2sqlem4 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem 2sqlem4 14605

Description: Lemma for 2sqlem5 14606. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2sq.1	⊢ 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2sqlem5.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2sqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2sqlem4.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2sqlem4.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
2sqlem4.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
2sqlem4.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
2sqlem4.7	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
2sqlem4.8	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))

**Assertion**
Ref	Expression
2sqlem4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑆)

**Proof of Theorem 2sqlem4**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sq.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2		2sqlem5.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑁 ∈ ℕ)
4		2sqlem5.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
5	4	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 ∈ ℙ)
6		2sqlem4.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
7	6	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝐴 ∈ ℤ)
8		2sqlem4.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
9	8	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝐵 ∈ ℤ)
10		2sqlem4.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
11	10	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝐶 ∈ ℤ)
12		2sqlem4.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
13	12	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝐷 ∈ ℤ)
14		2sqlem4.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
15	14	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → (𝑁 · 𝑃) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
16		2sqlem4.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
17	16	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
18		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)))
19	1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 18	2sqlem3 14604	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑁 ∈ 𝑆)
20	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑁 ∈ ℕ)
21	4	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 ∈ ℙ)
22	6	znegcld 9380	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)
23	22	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → -𝐴 ∈ ℤ)
24	8	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝐵 ∈ ℤ)
25	10	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝐶 ∈ ℤ)
26	12	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝐷 ∈ ℤ)
27	6	zcnd 9379	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
28		sqneg 10582	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
29	27, 28	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
30	29	oveq1d 5893	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
31	14, 30	eqtr4d 2213	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = ((-𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
32	31	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → (𝑁 · 𝑃) = ((-𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
33	16	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
34	12	zcnd 9379	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
35	27, 34	mulneg1d 8371	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐷) = -(𝐴 · 𝐷))
36	35	oveq2d 5894	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (-𝐴 · 𝐷)) = ((𝐶 · 𝐵) + -(𝐴 · 𝐷)))
37	10, 8	zmulcld 9384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℤ)
38	37	zcnd 9379	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
39	6, 12	zmulcld 9384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℤ)
40	39	zcnd 9379	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
41	38, 40	negsubd 8277	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + -(𝐴 · 𝐷)) = ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)))
42	36, 41	eqtrd 2210	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (-𝐴 · 𝐷)) = ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)))
43	42	breq2d 4017	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (-𝐴 · 𝐷)) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
44	43	biimpar 297	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (-𝐴 · 𝐷)))
45	1, 20, 21, 23, 24, 25, 26, 32, 33, 44	2sqlem3 14604	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑁 ∈ 𝑆)
46		prmz 12114	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
47	4, 46	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
48		zsqcl 10594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
49	10, 48	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
50	2	nnzd 9377	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
51	49, 50	zmulcld 9384	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) · 𝑁) ∈ ℤ)
52		zsqcl 10594	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
53	6, 52	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
54	51, 53	zsubcld 9383	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2)) ∈ ℤ)
55		dvdsmul1 11823	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2)) ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))))
56	47, 54, 55	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))))
57	10, 6	zmulcld 9384	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℤ)
58	57	zcnd 9379	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℂ)
59	58	sqcld 10655	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴)↑2) ∈ ℂ)
60	38	sqcld 10655	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
61	40	sqcld 10655	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷)↑2) ∈ ℂ)
62	59, 60, 61	pnpcand 8308	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) − (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2))) = (((𝐶 · 𝐵)↑2) − ((𝐴 · 𝐷)↑2)))
63	10	zcnd 9379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
64	63, 27	sqmuld 10669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴)↑2) = ((𝐶↑2) · (𝐴↑2)))
65	8	zcnd 9379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
66	63, 65	sqmuld 10669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵)↑2) = ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)))
67	64, 66	oveq12d 5896	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) = (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) + ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))))
68	63	sqcld 10655	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
69	53	zcnd 9379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
70	65	sqcld 10655	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
71	68, 69, 70	adddid 7985	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) · ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) + ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))))
72	67, 71	eqtr4d 2213	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) = ((𝐶↑2) · ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))
73	2	nncnd 8936	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
74	47	zcnd 9379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
75	73, 74	mulcomd 7982	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = (𝑃 · 𝑁))
76	14, 75	eqtr3d 2212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝑃 · 𝑁))
77	76	oveq2d 5894	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) · ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = ((𝐶↑2) · (𝑃 · 𝑁)))
78	68, 74, 73	mul12d 8112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) · (𝑃 · 𝑁)) = (𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)))
79	77, 78	eqtrd 2210	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) · ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = (𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)))
80	72, 79	eqtrd 2210	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) = (𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)))
81	27, 34	sqmuld 10669	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷)↑2) = ((𝐴↑2) · (𝐷↑2)))
82	34	sqcld 10655	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
83	69, 82	mulcomd 7982	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) = ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)))
84	81, 83	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷)↑2) = ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)))
85	64, 84	oveq12d 5896	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))))
86	49	zcnd 9379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
87	86, 82, 69	adddird 7986	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) · (𝐴↑2)) = (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))))
88	85, 87	eqtr4d 2213	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) · (𝐴↑2)))
89	16	oveq1d 5893	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝐴↑2)) = (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) · (𝐴↑2)))
90	88, 89	eqtr4d 2213	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (𝑃 · (𝐴↑2)))
91	80, 90	oveq12d 5896	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) − (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2))) = ((𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)) − (𝑃 · (𝐴↑2))))
92	51	zcnd 9379	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) · 𝑁) ∈ ℂ)
93	74, 92, 69	subdid 8374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))) = ((𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)) − (𝑃 · (𝐴↑2))))
94	91, 93	eqtr4d 2213	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) − (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2))) = (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))))
95	62, 94	eqtr3d 2212	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐵)↑2) − ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))))
96		subsq 10630	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ) → (((𝐶 · 𝐵)↑2) − ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
97	38, 40, 96	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐵)↑2) − ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
98	95, 97	eqtr3d 2212	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))) = (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
99	56, 98	breqtrd 4031	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
100	37, 39	zaddcld 9382	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∈ ℤ)
101	37, 39	zsubcld 9383	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)) ∈ ℤ)
102		euclemma 12149	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∈ ℤ ∧ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) ↔ (𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)))))
103	4, 100, 101, 102	syl3anc 1238	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) ↔ (𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)))))
104	99, 103	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
105	19, 45, 104	mpjaodan 798	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑆)

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∨ wo 708 = wceq 1353 ∈ wcel 2148 class class class wbr 4005 ↦ cmpt 4066 ran crn 4629 ‘cfv 5218 (class class class)co 5878 ℂcc 7812 + caddc 7817 · cmul 7819 − cmin 8131 -cneg 8132 ℕcn 8922 2c2 8973 ℤcz 9256 ↑cexp 10522 abscabs 11009 ∥ cdvds 11797 ℙcprime 12110 ℤ[i]cgz 12370

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4120 ax-sep 4123 ax-nul 4131 ax-pow 4176 ax-pr 4211 ax-un 4435 ax-setind 4538 ax-iinf 4589 ax-cnex 7905 ax-resscn 7906 ax-1cn 7907 ax-1re 7908 ax-icn 7909 ax-addcl 7910 ax-addrcl 7911 ax-mulcl 7912 ax-mulrcl 7913 ax-addcom 7914 ax-mulcom 7915 ax-addass 7916 ax-mulass 7917 ax-distr 7918 ax-i2m1 7919 ax-0lt1 7920 ax-1rid 7921 ax-0id 7922 ax-rnegex 7923 ax-precex 7924 ax-cnre 7925 ax-pre-ltirr 7926 ax-pre-ltwlin 7927 ax-pre-lttrn 7928 ax-pre-apti 7929 ax-pre-ltadd 7930 ax-pre-mulgt0 7931 ax-pre-mulext 7932 ax-arch 7933 ax-caucvg 7934

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2741 df-sbc 2965 df-csb 3060 df-dif 3133 df-un 3135 df-in 3137 df-ss 3144 df-nul 3425 df-if 3537 df-pw 3579 df-sn 3600 df-pr 3601 df-op 3603 df-uni 3812 df-int 3847 df-iun 3890 df-br 4006 df-opab 4067 df-mpt 4068 df-tr 4104 df-id 4295 df-po 4298 df-iso 4299 df-iord 4368 df-on 4370 df-ilim 4371 df-suc 4373 df-iom 4592 df-xp 4634 df-rel 4635 df-cnv 4636 df-co 4637 df-dm 4638 df-rn 4639 df-res 4640 df-ima 4641 df-iota 5180 df-fun 5220 df-fn 5221 df-f 5222 df-f1 5223 df-fo 5224 df-f1o 5225 df-fv 5226 df-riota 5834 df-ov 5881 df-oprab 5882 df-mpo 5883 df-1st 6144 df-2nd 6145 df-recs 6309 df-frec 6395 df-1o 6420 df-2o 6421 df-er 6538 df-en 6744 df-sup 6986 df-pnf 7997 df-mnf 7998 df-xr 7999 df-ltxr 8000 df-le 8001 df-sub 8133 df-neg 8134 df-reap 8535 df-ap 8542 df-div 8633 df-inn 8923 df-2 8981 df-3 8982 df-4 8983 df-n0 9180 df-z 9257 df-uz 9532 df-q 9623 df-rp 9657 df-fz 10012 df-fzo 10146 df-fl 10273 df-mod 10326 df-seqfrec 10449 df-exp 10523 df-cj 10854 df-re 10855 df-im 10856 df-rsqrt 11010 df-abs 11011 df-dvds 11798 df-gcd 11947 df-prm 12111 df-gz 12371

This theorem is referenced by: 2sqlem5 14606

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