ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2sqlem4 GIF version

Theorem 2sqlem4 14121
Description: Lemma for 2sqlem5 14122. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2sqlem5.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2sqlem5.2 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
2sqlem4.3 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2sqlem4.4 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
2sqlem4.5 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
2sqlem4.6 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
2sqlem4.7 (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
2sqlem4.8 (𝜑𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
Assertion
Ref Expression
2sqlem4 (𝜑𝑁𝑆)

Proof of Theorem 2sqlem4
StepHypRef Expression
1 2sq.1 . . 3 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2 2sqlem5.1 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
32adantr 276 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑁 ∈ ℕ)
4 2sqlem5.2 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
54adantr 276 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 ∈ ℙ)
6 2sqlem4.3 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
76adantr 276 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝐴 ∈ ℤ)
8 2sqlem4.4 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
98adantr 276 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝐵 ∈ ℤ)
10 2sqlem4.5 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
1110adantr 276 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝐶 ∈ ℤ)
12 2sqlem4.6 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
1312adantr 276 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝐷 ∈ ℤ)
14 2sqlem4.7 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
1514adantr 276 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → (𝑁 · 𝑃) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
16 2sqlem4.8 . . . 4 (𝜑𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
1716adantr 276 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
18 simpr 110 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)))
191, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 182sqlem3 14120 . 2 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑁𝑆)
202adantr 276 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑁 ∈ ℕ)
214adantr 276 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 ∈ ℙ)
226znegcld 9366 . . . 4 (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)
2322adantr 276 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → -𝐴 ∈ ℤ)
248adantr 276 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝐵 ∈ ℤ)
2510adantr 276 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝐶 ∈ ℤ)
2612adantr 276 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝐷 ∈ ℤ)
276zcnd 9365 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
28 sqneg 10565 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
2927, 28syl 14 . . . . . 6 (𝜑 → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
3029oveq1d 5884 . . . . 5 (𝜑 → ((-𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
3114, 30eqtr4d 2213 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = ((-𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
3231adantr 276 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → (𝑁 · 𝑃) = ((-𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
3316adantr 276 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
3412zcnd 9365 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
3527, 34mulneg1d 8358 . . . . . . 7 (𝜑 → (-𝐴 · 𝐷) = -(𝐴 · 𝐷))
3635oveq2d 5885 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (-𝐴 · 𝐷)) = ((𝐶 · 𝐵) + -(𝐴 · 𝐷)))
3710, 8zmulcld 9370 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℤ)
3837zcnd 9365 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
396, 12zmulcld 9370 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℤ)
4039zcnd 9365 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
4138, 40negsubd 8264 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + -(𝐴 · 𝐷)) = ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)))
4236, 41eqtrd 2210 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (-𝐴 · 𝐷)) = ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)))
4342breq2d 4012 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (-𝐴 · 𝐷)) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
4443biimpar 297 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (-𝐴 · 𝐷)))
451, 20, 21, 23, 24, 25, 26, 32, 33, 442sqlem3 14120 . 2 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑁𝑆)
46 prmz 12094 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
474, 46syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
48 zsqcl 10576 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
4910, 48syl 14 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
502nnzd 9363 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
5149, 50zmulcld 9370 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶↑2) · 𝑁) ∈ ℤ)
52 zsqcl 10576 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
536, 52syl 14 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
5451, 53zsubcld 9369 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2)) ∈ ℤ)
55 dvdsmul1 11804 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2)) ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))))
5647, 54, 55syl2anc 411 . . . 4 (𝜑𝑃 ∥ (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))))
5710, 6zmulcld 9370 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℤ)
5857zcnd 9365 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℂ)
5958sqcld 10637 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴)↑2) ∈ ℂ)
6038sqcld 10637 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
6140sqcld 10637 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷)↑2) ∈ ℂ)
6259, 60, 61pnpcand 8295 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) − (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2))) = (((𝐶 · 𝐵)↑2) − ((𝐴 · 𝐷)↑2)))
6310zcnd 9365 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
6463, 27sqmuld 10651 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴)↑2) = ((𝐶↑2) · (𝐴↑2)))
658zcnd 9365 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
6663, 65sqmuld 10651 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵)↑2) = ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)))
6764, 66oveq12d 5887 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) = (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) + ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))))
6863sqcld 10637 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
6953zcnd 9365 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
7065sqcld 10637 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
7168, 69, 70adddid 7972 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶↑2) · ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) + ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))))
7267, 71eqtr4d 2213 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) = ((𝐶↑2) · ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))
732nncnd 8922 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
7447zcnd 9365 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
7573, 74mulcomd 7969 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = (𝑃 · 𝑁))
7614, 75eqtr3d 2212 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝑃 · 𝑁))
7776oveq2d 5885 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶↑2) · ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = ((𝐶↑2) · (𝑃 · 𝑁)))
7868, 74, 73mul12d 8099 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶↑2) · (𝑃 · 𝑁)) = (𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)))
7977, 78eqtrd 2210 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶↑2) · ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = (𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)))
8072, 79eqtrd 2210 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) = (𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)))
8127, 34sqmuld 10651 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷)↑2) = ((𝐴↑2) · (𝐷↑2)))
8234sqcld 10637 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
8369, 82mulcomd 7969 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) = ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)))
8481, 83eqtrd 2210 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷)↑2) = ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)))
8564, 84oveq12d 5887 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))))
8649zcnd 9365 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
8786, 82, 69adddird 7973 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) · (𝐴↑2)) = (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))))
8885, 87eqtr4d 2213 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) · (𝐴↑2)))
8916oveq1d 5884 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 · (𝐴↑2)) = (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) · (𝐴↑2)))
9088, 89eqtr4d 2213 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (𝑃 · (𝐴↑2)))
9180, 90oveq12d 5887 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) − (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2))) = ((𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)) − (𝑃 · (𝐴↑2))))
9251zcnd 9365 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶↑2) · 𝑁) ∈ ℂ)
9374, 92, 69subdid 8361 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))) = ((𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)) − (𝑃 · (𝐴↑2))))
9491, 93eqtr4d 2213 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) − (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2))) = (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))))
9562, 94eqtr3d 2212 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐵)↑2) − ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))))
96 subsq 10612 . . . . . 6 (((𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ) → (((𝐶 · 𝐵)↑2) − ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
9738, 40, 96syl2anc 411 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐵)↑2) − ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
9895, 97eqtr3d 2212 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))) = (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
9956, 98breqtrd 4026 . . 3 (𝜑𝑃 ∥ (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
10037, 39zaddcld 9368 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∈ ℤ)
10137, 39zsubcld 9369 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)) ∈ ℤ)
102 euclemma 12129 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∈ ℤ ∧ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) ↔ (𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)))))
1034, 100, 101, 102syl3anc 1238 . . 3 (𝜑 → (𝑃 ∥ (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) ↔ (𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)))))
10499, 103mpbid 147 . 2 (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
10519, 45, 104mpjaodan 798 1 (𝜑𝑁𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4000  cmpt 4061  ran crn 4624  cfv 5212  (class class class)co 5869  cc 7800   + caddc 7805   · cmul 7807  cmin 8118  -cneg 8119  cn 8908  2c2 8959  cz 9242  cexp 10505  abscabs 10990  cdvds 11778  cprime 12090  ℤ[i]cgz 12350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-1o 6411  df-2o 6412  df-er 6529  df-en 6735  df-sup 6977  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-fl 10256  df-mod 10309  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-dvds 11779  df-gcd 11927  df-prm 12091  df-gz 12351
This theorem is referenced by:  2sqlem5  14122
  Copyright terms: Public domain W3C validator