ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2sqlem4 GIF version

Theorem 2sqlem4 14023
Description: Lemma for 2sqlem5 14024. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2sqlem5.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2sqlem5.2 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
2sqlem4.3 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2sqlem4.4 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
2sqlem4.5 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
2sqlem4.6 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
2sqlem4.7 (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
2sqlem4.8 (𝜑𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
Assertion
Ref Expression
2sqlem4 (𝜑𝑁𝑆)

Proof of Theorem 2sqlem4
StepHypRef Expression
1 2sq.1 . . 3 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2 2sqlem5.1 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
32adantr 276 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑁 ∈ ℕ)
4 2sqlem5.2 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
54adantr 276 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 ∈ ℙ)
6 2sqlem4.3 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
76adantr 276 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝐴 ∈ ℤ)
8 2sqlem4.4 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
98adantr 276 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝐵 ∈ ℤ)
10 2sqlem4.5 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
1110adantr 276 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝐶 ∈ ℤ)
12 2sqlem4.6 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
1312adantr 276 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝐷 ∈ ℤ)
14 2sqlem4.7 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
1514adantr 276 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → (𝑁 · 𝑃) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
16 2sqlem4.8 . . . 4 (𝜑𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
1716adantr 276 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
18 simpr 110 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)))
191, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 182sqlem3 14022 . 2 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑁𝑆)
202adantr 276 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑁 ∈ ℕ)
214adantr 276 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 ∈ ℙ)
226znegcld 9348 . . . 4 (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)
2322adantr 276 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → -𝐴 ∈ ℤ)
248adantr 276 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝐵 ∈ ℤ)
2510adantr 276 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝐶 ∈ ℤ)
2612adantr 276 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝐷 ∈ ℤ)
276zcnd 9347 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
28 sqneg 10547 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
2927, 28syl 14 . . . . . 6 (𝜑 → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
3029oveq1d 5880 . . . . 5 (𝜑 → ((-𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
3114, 30eqtr4d 2211 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = ((-𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
3231adantr 276 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → (𝑁 · 𝑃) = ((-𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
3316adantr 276 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
3412zcnd 9347 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
3527, 34mulneg1d 8342 . . . . . . 7 (𝜑 → (-𝐴 · 𝐷) = -(𝐴 · 𝐷))
3635oveq2d 5881 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (-𝐴 · 𝐷)) = ((𝐶 · 𝐵) + -(𝐴 · 𝐷)))
3710, 8zmulcld 9352 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℤ)
3837zcnd 9347 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
396, 12zmulcld 9352 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℤ)
4039zcnd 9347 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
4138, 40negsubd 8248 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + -(𝐴 · 𝐷)) = ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)))
4236, 41eqtrd 2208 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (-𝐴 · 𝐷)) = ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)))
4342breq2d 4010 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (-𝐴 · 𝐷)) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
4443biimpar 297 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (-𝐴 · 𝐷)))
451, 20, 21, 23, 24, 25, 26, 32, 33, 442sqlem3 14022 . 2 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑁𝑆)
46 prmz 12076 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
474, 46syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
48 zsqcl 10558 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
4910, 48syl 14 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
502nnzd 9345 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
5149, 50zmulcld 9352 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶↑2) · 𝑁) ∈ ℤ)
52 zsqcl 10558 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
536, 52syl 14 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
5451, 53zsubcld 9351 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2)) ∈ ℤ)
55 dvdsmul1 11786 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2)) ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))))
5647, 54, 55syl2anc 411 . . . 4 (𝜑𝑃 ∥ (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))))
5710, 6zmulcld 9352 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℤ)
5857zcnd 9347 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℂ)
5958sqcld 10619 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴)↑2) ∈ ℂ)
6038sqcld 10619 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
6140sqcld 10619 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷)↑2) ∈ ℂ)
6259, 60, 61pnpcand 8279 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) − (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2))) = (((𝐶 · 𝐵)↑2) − ((𝐴 · 𝐷)↑2)))
6310zcnd 9347 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
6463, 27sqmuld 10633 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴)↑2) = ((𝐶↑2) · (𝐴↑2)))
658zcnd 9347 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
6663, 65sqmuld 10633 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵)↑2) = ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)))
6764, 66oveq12d 5883 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) = (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) + ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))))
6863sqcld 10619 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
6953zcnd 9347 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
7065sqcld 10619 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
7168, 69, 70adddid 7956 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶↑2) · ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) + ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))))
7267, 71eqtr4d 2211 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) = ((𝐶↑2) · ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))
732nncnd 8904 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
7447zcnd 9347 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
7573, 74mulcomd 7953 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = (𝑃 · 𝑁))
7614, 75eqtr3d 2210 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝑃 · 𝑁))
7776oveq2d 5881 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶↑2) · ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = ((𝐶↑2) · (𝑃 · 𝑁)))
7868, 74, 73mul12d 8083 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶↑2) · (𝑃 · 𝑁)) = (𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)))
7977, 78eqtrd 2208 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶↑2) · ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = (𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)))
8072, 79eqtrd 2208 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) = (𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)))
8127, 34sqmuld 10633 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷)↑2) = ((𝐴↑2) · (𝐷↑2)))
8234sqcld 10619 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
8369, 82mulcomd 7953 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) = ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)))
8481, 83eqtrd 2208 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷)↑2) = ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)))
8564, 84oveq12d 5883 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))))
8649zcnd 9347 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
8786, 82, 69adddird 7957 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) · (𝐴↑2)) = (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))))
8885, 87eqtr4d 2211 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) · (𝐴↑2)))
8916oveq1d 5880 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 · (𝐴↑2)) = (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) · (𝐴↑2)))
9088, 89eqtr4d 2211 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (𝑃 · (𝐴↑2)))
9180, 90oveq12d 5883 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) − (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2))) = ((𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)) − (𝑃 · (𝐴↑2))))
9251zcnd 9347 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶↑2) · 𝑁) ∈ ℂ)
9374, 92, 69subdid 8345 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))) = ((𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)) − (𝑃 · (𝐴↑2))))
9491, 93eqtr4d 2211 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) − (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2))) = (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))))
9562, 94eqtr3d 2210 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐵)↑2) − ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))))
96 subsq 10594 . . . . . 6 (((𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ) → (((𝐶 · 𝐵)↑2) − ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
9738, 40, 96syl2anc 411 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐵)↑2) − ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
9895, 97eqtr3d 2210 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))) = (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
9956, 98breqtrd 4024 . . 3 (𝜑𝑃 ∥ (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
10037, 39zaddcld 9350 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∈ ℤ)
10137, 39zsubcld 9351 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)) ∈ ℤ)
102 euclemma 12111 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∈ ℤ ∧ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) ↔ (𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)))))
1034, 100, 101, 102syl3anc 1238 . . 3 (𝜑 → (𝑃 ∥ (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) ↔ (𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)))))
10499, 103mpbid 147 . 2 (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
10519, 45, 104mpjaodan 798 1 (𝜑𝑁𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708   = wceq 1353  wcel 2146   class class class wbr 3998  cmpt 4059  ran crn 4621  cfv 5208  (class class class)co 5865  cc 7784   + caddc 7789   · cmul 7791  cmin 8102  -cneg 8103  cn 8890  2c2 8941  cz 9224  cexp 10487  abscabs 10972  cdvds 11760  cprime 12072  ℤ[i]cgz 12332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-1o 6407  df-2o 6408  df-er 6525  df-en 6731  df-sup 6973  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-q 9591  df-rp 9623  df-fz 9978  df-fzo 10111  df-fl 10238  df-mod 10291  df-seqfrec 10414  df-exp 10488  df-cj 10817  df-re 10818  df-im 10819  df-rsqrt 10973  df-abs 10974  df-dvds 11761  df-gcd 11909  df-prm 12073  df-gz 12333
This theorem is referenced by:  2sqlem5  14024
  Copyright terms: Public domain W3C validator