 0 โ†” (๐ถ gcd ๐‘) โ‰  0))
10198, 99, 100syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ถ gcd ๐‘) # 0 โ†” (๐ถ gcd ๐‘) โ‰  0))
10296, 101mpbird 167 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ถ gcd ๐‘) # 0)
10381, 91, 64, 102mulcanapd 8632 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐ถ gcd ๐‘) ยท (๐‘˜ ยท ๐‘ )) = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ((๐ด ยท ๐‘Ÿ) โˆ’ (๐ต ยท ๐‘Ÿ))) โ†” (๐‘˜ ยท ๐‘ ) = ((๐ด ยท ๐‘Ÿ) โˆ’ (๐ต ยท ๐‘Ÿ))))
10467, 77, 1033bitrd 214 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘˜ ยท ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘ )) = ((๐ด ยท ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘Ÿ)) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘Ÿ))) โ†” (๐‘˜ ยท ๐‘ ) = ((๐ด ยท ๐‘Ÿ) โˆ’ (๐ต ยท ๐‘Ÿ))))
105104adantr 276 . . . . . . . 8 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ถ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘Ÿ) โˆง ๐‘ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘ ) โˆง (๐‘Ÿ gcd ๐‘ ) = 1)) โ†’ ((๐‘˜ ยท ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘ )) = ((๐ด ยท ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘Ÿ)) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘Ÿ))) โ†” (๐‘˜ ยท ๐‘ ) = ((๐ด ยท ๐‘Ÿ) โˆ’ (๐ต ยท ๐‘Ÿ))))
106 zcn 9272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
107 zcn 9272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
108106, 107anim12i 338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚))
1091083adant3 1018 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚))
110109ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚))
111110, 56anim12i 338 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚))
112 df-3an 981 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚))
113111, 112sylibr 134 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚))
114 subdir 8357 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘Ÿ) = ((๐ด ยท ๐‘Ÿ) โˆ’ (๐ต ยท ๐‘Ÿ)))
115113, 114syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘Ÿ) = ((๐ด ยท ๐‘Ÿ) โˆ’ (๐ต ยท ๐‘Ÿ)))
116115eqcomd 2193 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘Ÿ) โˆ’ (๐ต ยท ๐‘Ÿ)) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘Ÿ))
117116adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ถ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘Ÿ) โˆง ๐‘ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘ ) โˆง (๐‘Ÿ gcd ๐‘ ) = 1)) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘Ÿ) โˆ’ (๐ต ยท ๐‘Ÿ)) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘Ÿ))
118117eqeq2d 2199 . . . . . . . . 9 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ถ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘Ÿ) โˆง ๐‘ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘ ) โˆง (๐‘Ÿ gcd ๐‘ ) = 1)) โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘ ) = ((๐ด ยท ๐‘Ÿ) โˆ’ (๐ต ยท ๐‘Ÿ)) โ†” (๐‘˜ ยท ๐‘ ) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘Ÿ)))
1195nncnd 8947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
120119adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
121120ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
12279zcnd 9390 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„‚)
123121, 122, 40, 102divmulap2d 8795 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)) = ๐‘  โ†” ๐‘ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘ )))
124 simpll 527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)) = ๐‘ ) โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค))
12569adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)) = ๐‘ ) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค)
1265adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
127 divgcdnnr 11991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„•)
128126, 36, 127syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โ†’ (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„•)
129128ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)) = ๐‘ ) โ†’ (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„•)
130 eleq1 2250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘  = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)) โ†’ (๐‘  โˆˆ โ„• โ†” (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„•))
131130eqcoms 2190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)) = ๐‘  โ†’ (๐‘  โˆˆ โ„• โ†” (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„•))
132131adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)) = ๐‘ ) โ†’ (๐‘  โˆˆ โ„• โ†” (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„•))
133129, 132mpbird 167 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)) = ๐‘ ) โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„•)
134125, 133jca 306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)) = ๐‘ ) โ†’ (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•))
135124, 134jca 306 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)) = ๐‘ ) โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•)))
136 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)) = ๐‘ ) โ†’ (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)) = ๐‘ )
137 nnz 9286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„ค)
138137adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„ค)
139138anim2i 342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค))
140139adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•))) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค))
141 dvdsmul2 11835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘  โˆฅ (๐‘˜ ยท ๐‘ ))
142140, 141syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•))) โ†’ ๐‘  โˆฅ (๐‘˜ ยท ๐‘ ))
143 breq2 4019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐‘˜ ยท ๐‘ ) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘Ÿ) โ†’ (๐‘  โˆฅ (๐‘˜ ยท ๐‘ ) โ†” ๐‘  โˆฅ ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘Ÿ)))
144 zsubcl 9308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค)
145144zcnd 9390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
146145adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•))) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
147 zcn 9272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚)
148147ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚)
149148adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•))) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚)
150146, 149mulcomd 7993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•))) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘Ÿ) = (๐‘Ÿ ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
151150breq2d 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•))) โ†’ (๐‘  โˆฅ ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘Ÿ) โ†” ๐‘  โˆฅ (๐‘Ÿ ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))))
152137anim2i 342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค))
153 gcdcom 11988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘Ÿ gcd ๐‘ ) = (๐‘  gcd ๐‘Ÿ))
154152, 153syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘Ÿ gcd ๐‘ ) = (๐‘  gcd ๐‘Ÿ))
155154eqeq1d 2196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘Ÿ gcd ๐‘ ) = 1 โ†” (๐‘  gcd ๐‘Ÿ) = 1))
156155ad2antll 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•))) โ†’ ((๐‘Ÿ gcd ๐‘ ) = 1 โ†” (๐‘  gcd ๐‘Ÿ) = 1))
157152adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค))
158157ancomd 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘  โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค))
159144, 158anim12i 338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•))) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘  โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค)))
160159ancomd 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•))) โ†’ ((๐‘  โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค))
161 df-3an 981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((๐‘  โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†” ((๐‘  โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค))
162160, 161sylibr 134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•))) โ†’ (๐‘  โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค))
163 coprmdvds 12106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((๐‘  โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘  โˆฅ (๐‘Ÿ ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) โˆง (๐‘  gcd ๐‘Ÿ) = 1) โ†’ ๐‘  โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต)))
164162, 163syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•))) โ†’ ((๐‘  โˆฅ (๐‘Ÿ ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) โˆง (๐‘  gcd ๐‘Ÿ) = 1) โ†’ ๐‘  โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต)))
165 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„•)
166165anim2i 342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•))) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•))
167166ancomd 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•))) โ†’ (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค)))
168 3anass 983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†” (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค)))
169167, 168sylibr 134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•))) โ†’ (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค))
170 moddvds 11820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด mod ๐‘ ) = (๐ต mod ๐‘ ) โ†” ๐‘  โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต)))
171169, 170syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•))) โ†’ ((๐ด mod ๐‘ ) = (๐ต mod ๐‘ ) โ†” ๐‘  โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต)))
172164, 171sylibrd 169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•))) โ†’ ((๐‘  โˆฅ (๐‘Ÿ ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) โˆง (๐‘  gcd ๐‘Ÿ) = 1) โ†’ (๐ด mod ๐‘ ) = (๐ต mod ๐‘ )))
173172expcomd 1451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•))) โ†’ ((๐‘  gcd ๐‘Ÿ) = 1 โ†’ (๐‘  โˆฅ (๐‘Ÿ ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) โ†’ (๐ด mod ๐‘ ) = (๐ต mod ๐‘ ))))
174156, 173sylbid 150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•))) โ†’ ((๐‘Ÿ gcd ๐‘ ) = 1 โ†’ (๐‘  โˆฅ (๐‘Ÿ ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) โ†’ (๐ด mod ๐‘ ) = (๐ต mod ๐‘ ))))
175174com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•))) โ†’ (๐‘  โˆฅ (๐‘Ÿ ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) โ†’ ((๐‘Ÿ gcd ๐‘ ) = 1 โ†’ (๐ด mod ๐‘ ) = (๐ต mod ๐‘ ))))
176151, 175sylbid 150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•))) โ†’ (๐‘  โˆฅ ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘Ÿ) โ†’ ((๐‘Ÿ gcd ๐‘ ) = 1 โ†’ (๐ด mod ๐‘ ) = (๐ต mod ๐‘ ))))
177176com3l 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (๐‘  โˆฅ ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘Ÿ) โ†’ ((๐‘Ÿ gcd ๐‘ ) = 1 โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•))) โ†’ (๐ด mod ๐‘ ) = (๐ต mod ๐‘ ))))
178143, 177biimtrdi 163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐‘˜ ยท ๐‘ ) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘Ÿ) โ†’ (๐‘  โˆฅ (๐‘˜ ยท ๐‘ ) โ†’ ((๐‘Ÿ gcd ๐‘ ) = 1 โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•))) โ†’ (๐ด mod ๐‘ ) = (๐ต mod ๐‘ )))))
179178com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•))) โ†’ (๐‘  โˆฅ (๐‘˜ ยท ๐‘ ) โ†’ ((๐‘Ÿ gcd ๐‘ ) = 1 โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘ ) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘Ÿ) โ†’ (๐ด mod ๐‘ ) = (๐ต mod ๐‘ )))))
180142, 179mpd 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•))) โ†’ ((๐‘Ÿ gcd ๐‘ ) = 1 โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘ ) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘Ÿ) โ†’ (๐ด mod ๐‘ ) = (๐ต mod ๐‘ ))))
181180ex 115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘Ÿ gcd ๐‘ ) = 1 โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘ ) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘Ÿ) โ†’ (๐ด mod ๐‘ ) = (๐ต mod ๐‘ )))))
1821813adant3 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘Ÿ gcd ๐‘ ) = 1 โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘ ) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘Ÿ) โ†’ (๐ด mod ๐‘ ) = (๐ต mod ๐‘ )))))
183182adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘Ÿ gcd ๐‘ ) = 1 โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘ ) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘Ÿ) โ†’ (๐ด mod ๐‘ ) = (๐ต mod ๐‘ )))))
184183impl 380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘Ÿ gcd ๐‘ ) = 1 โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘ ) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘Ÿ) โ†’ (๐ด mod ๐‘ ) = (๐ต mod ๐‘ ))))
185184adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)) = ๐‘ ) โ†’ ((๐‘Ÿ gcd ๐‘ ) = 1 โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘ ) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘Ÿ) โ†’ (๐ด mod ๐‘ ) = (๐ต mod ๐‘ ))))
186185imp 124 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)) = ๐‘ ) โˆง (๐‘Ÿ gcd ๐‘ ) = 1) โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘ ) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘Ÿ) โ†’ (๐ด mod ๐‘ ) = (๐ต mod ๐‘ )))
187 eqtr2 2206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)) = ๐‘€ โˆง (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)) = ๐‘ ) โ†’ ๐‘€ = ๐‘ )
188 oveq2 5896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐‘€ = ๐‘  โ†’ (๐ด mod ๐‘€) = (๐ด mod ๐‘ ))
189 oveq2 5896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐‘€ = ๐‘  โ†’ (๐ต mod ๐‘€) = (๐ต mod ๐‘ ))
190188, 189eqeq12d 2202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐‘€ = ๐‘  โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = (๐ต mod ๐‘€) โ†” (๐ด mod ๐‘ ) = (๐ต mod ๐‘ )))
191187, 190syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)) = ๐‘€ โˆง (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)) = ๐‘ ) โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = (๐ต mod ๐‘€) โ†” (๐ด mod ๐‘ ) = (๐ต mod ๐‘ )))
192191ex 115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)) = ๐‘€ โ†’ ((๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)) = ๐‘  โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = (๐ต mod ๐‘€) โ†” (๐ด mod ๐‘ ) = (๐ต mod ๐‘ ))))
193192eqcoms 2190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)) โ†’ ((๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)) = ๐‘  โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = (๐ต mod ๐‘€) โ†” (๐ด mod ๐‘ ) = (๐ต mod ๐‘ ))))
194193ad2antll 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โ†’ ((๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)) = ๐‘  โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = (๐ต mod ๐‘€) โ†” (๐ด mod ๐‘ ) = (๐ต mod ๐‘ ))))
195194ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)) = ๐‘  โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = (๐ต mod ๐‘€) โ†” (๐ด mod ๐‘ ) = (๐ต mod ๐‘ ))))
196195imp 124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)) = ๐‘ ) โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = (๐ต mod ๐‘€) โ†” (๐ด mod ๐‘ ) = (๐ต mod ๐‘ )))
197196adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)) = ๐‘ ) โˆง (๐‘Ÿ gcd ๐‘ ) = 1) โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = (๐ต mod ๐‘€) โ†” (๐ด mod ๐‘ ) = (๐ต mod ๐‘ )))
198186, 197sylibrd 169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)) = ๐‘ ) โˆง (๐‘Ÿ gcd ๐‘ ) = 1) โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘ ) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘Ÿ) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) = (๐ต mod ๐‘€)))
199198ex 115 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)) = ๐‘ ) โ†’ ((๐‘Ÿ gcd ๐‘ ) = 1 โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘ ) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘Ÿ) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) = (๐ต mod ๐‘€))))
200135, 136, 199syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)) = ๐‘ ) โ†’ ((๐‘Ÿ gcd ๐‘ ) = 1 โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘ ) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘Ÿ) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) = (๐ต mod ๐‘€))))
201200ex 115 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)) = ๐‘  โ†’ ((๐‘Ÿ gcd ๐‘ ) = 1 โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘ ) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘Ÿ) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) = (๐ต mod ๐‘€)))))
202123, 201sylbird 170 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘ ) โ†’ ((๐‘Ÿ gcd ๐‘ ) = 1 โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘ ) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘Ÿ) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) = (๐ต mod ๐‘€)))))
203202com3l 81 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘ ) โ†’ ((๐‘Ÿ gcd ๐‘ ) = 1 โ†’ (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘ ) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘Ÿ) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) = (๐ต mod ๐‘€)))))
204203a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (๐ถ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘Ÿ) โ†’ (๐‘ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘ ) โ†’ ((๐‘Ÿ gcd ๐‘ ) = 1 โ†’ (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘ ) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘Ÿ) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) = (๐ต mod ๐‘€))))))
2052043imp 1194 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘Ÿ) โˆง ๐‘ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘ ) โˆง (๐‘Ÿ gcd ๐‘ ) = 1) โ†’ (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘ ) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘Ÿ) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) = (๐ต mod ๐‘€))))
206205impcom 125 . . . . . . . . 9 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ถ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘Ÿ) โˆง ๐‘ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘ ) โˆง (๐‘Ÿ gcd ๐‘ ) = 1)) โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘ ) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘Ÿ) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) = (๐ต mod ๐‘€)))
207118, 206sylbid 150 . . . . . . . 8 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ถ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘Ÿ) โˆง ๐‘ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘ ) โˆง (๐‘Ÿ gcd ๐‘ ) = 1)) โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘ ) = ((๐ด ยท ๐‘Ÿ) โˆ’ (๐ต ยท ๐‘Ÿ)) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) = (๐ต mod ๐‘€)))
208105, 207sylbid 150 . . . . . . 7 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ถ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘Ÿ) โˆง ๐‘ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘ ) โˆง (๐‘Ÿ gcd ๐‘ ) = 1)) โ†’ ((๐‘˜ ยท ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘ )) = ((๐ด ยท ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘Ÿ)) โˆ’ (๐ต ยท ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘Ÿ))) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) = (๐ต mod ๐‘€)))
20931, 208sylbid 150 . . . . . 6 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ถ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘Ÿ) โˆง ๐‘ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘ ) โˆง (๐‘Ÿ gcd ๐‘ ) = 1)) โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘) = ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) = (๐ต mod ๐‘€)))
210209ex 115 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ถ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘Ÿ) โˆง ๐‘ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘ ) โˆง (๐‘Ÿ gcd ๐‘ ) = 1) โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘) = ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) = (๐ต mod ๐‘€))))
211210rexlimdvva 2612 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„ค (๐ถ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘Ÿ) โˆง ๐‘ = ((๐ถ gcd ๐‘) ยท ๐‘ ) โˆง (๐‘Ÿ gcd ๐‘ ) = 1) โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘) = ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) = (๐ต mod ๐‘€))))
21222, 211mpd 13 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘) = ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) = (๐ต mod ๐‘€)))
213212rexlimdva 2604 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท ๐‘) = ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) = (๐ต mod ๐‘€)))
2147, 213sylbid 150 1 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ = (๐‘ / (๐ถ gcd ๐‘)))) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) mod ๐‘) = ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) = (๐ต mod ๐‘€)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 979   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158   โ‰  wne 2357  โˆƒwrex 2466   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  โ„‚cc 7823  0cc0 7825  1c1 7826   ยท cmul 7830   โˆ’ cmin 8142   # cap 8552   / cdiv 8643  โ„•cn 8933  โ„•0cn0 9190  โ„คcz 9267   mod cmo 10336   โˆฅ cdvds 11808   gcd cgcd 11957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-frec 6406  df-sup 6997  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-fz 10023  df-fzo 10157  df-fl 10284  df-mod 10337  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-dvds 11809  df-gcd 11958
This theorem is referenced by:  cncongr  12119
  Copyright terms: Public domain W3C validator