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Theorem cncongr1 12086

Description: One direction of the bicondition in cncongr 12088. Theorem 5.4 in [ApostolNT] p. 109. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
cncongr1	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)))

Proof of Theorem cncongr1 Dummy variables 𝑘 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmulcl 9295	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℤ)
2	1	3adant2 1016	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℤ)
3		zmulcl 9295	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℤ)
4	3	3adant1 1015	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℤ)
5		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
6		congr 12083	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑁) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
7	2, 4, 5, 6	syl2an3an 1298	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑁) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
8		simpl 109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℤ)
9		nnz 9261	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
10		nnne0 8936	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
11	9, 10	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0))
12	11	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0))
13		eqidd 2178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐶 gcd 𝑁) = (𝐶 gcd 𝑁))
14	8, 12, 13	3jca 1177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐶 gcd 𝑁) = (𝐶 gcd 𝑁)))
15	14	ex 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐶 gcd 𝑁) = (𝐶 gcd 𝑁))))
16	15	3ad2ant3 1020	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐶 gcd 𝑁) = (𝐶 gcd 𝑁))))
17	16	com12 30	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐶 gcd 𝑁) = (𝐶 gcd 𝑁))))
18	17	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐶 gcd 𝑁) = (𝐶 gcd 𝑁))))
19	18	impcom 125	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐶 gcd 𝑁) = (𝐶 gcd 𝑁)))
20		divgcdcoprmex 12085	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐶 gcd 𝑁) = (𝐶 gcd 𝑁)) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑠 ∈ ℤ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1))
21	19, 20	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑠 ∈ ℤ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1))
22	21	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑠 ∈ ℤ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1))
23		oveq2 5877	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) → (𝑘 · 𝑁) = (𝑘 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠)))
24	23	3ad2ant2 1019	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1) → (𝑘 · 𝑁) = (𝑘 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠)))
25	24	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1)) → (𝑘 · 𝑁) = (𝑘 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠)))
26		oveq2 5877	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) → (𝐴 · 𝐶) = (𝐴 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟)))
27		oveq2 5877	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐵 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟)))
28	26, 27	oveq12d 5887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟)) − (𝐵 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟))))
29	28	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟)) − (𝐵 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟))))
30	29	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1)) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟)) − (𝐵 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟))))
31	25, 30	eqeq12d 2192	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1)) → ((𝑘 · 𝑁) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) ↔ (𝑘 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠)) = ((𝐴 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟)) − (𝐵 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟)))))
32		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
33	32	zcnd 9365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ)
34	33	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℂ)
35		simp3 999	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℤ)
36	35	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → 𝐶 ∈ ℤ)
37	9	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
38	36, 37	gcdcld 11952	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℕ₀)
39	38	nn0cnd 9220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
40	39	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
41		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) → 𝑠 ∈ ℤ)
42	41	zcnd 9365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) → 𝑠 ∈ ℂ)
43	42	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → 𝑠 ∈ ℂ)
44	34, 40, 43	mul12d 8099	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝑘 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠)) = ((𝐶 gcd 𝑁) · (𝑘 · 𝑠)))
45		simp1 997	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
46	45	zcnd 9365	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
47	46	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
48	35	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℤ)
49	5	nnzd 9363	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
50	49	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
52	48, 51	gcdcld 11952	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℕ₀)
53	52	nn0cnd 9220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
54	53	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
55		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) → 𝑟 ∈ ℤ)
56	55	zcnd 9365	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) → 𝑟 ∈ ℂ)
57	56	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → 𝑟 ∈ ℂ)
58	47, 54, 57	mul12d 8099	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐴 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟)) = ((𝐶 gcd 𝑁) · (𝐴 · 𝑟)))
59		simp2 998	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
60	59	zcnd 9365	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
61	60	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
62	36, 50	gcdcld 11952	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℕ₀)
63	62	nn0cnd 9220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
64	63	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
65	61, 64, 57	mul12d 8099	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐵 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟)) = ((𝐶 gcd 𝑁) · (𝐵 · 𝑟)))
66	58, 65	oveq12d 5887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝐴 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟)) − (𝐵 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟))) = (((𝐶 gcd 𝑁) · (𝐴 · 𝑟)) − ((𝐶 gcd 𝑁) · (𝐵 · 𝑟))))
67	44, 66	eqeq12d 2192	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠)) = ((𝐴 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟)) − (𝐵 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟))) ↔ ((𝐶 gcd 𝑁) · (𝑘 · 𝑠)) = (((𝐶 gcd 𝑁) · (𝐴 · 𝑟)) − ((𝐶 gcd 𝑁) · (𝐵 · 𝑟)))))
68	45	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℤ)
69	55	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → 𝑟 ∈ ℤ)
70	68, 69	zmulcld 9370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐴 · 𝑟) ∈ ℤ)
71	70	zcnd 9365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐴 · 𝑟) ∈ ℂ)
72	59	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℤ)
73	72, 69	zmulcld 9370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐵 · 𝑟) ∈ ℤ)
74	73	zcnd 9365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐵 · 𝑟) ∈ ℂ)
75	64, 71, 74	subdid 8361	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝐶 gcd 𝑁) · ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟))) = (((𝐶 gcd 𝑁) · (𝐴 · 𝑟)) − ((𝐶 gcd 𝑁) · (𝐵 · 𝑟))))
76	75	eqcomd 2183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (((𝐶 gcd 𝑁) · (𝐴 · 𝑟)) − ((𝐶 gcd 𝑁) · (𝐵 · 𝑟))) = ((𝐶 gcd 𝑁) · ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟))))
77	76	eqeq2d 2189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (((𝐶 gcd 𝑁) · (𝑘 · 𝑠)) = (((𝐶 gcd 𝑁) · (𝐴 · 𝑟)) − ((𝐶 gcd 𝑁) · (𝐵 · 𝑟))) ↔ ((𝐶 gcd 𝑁) · (𝑘 · 𝑠)) = ((𝐶 gcd 𝑁) · ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟)))))
78	32	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℤ)
79		simprr 531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → 𝑠 ∈ ℤ)
80	78, 79	zmulcld 9370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝑘 · 𝑠) ∈ ℤ)
81	80	zcnd 9365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝑘 · 𝑠) ∈ ℂ)
82		zmulcl 9295	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝑟) ∈ ℤ)
83	82	ad2ant2r 509	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐴 · 𝑟) ∈ ℤ)
84		zmulcl 9295	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝑟) ∈ ℤ)
85	84	ad2ant2lr 510	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐵 · 𝑟) ∈ ℤ)
86	83, 85	zsubcld 9369	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟)) ∈ ℤ)
87	86	zcnd 9365	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟)) ∈ ℂ)
88	87	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟)) ∈ ℂ))
89	88	3adant3 1017	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟)) ∈ ℂ))
90	89	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟)) ∈ ℂ))
91	90	imp 124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟)) ∈ ℂ)
92	10	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → 𝑁 ≠ 0)
93		gcd2n0cl 11953	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
94	36, 50, 92, 93	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
95	94	nnne0d 8953	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐶 gcd 𝑁) ≠ 0)
96	95	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐶 gcd 𝑁) ≠ 0)
97	52	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℕ₀)
98	97	nn0zd 9362	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
99		0zd 9254	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → 0 ∈ ℤ)
100		zapne 9316	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝐶 gcd 𝑁) # 0 ↔ (𝐶 gcd 𝑁) ≠ 0))
101	98, 99, 100	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝐶 gcd 𝑁) # 0 ↔ (𝐶 gcd 𝑁) ≠ 0))
102	96, 101	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐶 gcd 𝑁) # 0)
103	81, 91, 64, 102	mulcanapd 8607	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (((𝐶 gcd 𝑁) · (𝑘 · 𝑠)) = ((𝐶 gcd 𝑁) · ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟))) ↔ (𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟))))
104	67, 77, 103	3bitrd 214	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠)) = ((𝐴 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟)) − (𝐵 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟))) ↔ (𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟))))
105	104	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1)) → ((𝑘 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠)) = ((𝐴 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟)) − (𝐵 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟))) ↔ (𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟))))
106		zcn 9247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
107		zcn 9247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
108	106, 107	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
109	108	3adant3 1017	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
110	109	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
111	110, 56	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ))
112		df-3an 980	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ))
113	111, 112	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ))
114		subdir 8333	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) = ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟)))
115	113, 114	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) = ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟)))
116	115	eqcomd 2183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟)) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟))
117	116	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1)) → ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟)) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟))
118	117	eqeq2d 2189	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1)) → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟)) ↔ (𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟)))
119	5	nncnd 8922	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℂ)
120	119	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℂ)
121	120	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
122	79	zcnd 9365	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → 𝑠 ∈ ℂ)
123	121, 122, 40, 102	divmulap2d 8770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠 ↔ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠)))
124		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) → (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ))
125	69	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) → 𝑟 ∈ ℤ)
126	5	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
127		divgcdnnr 11960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℕ)
128	126, 36, 127	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℕ)
129	128	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) → (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℕ)
130		eleq1 2240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) → (𝑠 ∈ ℕ ↔ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℕ))
131	130	eqcoms 2180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠 → (𝑠 ∈ ℕ ↔ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℕ))
132	131	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) → (𝑠 ∈ ℕ ↔ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℕ))
133	129, 132	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) → 𝑠 ∈ ℕ)
134	125, 133	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) → (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))
135	124, 134	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)))
136		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) → (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠)
137		nnz 9261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℤ)
138	137	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 𝑠 ∈ ℤ)
139	138	anim2i 342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ))
140	139	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ))
141		dvdsmul2 11805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) → 𝑠 ∥ (𝑘 · 𝑠))
142	140, 141	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → 𝑠 ∥ (𝑘 · 𝑠))
143		breq2 4004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝑠 ∥ (𝑘 · 𝑠) ↔ 𝑠 ∥ ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟)))
144		zsubcl 9283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
145	144	zcnd 9365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
146	145	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
147		zcn 9247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑟 ∈ ℤ → 𝑟 ∈ ℂ)
148	147	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) → 𝑟 ∈ ℂ)
149	148	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → 𝑟 ∈ ℂ)
150	146, 149	mulcomd 7969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) = (𝑟 · (𝐴 − 𝐵)))
151	150	breq2d 4012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → (𝑠 ∥ ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) ↔ 𝑠 ∥ (𝑟 · (𝐴 − 𝐵))))
152	137	anim2i 342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ))
153		gcdcom 11957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) → (𝑟 gcd 𝑠) = (𝑠 gcd 𝑟))
154	152, 153	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (𝑟 gcd 𝑠) = (𝑠 gcd 𝑟))
155	154	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 ↔ (𝑠 gcd 𝑟) = 1))
156	155	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 ↔ (𝑠 gcd 𝑟) = 1))
157	152	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) → (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ))
158	157	ancomd 267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) → (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ))
159	144, 158	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ)))
160	159	ancomd 267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ))
161		df-3an 980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) ↔ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ))
162	160, 161	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ))
163		coprmdvds 12075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → ((𝑠 ∥ (𝑟 · (𝐴 − 𝐵)) ∧ (𝑠 gcd 𝑟) = 1) → 𝑠 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
164	162, 163	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → ((𝑠 ∥ (𝑟 · (𝐴 − 𝐵)) ∧ (𝑠 gcd 𝑟) = 1) → 𝑠 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
165		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) → 𝑠 ∈ ℕ)
166	165	anim2i 342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ ℕ))
167	166	ancomd 267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → (𝑠 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)))
168		3anass 982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ↔ (𝑠 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)))
169	167, 168	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
170		moddvds 11790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠) ↔ 𝑠 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
171	169, 170	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → ((𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠) ↔ 𝑠 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
172	164, 171	sylibrd 169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → ((𝑠 ∥ (𝑟 · (𝐴 − 𝐵)) ∧ (𝑠 gcd 𝑟) = 1) → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠)))
173	172	expcomd 1441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → ((𝑠 gcd 𝑟) = 1 → (𝑠 ∥ (𝑟 · (𝐴 − 𝐵)) → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠))))
174	156, 173	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → (𝑠 ∥ (𝑟 · (𝐴 − 𝐵)) → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠))))
175	174	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → (𝑠 ∥ (𝑟 · (𝐴 − 𝐵)) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠))))
176	151, 175	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → (𝑠 ∥ ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠))))
177	176	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑠 ∥ ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠))))
178	143, 177	syl6bi 163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝑠 ∥ (𝑘 · 𝑠) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠)))))
179	178	com14 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → (𝑠 ∥ (𝑘 · 𝑠) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠)))))
180	142, 179	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠))))
181	180	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠)))))
182	181	3adant3 1017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠)))))
183	182	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠)))))
184	183	impl 380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠))))
185	184	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠))))
186	185	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1) → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠)))
187		eqtr2 2196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑀 ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) → 𝑀 = 𝑠)
188		oveq2 5877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑀 = 𝑠 → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐴 mod 𝑠))
189		oveq2 5877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑀 = 𝑠 → (𝐵 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑠))
190	188, 189	eqeq12d 2192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑀 = 𝑠 → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠)))
191	187, 190	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑀 ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠)))
192	191	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑀 → ((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠 → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠))))
193	192	eqcoms 2180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) → ((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠 → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠))))
194	193	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠 → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠))))
195	194	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) → ((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠 → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠))))
196	195	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠)))
197	196	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠)))
198	186, 197	sylibrd 169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1) → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)))
199	198	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀))))
200	135, 136, 199	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀))))
201	200	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠 → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)))))
202	123, 201	sylbird 170	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)))))
203	202	com3l 81	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)))))
204	203	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) → (𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀))))))
205	204	3imp 1193	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1) → (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀))))
206	205	impcom 125	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1)) → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)))
207	118, 206	sylbid 150	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1)) → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟)) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)))
208	105, 207	sylbid 150	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1)) → ((𝑘 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠)) = ((𝐴 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟)) − (𝐵 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟))) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)))
209	31, 208	sylbid 150	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1)) → ((𝑘 · 𝑁) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)))
210	209	ex 115	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1) → ((𝑘 · 𝑁) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀))))
211	210	rexlimdvva 2602	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑠 ∈ ℤ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1) → ((𝑘 · 𝑁) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀))))
212	22, 211	mpd 13	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 𝑁) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)))
213	212	rexlimdva 2594	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑁) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)))
214	7, 213	sylbid 150	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∧ w3a 978 = wceq 1353 ∈ wcel 2148 ≠ wne 2347 ∃wrex 2456 class class class wbr 4000 (class class class)co 5869 ℂcc 7800 0cc0 7802 1c1 7803 · cmul 7807 − cmin 8118 # cap 8528 / cdiv 8618 ℕcn 8908 ℕ₀cn0 9165 ℤcz 9242 mod cmo 10308 ∥ cdvds 11778 gcd cgcd 11926

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4115 ax-sep 4118 ax-nul 4126 ax-pow 4171 ax-pr 4206 ax-un 4430 ax-setind 4533 ax-iinf 4584 ax-cnex 7893 ax-resscn 7894 ax-1cn 7895 ax-1re 7896 ax-icn 7897 ax-addcl 7898 ax-addrcl 7899 ax-mulcl 7900 ax-mulrcl 7901 ax-addcom 7902 ax-mulcom 7903 ax-addass 7904 ax-mulass 7905 ax-distr 7906 ax-i2m1 7907 ax-0lt1 7908 ax-1rid 7909 ax-0id 7910 ax-rnegex 7911 ax-precex 7912 ax-cnre 7913 ax-pre-ltirr 7914 ax-pre-ltwlin 7915 ax-pre-lttrn 7916 ax-pre-apti 7917 ax-pre-ltadd 7918 ax-pre-mulgt0 7919 ax-pre-mulext 7920 ax-arch 7921 ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 831 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-iun 3886 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-tr 4099 df-id 4290 df-po 4293 df-iso 4294 df-iord 4363 df-on 4365 df-ilim 4366 df-suc 4368 df-iom 4587 df-xp 4629 df-rel 4630 df-cnv 4631 df-co 4632 df-dm 4633 df-rn 4634 df-res 4635 df-ima 4636 df-iota 5174 df-fun 5214 df-fn 5215 df-f 5216 df-f1 5217 df-fo 5218 df-f1o 5219 df-fv 5220 df-riota 5825 df-ov 5872 df-oprab 5873 df-mpo 5874 df-1st 6135 df-2nd 6136 df-recs 6300 df-frec 6386 df-sup 6977 df-pnf 7984 df-mnf 7985 df-xr 7986 df-ltxr 7987 df-le 7988 df-sub 8120 df-neg 8121 df-reap 8522 df-ap 8529 df-div 8619 df-inn 8909 df-2 8967 df-3 8968 df-4 8969 df-n0 9166 df-z 9243 df-uz 9518 df-q 9609 df-rp 9641 df-fz 9996 df-fzo 10129 df-fl 10256 df-mod 10309 df-seqfrec 10432 df-exp 10506 df-cj 10835 df-re 10836 df-im 10837 df-rsqrt 10991 df-abs 10992 df-dvds 11779 df-gcd 11927

This theorem is referenced by: cncongr 12088

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