2sqlem4 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem 2sqlem4 14023

Description: Lemma for 2sqlem5 14024. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2sq.1	⊢ 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2sqlem5.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2sqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2sqlem4.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2sqlem4.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
2sqlem4.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
2sqlem4.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
2sqlem4.7	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
2sqlem4.8	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))

**Assertion**
Ref	Expression
2sqlem4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑆)

**Proof of Theorem 2sqlem4**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sq.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2		2sqlem5.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑁 ∈ ℕ)
4		2sqlem5.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
5	4	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 ∈ ℙ)
6		2sqlem4.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
7	6	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝐴 ∈ ℤ)
8		2sqlem4.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
9	8	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝐵 ∈ ℤ)
10		2sqlem4.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
11	10	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝐶 ∈ ℤ)
12		2sqlem4.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
13	12	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝐷 ∈ ℤ)
14		2sqlem4.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
15	14	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → (𝑁 · 𝑃) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
16		2sqlem4.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
17	16	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
18		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)))
19	1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 18	2sqlem3 14022	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑁 ∈ 𝑆)
20	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑁 ∈ ℕ)
21	4	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 ∈ ℙ)
22	6	znegcld 9348	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)
23	22	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → -𝐴 ∈ ℤ)
24	8	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝐵 ∈ ℤ)
25	10	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝐶 ∈ ℤ)
26	12	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝐷 ∈ ℤ)
27	6	zcnd 9347	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
28		sqneg 10547	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
29	27, 28	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
30	29	oveq1d 5880	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
31	14, 30	eqtr4d 2211	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = ((-𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
32	31	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → (𝑁 · 𝑃) = ((-𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
33	16	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
34	12	zcnd 9347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
35	27, 34	mulneg1d 8342	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐷) = -(𝐴 · 𝐷))
36	35	oveq2d 5881	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (-𝐴 · 𝐷)) = ((𝐶 · 𝐵) + -(𝐴 · 𝐷)))
37	10, 8	zmulcld 9352	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℤ)
38	37	zcnd 9347	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
39	6, 12	zmulcld 9352	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℤ)
40	39	zcnd 9347	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
41	38, 40	negsubd 8248	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + -(𝐴 · 𝐷)) = ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)))
42	36, 41	eqtrd 2208	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (-𝐴 · 𝐷)) = ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)))
43	42	breq2d 4010	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (-𝐴 · 𝐷)) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
44	43	biimpar 297	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (-𝐴 · 𝐷)))
45	1, 20, 21, 23, 24, 25, 26, 32, 33, 44	2sqlem3 14022	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑁 ∈ 𝑆)
46		prmz 12076	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
47	4, 46	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
48		zsqcl 10558	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
49	10, 48	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
50	2	nnzd 9345	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
51	49, 50	zmulcld 9352	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) · 𝑁) ∈ ℤ)
52		zsqcl 10558	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
53	6, 52	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
54	51, 53	zsubcld 9351	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2)) ∈ ℤ)
55		dvdsmul1 11786	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2)) ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))))
56	47, 54, 55	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))))
57	10, 6	zmulcld 9352	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℤ)
58	57	zcnd 9347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℂ)
59	58	sqcld 10619	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴)↑2) ∈ ℂ)
60	38	sqcld 10619	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
61	40	sqcld 10619	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷)↑2) ∈ ℂ)
62	59, 60, 61	pnpcand 8279	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) − (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2))) = (((𝐶 · 𝐵)↑2) − ((𝐴 · 𝐷)↑2)))
63	10	zcnd 9347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
64	63, 27	sqmuld 10633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴)↑2) = ((𝐶↑2) · (𝐴↑2)))
65	8	zcnd 9347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
66	63, 65	sqmuld 10633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵)↑2) = ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)))
67	64, 66	oveq12d 5883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) = (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) + ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))))
68	63	sqcld 10619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
69	53	zcnd 9347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
70	65	sqcld 10619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
71	68, 69, 70	adddid 7956	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) · ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) + ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))))
72	67, 71	eqtr4d 2211	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) = ((𝐶↑2) · ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))
73	2	nncnd 8904	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
74	47	zcnd 9347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
75	73, 74	mulcomd 7953	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = (𝑃 · 𝑁))
76	14, 75	eqtr3d 2210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝑃 · 𝑁))
77	76	oveq2d 5881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) · ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = ((𝐶↑2) · (𝑃 · 𝑁)))
78	68, 74, 73	mul12d 8083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) · (𝑃 · 𝑁)) = (𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)))
79	77, 78	eqtrd 2208	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) · ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = (𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)))
80	72, 79	eqtrd 2208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) = (𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)))
81	27, 34	sqmuld 10633	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷)↑2) = ((𝐴↑2) · (𝐷↑2)))
82	34	sqcld 10619	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
83	69, 82	mulcomd 7953	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) = ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)))
84	81, 83	eqtrd 2208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷)↑2) = ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)))
85	64, 84	oveq12d 5883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))))
86	49	zcnd 9347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
87	86, 82, 69	adddird 7957	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) · (𝐴↑2)) = (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))))
88	85, 87	eqtr4d 2211	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) · (𝐴↑2)))
89	16	oveq1d 5880	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝐴↑2)) = (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) · (𝐴↑2)))
90	88, 89	eqtr4d 2211	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (𝑃 · (𝐴↑2)))
91	80, 90	oveq12d 5883	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) − (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2))) = ((𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)) − (𝑃 · (𝐴↑2))))
92	51	zcnd 9347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) · 𝑁) ∈ ℂ)
93	74, 92, 69	subdid 8345	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))) = ((𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)) − (𝑃 · (𝐴↑2))))
94	91, 93	eqtr4d 2211	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) − (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2))) = (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))))
95	62, 94	eqtr3d 2210	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐵)↑2) − ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))))
96		subsq 10594	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ) → (((𝐶 · 𝐵)↑2) − ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
97	38, 40, 96	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐵)↑2) − ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
98	95, 97	eqtr3d 2210	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))) = (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
99	56, 98	breqtrd 4024	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
100	37, 39	zaddcld 9350	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∈ ℤ)
101	37, 39	zsubcld 9351	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)) ∈ ℤ)
102		euclemma 12111	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∈ ℤ ∧ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) ↔ (𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)))))
103	4, 100, 101, 102	syl3anc 1238	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) ↔ (𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)))))
104	99, 103	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
105	19, 45, 104	mpjaodan 798	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑆)

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∨ wo 708 = wceq 1353 ∈ wcel 2146 class class class wbr 3998 ↦ cmpt 4059 ran crn 4621 ‘cfv 5208 (class class class)co 5865 ℂcc 7784 + caddc 7789 · cmul 7791 − cmin 8102 -cneg 8103 ℕcn 8890 2c2 8941 ℤcz 9224 ↑cexp 10487 abscabs 10972 ∥ cdvds 11760 ℙcprime 12072 ℤ[i]cgz 12332

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1445 ax-7 1446 ax-gen 1447 ax-ie1 1491 ax-ie2 1492 ax-8 1502 ax-10 1503 ax-11 1504 ax-i12 1505 ax-bndl 1507 ax-4 1508 ax-17 1524 ax-i9 1528 ax-ial 1532 ax-i5r 1533 ax-13 2148 ax-14 2149 ax-ext 2157 ax-coll 4113 ax-sep 4116 ax-nul 4124 ax-pow 4169 ax-pr 4203 ax-un 4427 ax-setind 4530 ax-iinf 4581 ax-cnex 7877 ax-resscn 7878 ax-1cn 7879 ax-1re 7880 ax-icn 7881 ax-addcl 7882 ax-addrcl 7883 ax-mulcl 7884 ax-mulrcl 7885 ax-addcom 7886 ax-mulcom 7887 ax-addass 7888 ax-mulass 7889 ax-distr 7890 ax-i2m1 7891 ax-0lt1 7892 ax-1rid 7893 ax-0id 7894 ax-rnegex 7895 ax-precex 7896 ax-cnre 7897 ax-pre-ltirr 7898 ax-pre-ltwlin 7899 ax-pre-lttrn 7900 ax-pre-apti 7901 ax-pre-ltadd 7902 ax-pre-mulgt0 7903 ax-pre-mulext 7904 ax-arch 7905 ax-caucvg 7906

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1459 df-sb 1761 df-eu 2027 df-mo 2028 df-clab 2162 df-cleq 2168 df-clel 2171 df-nfc 2306 df-ne 2346 df-nel 2441 df-ral 2458 df-rex 2459 df-reu 2460 df-rmo 2461 df-rab 2462 df-v 2737 df-sbc 2961 df-csb 3056 df-dif 3129 df-un 3131 df-in 3133 df-ss 3140 df-nul 3421 df-if 3533 df-pw 3574 df-sn 3595 df-pr 3596 df-op 3598 df-uni 3806 df-int 3841 df-iun 3884 df-br 3999 df-opab 4060 df-mpt 4061 df-tr 4097 df-id 4287 df-po 4290 df-iso 4291 df-iord 4360 df-on 4362 df-ilim 4363 df-suc 4365 df-iom 4584 df-xp 4626 df-rel 4627 df-cnv 4628 df-co 4629 df-dm 4630 df-rn 4631 df-res 4632 df-ima 4633 df-iota 5170 df-fun 5210 df-fn 5211 df-f 5212 df-f1 5213 df-fo 5214 df-f1o 5215 df-fv 5216 df-riota 5821 df-ov 5868 df-oprab 5869 df-mpo 5870 df-1st 6131 df-2nd 6132 df-recs 6296 df-frec 6382 df-1o 6407 df-2o 6408 df-er 6525 df-en 6731 df-sup 6973 df-pnf 7968 df-mnf 7969 df-xr 7970 df-ltxr 7971 df-le 7972 df-sub 8104 df-neg 8105 df-reap 8506 df-ap 8513 df-div 8602 df-inn 8891 df-2 8949 df-3 8950 df-4 8951 df-n0 9148 df-z 9225 df-uz 9500 df-q 9591 df-rp 9623 df-fz 9978 df-fzo 10111 df-fl 10238 df-mod 10291 df-seqfrec 10414 df-exp 10488 df-cj 10817 df-re 10818 df-im 10819 df-rsqrt 10973 df-abs 10974 df-dvds 11761 df-gcd 11909 df-prm 12073 df-gz 12333

This theorem is referenced by: 2sqlem5 14024

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