ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tangtx GIF version

Theorem tangtx 12929
Description: The tangent function is greater than its argument on positive reals in its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
tangtx (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < (tan‘𝐴))

Proof of Theorem tangtx
StepHypRef Expression
1 elioore 9702 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
21recoscld 11438 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
31, 2remulcld 7803 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
4 1re 7772 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
5 rehalfcl 8954 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
61, 5syl 14 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
76resqcld 10457 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℝ)
8 3nn 8889 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ
9 nndivre 8763 . . . . . . . 8 ((((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ)
107, 8, 9sylancl 409 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ)
11 resubcl 8033 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ) → (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
124, 10, 11sylancr 410 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
131, 12remulcld 7803 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ)
14 2re 8797 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
15 remulcl 7755 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ) → (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
1614, 10, 15sylancr 410 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
17 resubcl 8033 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ) → (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ)
184, 16, 17sylancr 410 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ)
1913, 18remulcld 7803 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ∈ ℝ)
201resincld 11437 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
2112resqcld 10457 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ∈ ℝ)
22 remulcl 7755 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ∈ ℝ) → (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) ∈ ℝ)
2314, 21, 22sylancr 410 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) ∈ ℝ)
24 resubcl 8033 . . . . . . . 8 (((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1) ∈ ℝ)
2523, 4, 24sylancl 409 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1) ∈ ℝ)
2612, 18remulcld 7803 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ∈ ℝ)
271recnd 7801 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
28 2cn 8798 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
2928a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 2 ∈ ℂ)
30 2ap0 8820 . . . . . . . . . . . 12 2 # 0
3130a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 2 # 0)
3227, 29, 31divcanap2d 8559 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
3332fveq2d 5425 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = (cos‘𝐴))
346recnd 7801 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
35 cos2t 11464 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
3634, 35syl 14 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
3733, 36eqtr3d 2174 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘𝐴) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
386recoscld 11438 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
3938resqcld 10457 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℝ)
40 remulcl 7755 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ ∧ ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℝ) → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℝ)
4114, 39, 40sylancr 410 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℝ)
424a1i 9 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 1 ∈ ℝ)
4314a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 2 ∈ ℝ)
44 eliooord 9718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < 𝐴𝐴 < (π / 2)))
4544simpld 111 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < 𝐴)
46 2pos 8818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 2
4746a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < 2)
481, 43, 45, 47divgt0d 8700 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (𝐴 / 2))
49 pire 12877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 π ∈ ℝ
50 rehalfcl 8954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ)
5149, 50mp1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (π / 2) ∈ ℝ)
5244simprd 113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < (π / 2))
53 pigt2lt4 12875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 < π ∧ π < 4)
5453simpri 112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 π < 4
55 2t2e4 8881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 · 2) = 4
5654, 55breqtrri 3955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 π < (2 · 2)
5714, 46pm3.2i 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
58 ltdivmul 8641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((π / 2) < 2 ↔ π < (2 · 2)))
5949, 14, 57, 58mp3an 1315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π / 2) < 2 ↔ π < (2 · 2))
6056, 59mpbir 145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π / 2) < 2
6160a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (π / 2) < 2)
621, 51, 43, 52, 61lttrd 7895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < 2)
6328mulid2i 7776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 · 2) = 2
6462, 63breqtrrdi 3970 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < (1 · 2))
65 ltdivmul2 8643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝐴 / 2) < 1 ↔ 𝐴 < (1 · 2)))
661, 42, 43, 47, 65syl112anc 1220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) < 1 ↔ 𝐴 < (1 · 2)))
6764, 66mpbird 166 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) < 1)
686, 42, 67ltled 7888 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) ≤ 1)
69 0xr 7819 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ*
70 elioc2 9726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ 1)))
7169, 4, 70mp2an 422 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ 1))
726, 48, 68, 71syl3anbrc 1165 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) ∈ (0(,]1))
73 cos01bnd 11472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) → ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cos‘(𝐴 / 2)) ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) < (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
7472, 73syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cos‘(𝐴 / 2)) ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) < (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
7574simprd 113 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘(𝐴 / 2)) < (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
76 cos01gt0 11476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) → 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))
7772, 76syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))
78 0re 7773 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
79 ltle 7858 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) → (0 < (cos‘(𝐴 / 2)) → 0 ≤ (cos‘(𝐴 / 2))))
8078, 38, 79sylancr 410 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (cos‘(𝐴 / 2)) → 0 ≤ (cos‘(𝐴 / 2))))
8177, 80mpd 13 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 ≤ (cos‘(𝐴 / 2)))
8278a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 ∈ ℝ)
8382, 38, 12, 77, 75lttrd 7895 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
8482, 12, 83ltled 7888 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 ≤ (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
8538, 12, 81, 84lt2sqd 10462 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((cos‘(𝐴 / 2)) < (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ↔ ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)))
8675, 85mpbid 146 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2))
87 ltmul2 8621 . . . . . . . . . . 11 ((((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℝ ∧ ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ↔ (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) < (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2))))
8839, 21, 43, 47, 87syl112anc 1220 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ↔ (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) < (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2))))
8986, 88mpbid 146 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) < (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)))
9041, 23, 42, 89ltsub1dd 8326 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1) < ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1))
9137, 90eqbrtrd 3950 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘𝐴) < ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1))
92 3re 8801 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
93 remulcl 7755 . . . . . . . . . 10 ((3 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ) → (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
9492, 10, 93sylancr 410 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
95 4re 8804 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
96 remulcl 7755 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ) → (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
9795, 10, 96sylancr 410 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
9810resqcld 10457 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) ∈ ℝ)
99 remulcl 7755 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) ∈ ℝ) → (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℝ)
10014, 98, 99sylancr 410 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℝ)
101 readdcl 7753 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℝ) → (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) ∈ ℝ)
1024, 100, 101sylancr 410 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) ∈ ℝ)
103 3lt4 8899 . . . . . . . . . 10 3 < 4
10492a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 3 ∈ ℝ)
10595a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 4 ∈ ℝ)
1066, 48gt0ap0d 8398 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) # 0)
1076, 106sqgt0apd 10459 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < ((𝐴 / 2)↑2))
108 3pos 8821 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 3
109108a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < 3)
1107, 104, 107, 109divgt0d 8700 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (((𝐴 / 2)↑2) / 3))
111 ltmul1 8361 . . . . . . . . . . 11 ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ ∧ 0 < (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) → (3 < 4 ↔ (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) < (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
112104, 105, 10, 110, 111syl112anc 1220 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (3 < 4 ↔ (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) < (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
113103, 112mpbii 147 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) < (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
11494, 97, 102, 113ltsub2dd 8327 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
11542recnd 7801 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 1 ∈ ℂ)
116 ax-1cn 7720 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
117100recnd 7801 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℂ)
118 addcl 7752 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℂ ∧ (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℂ) → (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) ∈ ℂ)
119116, 117, 118sylancr 410 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) ∈ ℂ)
12097recnd 7801 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℂ)
121119, 120subcld 8080 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℂ)
122 sq1 10393 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1↑2) = 1
123122a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1↑2) = 1)
12410recnd 7801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℂ)
125124mulid2d 7791 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = (((𝐴 / 2)↑2) / 3))
126125oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
127123, 126oveq12d 5792 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1↑2) − (2 · (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
128127oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((1↑2) − (2 · (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) = ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
129 binom2sub 10412 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℂ) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) = (((1↑2) − (2 · (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
130116, 124, 129sylancr 410 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) = (((1↑2) − (2 · (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
13198recnd 7801 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) ∈ ℂ)
13216recnd 7801 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℂ)
133115, 131, 132addsubd 8101 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
134128, 130, 1333eqtr4d 2182 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) = ((1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
135134oveq2d 5790 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) = (2 · ((1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
136 addcl 7752 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) ∈ ℂ) → (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℂ)
137116, 131, 136sylancr 410 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℂ)
13829, 137, 132subdid 8183 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((2 · (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (2 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
13929, 115, 131adddid 7797 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = ((2 · 1) + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))))
1401162timesi 8857 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · 1) = (1 + 1)
141140oveq1i 5784 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 1) + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = ((1 + 1) + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
142115, 115, 117addassd 7795 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + 1) + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = (1 + (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))))
143141, 142syl5eq 2184 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · 1) + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = (1 + (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))))
144139, 143eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = (1 + (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))))
14555oveq1i 5784 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))
14629, 29, 124mulassd 7796 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = (2 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
147145, 146syl5reqr 2187 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
148144, 147oveq12d 5792 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (2 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((1 + (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
149115, 119, 120, 148assraddsubd 8137 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (2 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (1 + ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
150135, 138, 1493eqtrd 2176 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) = (1 + ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
151115, 121, 150mvrladdd 8136 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1) = ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
152 subcl 7968 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℂ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℂ) → (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℂ)
153116, 124, 152sylancr 410 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℂ)
154153, 115, 132subdid 8183 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · 1) − ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
155153mulid1d 7790 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · 1) = (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
156115, 124, 132subdird 8184 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((1 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) − ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
157132mulid2d 7791 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
158124, 29, 124mul12d 7921 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
159124sqvald 10428 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) = ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
160159oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) = (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
161158, 160eqtr4d 2175 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
162157, 161oveq12d 5792 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) − ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))))
163156, 162eqtrd 2172 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))))
164155, 163oveq12d 5792 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · 1) − ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − ((2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))))
165115, 124, 132, 117subadd4d 8128 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − ((2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))) = ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
166 df-3 8787 . . . . . . . . . . . . . 14 3 = (2 + 1)
16728, 116addcomi 7913 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 + 1) = (1 + 2)
168166, 167eqtri 2160 . . . . . . . . . . . . 13 3 = (1 + 2)
169168oveq1i 5784 . . . . . . . . . . . 12 (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = ((1 + 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))
170125oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
171115, 124, 29, 170joinlmuladdmuld 7800 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
172169, 171syl5eq 2184 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
173172oveq2d 5790 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
174165, 173eqtr4d 2175 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − ((2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))) = ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
175154, 164, 1743eqtrd 2176 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
176114, 151, 1753brtr4d 3960 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
1772, 25, 26, 91, 176lttrd 7895 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘𝐴) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
178 ltmul2 8621 . . . . . . 7 (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((cos‘𝐴) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ↔ (𝐴 · (cos‘𝐴)) < (𝐴 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))))
1792, 26, 1, 45, 178syl112anc 1220 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((cos‘𝐴) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ↔ (𝐴 · (cos‘𝐴)) < (𝐴 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))))
180177, 179mpbid 146 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (cos‘𝐴)) < (𝐴 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))))
18118recnd 7801 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℂ)
18227, 153, 181mulassd 7796 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (𝐴 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))))
183180, 182breqtrrd 3956 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (cos‘𝐴)) < ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
18413, 38remulcld 7803 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
18574simpld 111 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cos‘(𝐴 / 2)))
1861, 12, 45, 83mulgt0d 7892 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
187 ltmul2 8621 . . . . . . 7 (((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))) → ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cos‘(𝐴 / 2)) ↔ ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) < ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
18818, 38, 13, 186, 187syl112anc 1220 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cos‘(𝐴 / 2)) ↔ ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) < ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
189185, 188mpbid 146 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) < ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))))
19029, 34, 153mulassd 7796 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · (𝐴 / 2)) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · ((𝐴 / 2) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
19132oveq1d 5789 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · (𝐴 / 2)) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
19234, 115, 124subdid 8183 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (((𝐴 / 2) · 1) − ((𝐴 / 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
19334mulid1d 7790 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) · 1) = (𝐴 / 2))
194166oveq2i 5785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 / 2)↑3) = ((𝐴 / 2)↑(2 + 1))
195 2nn0 9001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℕ0
196 expp1 10307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / 2)↑(2 + 1)) = (((𝐴 / 2)↑2) · (𝐴 / 2)))
19734, 195, 196sylancl 409 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑(2 + 1)) = (((𝐴 / 2)↑2) · (𝐴 / 2)))
198194, 197syl5eq 2184 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑3) = (((𝐴 / 2)↑2) · (𝐴 / 2)))
1997recnd 7801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℂ)
200199, 34mulcomd 7794 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2)↑2) · (𝐴 / 2)) = ((𝐴 / 2) · ((𝐴 / 2)↑2)))
201198, 200eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑3) = ((𝐴 / 2) · ((𝐴 / 2)↑2)))
202201oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2)↑3) / 3) = (((𝐴 / 2) · ((𝐴 / 2)↑2)) / 3))
203 3cn 8802 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ∈ ℂ
204203a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 3 ∈ ℂ)
205104, 109gt0ap0d 8398 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 3 # 0)
20634, 199, 204, 205divassapd 8593 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2) · ((𝐴 / 2)↑2)) / 3) = ((𝐴 / 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
207202, 206eqtr2d 2173 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = (((𝐴 / 2)↑3) / 3))
208193, 207oveq12d 5792 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2) · 1) − ((𝐴 / 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)))
209192, 208eqtrd 2172 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)))
210209oveq2d 5790 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((𝐴 / 2) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (2 · ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3))))
211190, 191, 2103eqtr3d 2180 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3))))
212 sin01bnd 11471 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) → (((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ (sin‘(𝐴 / 2)) < (𝐴 / 2)))
21372, 212syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ (sin‘(𝐴 / 2)) < (𝐴 / 2)))
214213simpld 111 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sin‘(𝐴 / 2)))
215 3nn0 9002 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℕ0
216 reexpcl 10317 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / 2)↑3) ∈ ℝ)
2176, 215, 216sylancl 409 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑3) ∈ ℝ)
218 nndivre 8763 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 / 2)↑3) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (((𝐴 / 2)↑3) / 3) ∈ ℝ)
219217, 8, 218sylancl 409 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2)↑3) / 3) ∈ ℝ)
2206, 219resubcld 8150 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) ∈ ℝ)
2216resincld 11437 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
222 ltmul2 8621 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) ∈ ℝ ∧ (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sin‘(𝐴 / 2)) ↔ (2 · ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
223220, 221, 43, 47, 222syl112anc 1220 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sin‘(𝐴 / 2)) ↔ (2 · ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
224214, 223mpbid 146 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2))))
225211, 224eqbrtrd 3950 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2))))
226 remulcl 7755 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) → (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
22714, 221, 226sylancr 410 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
228 ltmul1 8361 . . . . . . . 8 (((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ ∧ (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ ∧ ((cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ↔ ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))) < ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
22913, 227, 38, 77, 228syl112anc 1220 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ↔ ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))) < ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
230225, 229mpbid 146 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))) < ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2))))
231221recnd 7801 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
23238recnd 7801 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
23329, 231, 232mulassd 7796 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
234 sin2t 11463 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
23534, 234syl 14 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
23632fveq2d 5425 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (sin‘𝐴))
237233, 235, 2363eqtr2rd 2179 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘𝐴) = ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2))))
238230, 237breqtrrd 3956 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))) < (sin‘𝐴))
23919, 184, 20, 189, 238lttrd 7895 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) < (sin‘𝐴))
2403, 19, 20, 183, 239lttrd 7895 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (cos‘𝐴)) < (sin‘𝐴))
241 sincosq1sgn 12917 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘𝐴) ∧ 0 < (cos‘𝐴)))
242241simprd 113 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝐴))
243 ltmuldiv 8639 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘𝐴))) → ((𝐴 · (cos‘𝐴)) < (sin‘𝐴) ↔ 𝐴 < ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))))
2441, 20, 2, 242, 243syl112anc 1220 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (cos‘𝐴)) < (sin‘𝐴) ↔ 𝐴 < ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))))
245240, 244mpbid 146 . 2 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
2462, 242gt0ap0d 8398 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘𝐴) # 0)
247 tanvalap 11422 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
24827, 246, 247syl2anc 408 . 2 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
249245, 248breqtrrd 3956 1 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < (tan‘𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 962   = wceq 1331  wcel 1480   class class class wbr 3929  cfv 5123  (class class class)co 5774  cc 7625  cr 7626  0cc0 7627  1c1 7628   + caddc 7630   · cmul 7632  *cxr 7806   < clt 7807  cle 7808  cmin 7940   # cap 8350   / cdiv 8439  cn 8727  2c2 8778  3c3 8779  4c4 8780  0cn0 8984  (,)cioo 9678  (,]cioc 9679  cexp 10299  sincsin 11357  cosccos 11358  tanctan 11359  πcpi 11360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747  ax-pre-suploc 7748  ax-addf 7749  ax-mulf 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-disj 3907  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-of 5982  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-map 6544  df-pm 6545  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-5 8789  df-6 8790  df-7 8791  df-8 8792  df-9 8793  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-xneg 9566  df-xadd 9567  df-ioo 9682  df-ioc 9683  df-ico 9684  df-icc 9685  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-fac 10479  df-bc 10501  df-ihash 10529  df-shft 10594  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055  df-sumdc 11130  df-ef 11361  df-sin 11363  df-cos 11364  df-tan 11365  df-pi 11366  df-rest 12132  df-topgen 12151  df-psmet 12166  df-xmet 12167  df-met 12168  df-bl 12169  df-mopn 12170  df-top 12175  df-topon 12188  df-bases 12220  df-ntr 12275  df-cn 12367  df-cnp 12368  df-tx 12432  df-cncf 12737  df-limced 12804  df-dvap 12805
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator