ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tangtx GIF version

Theorem tangtx 14262
Description: The tangent function is greater than its argument on positive reals in its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
tangtx (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 𝐴 < (tanβ€˜π΄))

Proof of Theorem tangtx
StepHypRef Expression
1 elioore 9912 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
21recoscld 11732 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (cosβ€˜π΄) ∈ ℝ)
31, 2remulcld 7988 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (𝐴 Β· (cosβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
4 1re 7956 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
5 rehalfcl 9146 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
61, 5syl 14 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
76resqcld 10680 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℝ)
8 3nn 9081 . . . . . . . 8 3 ∈ β„•
9 nndivre 8955 . . . . . . . 8 ((((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ β„•) β†’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ)
107, 8, 9sylancl 413 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ)
11 resubcl 8221 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ) β†’ (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
124, 10, 11sylancr 414 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
131, 12remulcld 7988 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ)
14 2re 8989 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
15 remulcl 7939 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ) β†’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
1614, 10, 15sylancr 414 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
17 resubcl 8221 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ) β†’ (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ)
184, 16, 17sylancr 414 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ)
1913, 18remulcld 7988 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) Β· (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ∈ ℝ)
201resincld 11731 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (sinβ€˜π΄) ∈ ℝ)
2112resqcld 10680 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ∈ ℝ)
22 remulcl 7939 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ∈ ℝ) β†’ (2 Β· ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) ∈ ℝ)
2314, 21, 22sylancr 414 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (2 Β· ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) ∈ ℝ)
24 resubcl 8221 . . . . . . . 8 (((2 Β· ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((2 Β· ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
2523, 4, 24sylancl 413 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((2 Β· ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
2612, 18remulcld 7988 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) Β· (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ∈ ℝ)
271recnd 7986 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
28 2cn 8990 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ β„‚
2928a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 2 ∈ β„‚)
30 2ap0 9012 . . . . . . . . . . . 12 2 # 0
3130a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 2 # 0)
3227, 29, 31divcanap2d 8749 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (2 Β· (𝐴 / 2)) = 𝐴)
3332fveq2d 5520 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (cosβ€˜(2 Β· (𝐴 / 2))) = (cosβ€˜π΄))
346recnd 7986 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (𝐴 / 2) ∈ β„‚)
35 cos2t 11758 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜(2 Β· (𝐴 / 2))) = ((2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) βˆ’ 1))
3634, 35syl 14 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (cosβ€˜(2 Β· (𝐴 / 2))) = ((2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) βˆ’ 1))
3733, 36eqtr3d 2212 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (cosβ€˜π΄) = ((2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) βˆ’ 1))
386recoscld 11732 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (cosβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
3938resqcld 10680 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℝ)
40 remulcl 7939 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ ∧ ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℝ) β†’ (2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℝ)
4114, 39, 40sylancr 414 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℝ)
424a1i 9 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 1 ∈ ℝ)
4314a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 2 ∈ ℝ)
44 eliooord 9928 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (Ο€ / 2)))
4544simpld 112 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 0 < 𝐴)
46 2pos 9010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 2
4746a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 0 < 2)
481, 43, 45, 47divgt0d 8892 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 0 < (𝐴 / 2))
49 pire 14210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ο€ ∈ ℝ
50 rehalfcl 9146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Ο€ ∈ ℝ β†’ (Ο€ / 2) ∈ ℝ)
5149, 50mp1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (Ο€ / 2) ∈ ℝ)
5244simprd 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 𝐴 < (Ο€ / 2))
53 pigt2lt4 14208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 < Ο€ ∧ Ο€ < 4)
5453simpri 113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Ο€ < 4
55 2t2e4 9073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 Β· 2) = 4
5654, 55breqtrri 4031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ο€ < (2 Β· 2)
5714, 46pm3.2i 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
58 ltdivmul 8833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((Ο€ ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ ((Ο€ / 2) < 2 ↔ Ο€ < (2 Β· 2)))
5949, 14, 57, 58mp3an 1337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Ο€ / 2) < 2 ↔ Ο€ < (2 Β· 2))
6056, 59mpbir 146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Ο€ / 2) < 2
6160a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (Ο€ / 2) < 2)
621, 51, 43, 52, 61lttrd 8083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 𝐴 < 2)
6328mullidi 7960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 Β· 2) = 2
6462, 63breqtrrdi 4046 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 𝐴 < (1 Β· 2))
65 ltdivmul2 8835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ ((𝐴 / 2) < 1 ↔ 𝐴 < (1 Β· 2)))
661, 42, 43, 47, 65syl112anc 1242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((𝐴 / 2) < 1 ↔ 𝐴 < (1 Β· 2)))
6764, 66mpbird 167 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (𝐴 / 2) < 1)
686, 42, 67ltled 8076 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (𝐴 / 2) ≀ 1)
69 0xr 8004 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ*
70 elioc2 9936 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≀ 1)))
7169, 4, 70mp2an 426 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≀ 1))
726, 48, 68, 71syl3anbrc 1181 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (𝐴 / 2) ∈ (0(,]1))
73 cos01bnd 11766 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) β†’ ((1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cosβ€˜(𝐴 / 2)) ∧ (cosβ€˜(𝐴 / 2)) < (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
7472, 73syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cosβ€˜(𝐴 / 2)) ∧ (cosβ€˜(𝐴 / 2)) < (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
7574simprd 114 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (cosβ€˜(𝐴 / 2)) < (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
76 cos01gt0 11770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) β†’ 0 < (cosβ€˜(𝐴 / 2)))
7772, 76syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 0 < (cosβ€˜(𝐴 / 2)))
78 0re 7957 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
79 ltle 8045 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ (cosβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) β†’ (0 < (cosβ€˜(𝐴 / 2)) β†’ 0 ≀ (cosβ€˜(𝐴 / 2))))
8078, 38, 79sylancr 414 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (0 < (cosβ€˜(𝐴 / 2)) β†’ 0 ≀ (cosβ€˜(𝐴 / 2))))
8177, 80mpd 13 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 0 ≀ (cosβ€˜(𝐴 / 2)))
8278a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 0 ∈ ℝ)
8382, 38, 12, 77, 75lttrd 8083 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 0 < (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
8482, 12, 83ltled 8076 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 0 ≀ (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
8538, 12, 81, 84lt2sqd 10685 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((cosβ€˜(𝐴 / 2)) < (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ↔ ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2) < ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)))
8675, 85mpbid 147 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2) < ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2))
87 ltmul2 8813 . . . . . . . . . . 11 ((((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℝ ∧ ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ (((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2) < ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ↔ (2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) < (2 Β· ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2))))
8839, 21, 43, 47, 87syl112anc 1242 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2) < ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ↔ (2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) < (2 Β· ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2))))
8986, 88mpbid 147 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) < (2 Β· ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)))
9041, 23, 42, 89ltsub1dd 8514 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) βˆ’ 1) < ((2 Β· ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) βˆ’ 1))
9137, 90eqbrtrd 4026 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (cosβ€˜π΄) < ((2 Β· ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) βˆ’ 1))
92 3re 8993 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
93 remulcl 7939 . . . . . . . . . 10 ((3 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ) β†’ (3 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
9492, 10, 93sylancr 414 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (3 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
95 4re 8996 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
96 remulcl 7939 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ) β†’ (4 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
9795, 10, 96sylancr 414 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (4 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
9810resqcld 10680 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) ∈ ℝ)
99 remulcl 7939 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) ∈ ℝ) β†’ (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℝ)
10014, 98, 99sylancr 414 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℝ)
101 readdcl 7937 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℝ) β†’ (1 + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) ∈ ℝ)
1024, 100, 101sylancr 414 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (1 + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) ∈ ℝ)
103 3lt4 9091 . . . . . . . . . 10 3 < 4
10492a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 3 ∈ ℝ)
10595a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 4 ∈ ℝ)
1066, 48gt0ap0d 8586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (𝐴 / 2) # 0)
1076, 106sqgt0apd 10682 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 0 < ((𝐴 / 2)↑2))
108 3pos 9013 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 3
109108a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 0 < 3)
1107, 104, 107, 109divgt0d 8892 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 0 < (((𝐴 / 2)↑2) / 3))
111 ltmul1 8549 . . . . . . . . . . 11 ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ ∧ 0 < (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) β†’ (3 < 4 ↔ (3 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) < (4 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
112104, 105, 10, 110, 111syl112anc 1242 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (3 < 4 ↔ (3 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) < (4 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
113103, 112mpbii 148 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (3 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) < (4 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
11494, 97, 102, 113ltsub2dd 8515 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((1 + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) βˆ’ (4 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < ((1 + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) βˆ’ (3 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
11542recnd 7986 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 1 ∈ β„‚)
116 ax-1cn 7904 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ β„‚
117100recnd 7986 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ β„‚)
118 addcl 7936 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ β„‚ ∧ (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ β„‚) β†’ (1 + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) ∈ β„‚)
119116, 117, 118sylancr 414 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (1 + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) ∈ β„‚)
12097recnd 7986 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (4 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ β„‚)
121119, 120subcld 8268 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((1 + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) βˆ’ (4 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ β„‚)
122 sq1 10614 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1↑2) = 1
123122a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (1↑2) = 1)
12410recnd 7986 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ β„‚)
125124mulid2d 7976 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (1 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = (((𝐴 / 2)↑2) / 3))
126125oveq2d 5891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (2 Β· (1 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
127123, 126oveq12d 5893 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((1↑2) βˆ’ (2 Β· (1 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
128127oveq1d 5890 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (((1↑2) βˆ’ (2 Β· (1 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) = ((1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
129 binom2sub 10634 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ β„‚ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ β„‚) β†’ ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) = (((1↑2) βˆ’ (2 Β· (1 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
130116, 124, 129sylancr 414 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) = (((1↑2) βˆ’ (2 Β· (1 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
13198recnd 7986 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) ∈ β„‚)
13216recnd 7986 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ β„‚)
133115, 131, 132addsubd 8289 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
134128, 130, 1333eqtr4d 2220 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) = ((1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
135134oveq2d 5891 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (2 Β· ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) = (2 Β· ((1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
136 addcl 7936 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ β„‚ ∧ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) ∈ β„‚) β†’ (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ β„‚)
137116, 131, 136sylancr 414 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ β„‚)
13829, 137, 132subdid 8371 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (2 Β· ((1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((2 Β· (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) βˆ’ (2 Β· (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
13929, 115, 131adddid 7982 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (2 Β· (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = ((2 Β· 1) + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))))
1401162timesi 9049 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 Β· 1) = (1 + 1)
141140oveq1i 5885 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 Β· 1) + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = ((1 + 1) + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
142115, 115, 117addassd 7980 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((1 + 1) + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = (1 + (1 + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))))
143141, 142eqtrid 2222 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((2 Β· 1) + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = (1 + (1 + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))))
144139, 143eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (2 Β· (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = (1 + (1 + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))))
14529, 29, 124mulassd 7981 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((2 Β· 2) Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = (2 Β· (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
14655oveq1i 5885 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 Β· 2) Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = (4 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))
147145, 146eqtr3di 2225 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (2 Β· (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (4 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
148144, 147oveq12d 5893 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((2 Β· (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) βˆ’ (2 Β· (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((1 + (1 + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))) βˆ’ (4 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
149115, 119, 120, 148assraddsubd 8325 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((2 Β· (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) βˆ’ (2 Β· (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (1 + ((1 + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) βˆ’ (4 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
150135, 138, 1493eqtrd 2214 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (2 Β· ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) = (1 + ((1 + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) βˆ’ (4 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
151115, 121, 150mvrladdd 8324 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((2 Β· ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) βˆ’ 1) = ((1 + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) βˆ’ (4 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
152 subcl 8156 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ β„‚ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ β„‚)
153116, 124, 152sylancr 414 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ β„‚)
154153, 115, 132subdid 8371 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) Β· (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) Β· 1) βˆ’ ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) Β· (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
155153mulridd 7974 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) Β· 1) = (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
156115, 124, 132subdird 8372 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) Β· (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((1 Β· (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) βˆ’ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) Β· (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
157132mulid2d 7976 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (1 Β· (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
158124, 29, 124mul12d 8109 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) Β· (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
159124sqvald 10651 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) = ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
160159oveq2d 5891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) = (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
161158, 160eqtr4d 2213 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) Β· (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
162157, 161oveq12d 5893 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((1 Β· (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) βˆ’ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) Β· (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) βˆ’ (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))))
163156, 162eqtrd 2210 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) Β· (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) βˆ’ (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))))
164155, 163oveq12d 5893 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) Β· 1) βˆ’ ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) Β· (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) βˆ’ ((2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) βˆ’ (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))))
165115, 124, 132, 117subadd4d 8316 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) βˆ’ ((2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) βˆ’ (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))) = ((1 + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) βˆ’ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
166 df-3 8979 . . . . . . . . . . . . . 14 3 = (2 + 1)
16728, 116addcomi 8101 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 + 1) = (1 + 2)
168166, 167eqtri 2198 . . . . . . . . . . . . 13 3 = (1 + 2)
169168oveq1i 5885 . . . . . . . . . . . 12 (3 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = ((1 + 2) Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))
170125oveq1d 5890 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((1 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) + (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
171115, 124, 29, 170joinlmuladdmuld 7985 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((1 + 2) Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
172169, 171eqtrid 2222 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (3 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
173172oveq2d 5891 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((1 + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) βˆ’ (3 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((1 + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) βˆ’ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
174165, 173eqtr4d 2213 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) βˆ’ ((2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) βˆ’ (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))) = ((1 + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) βˆ’ (3 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
175154, 164, 1743eqtrd 2214 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) Β· (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((1 + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) βˆ’ (3 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
176114, 151, 1753brtr4d 4036 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((2 Β· ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) βˆ’ 1) < ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) Β· (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
1772, 25, 26, 91, 176lttrd 8083 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (cosβ€˜π΄) < ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) Β· (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
178 ltmul2 8813 . . . . . . 7 (((cosβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) Β· (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) β†’ ((cosβ€˜π΄) < ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) Β· (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ↔ (𝐴 Β· (cosβ€˜π΄)) < (𝐴 Β· ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) Β· (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))))
1792, 26, 1, 45, 178syl112anc 1242 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((cosβ€˜π΄) < ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) Β· (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ↔ (𝐴 Β· (cosβ€˜π΄)) < (𝐴 Β· ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) Β· (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))))
180177, 179mpbid 147 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (𝐴 Β· (cosβ€˜π΄)) < (𝐴 Β· ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) Β· (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))))
18118recnd 7986 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ β„‚)
18227, 153, 181mulassd 7981 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) Β· (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (𝐴 Β· ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) Β· (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))))
183180, 182breqtrrd 4032 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (𝐴 Β· (cosβ€˜π΄)) < ((𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) Β· (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
18413, 38remulcld 7988 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
18574simpld 112 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cosβ€˜(𝐴 / 2)))
1861, 12, 45, 83mulgt0d 8080 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 0 < (𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
187 ltmul2 8813 . . . . . . 7 (((1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ ∧ (cosβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))) β†’ ((1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cosβ€˜(𝐴 / 2)) ↔ ((𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) Β· (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) < ((𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2)))))
18818, 38, 13, 186, 187syl112anc 1242 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cosβ€˜(𝐴 / 2)) ↔ ((𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) Β· (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) < ((𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2)))))
189185, 188mpbid 147 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) Β· (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) < ((𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))))
19029, 34, 153mulassd 7981 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((2 Β· (𝐴 / 2)) Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 Β· ((𝐴 / 2) Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
19132oveq1d 5890 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((2 Β· (𝐴 / 2)) Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
19234, 115, 124subdid 8371 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((𝐴 / 2) Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (((𝐴 / 2) Β· 1) βˆ’ ((𝐴 / 2) Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
19334mulridd 7974 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((𝐴 / 2) Β· 1) = (𝐴 / 2))
194166oveq2i 5886 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 / 2)↑3) = ((𝐴 / 2)↑(2 + 1))
195 2nn0 9193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ β„•0
196 expp1 10527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 / 2) ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 / 2)↑(2 + 1)) = (((𝐴 / 2)↑2) Β· (𝐴 / 2)))
19734, 195, 196sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((𝐴 / 2)↑(2 + 1)) = (((𝐴 / 2)↑2) Β· (𝐴 / 2)))
198194, 197eqtrid 2222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((𝐴 / 2)↑3) = (((𝐴 / 2)↑2) Β· (𝐴 / 2)))
1997recnd 7986 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((𝐴 / 2)↑2) ∈ β„‚)
200199, 34mulcomd 7979 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (((𝐴 / 2)↑2) Β· (𝐴 / 2)) = ((𝐴 / 2) Β· ((𝐴 / 2)↑2)))
201198, 200eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((𝐴 / 2)↑3) = ((𝐴 / 2) Β· ((𝐴 / 2)↑2)))
202201oveq1d 5890 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (((𝐴 / 2)↑3) / 3) = (((𝐴 / 2) Β· ((𝐴 / 2)↑2)) / 3))
203 3cn 8994 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ∈ β„‚
204203a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 3 ∈ β„‚)
205104, 109gt0ap0d 8586 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 3 # 0)
20634, 199, 204, 205divassapd 8783 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (((𝐴 / 2) Β· ((𝐴 / 2)↑2)) / 3) = ((𝐴 / 2) Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
207202, 206eqtr2d 2211 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((𝐴 / 2) Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = (((𝐴 / 2)↑3) / 3))
208193, 207oveq12d 5893 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (((𝐴 / 2) Β· 1) βˆ’ ((𝐴 / 2) Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((𝐴 / 2) βˆ’ (((𝐴 / 2)↑3) / 3)))
209192, 208eqtrd 2210 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((𝐴 / 2) Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((𝐴 / 2) βˆ’ (((𝐴 / 2)↑3) / 3)))
210209oveq2d 5891 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (2 Β· ((𝐴 / 2) Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (2 Β· ((𝐴 / 2) βˆ’ (((𝐴 / 2)↑3) / 3))))
211190, 191, 2103eqtr3d 2218 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 Β· ((𝐴 / 2) βˆ’ (((𝐴 / 2)↑3) / 3))))
212 sin01bnd 11765 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) β†’ (((𝐴 / 2) βˆ’ (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sinβ€˜(𝐴 / 2)) ∧ (sinβ€˜(𝐴 / 2)) < (𝐴 / 2)))
21372, 212syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (((𝐴 / 2) βˆ’ (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sinβ€˜(𝐴 / 2)) ∧ (sinβ€˜(𝐴 / 2)) < (𝐴 / 2)))
214213simpld 112 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((𝐴 / 2) βˆ’ (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sinβ€˜(𝐴 / 2)))
215 3nn0 9194 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ β„•0
216 reexpcl 10537 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 / 2)↑3) ∈ ℝ)
2176, 215, 216sylancl 413 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((𝐴 / 2)↑3) ∈ ℝ)
218 nndivre 8955 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 / 2)↑3) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ β„•) β†’ (((𝐴 / 2)↑3) / 3) ∈ ℝ)
219217, 8, 218sylancl 413 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (((𝐴 / 2)↑3) / 3) ∈ ℝ)
2206, 219resubcld 8338 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((𝐴 / 2) βˆ’ (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) ∈ ℝ)
2216resincld 11731 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (sinβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
222 ltmul2 8813 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 / 2) βˆ’ (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) ∈ ℝ ∧ (sinβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ (((𝐴 / 2) βˆ’ (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sinβ€˜(𝐴 / 2)) ↔ (2 Β· ((𝐴 / 2) βˆ’ (((𝐴 / 2)↑3) / 3))) < (2 Β· (sinβ€˜(𝐴 / 2)))))
223220, 221, 43, 47, 222syl112anc 1242 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (((𝐴 / 2) βˆ’ (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sinβ€˜(𝐴 / 2)) ↔ (2 Β· ((𝐴 / 2) βˆ’ (((𝐴 / 2)↑3) / 3))) < (2 Β· (sinβ€˜(𝐴 / 2)))))
224214, 223mpbid 147 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (2 Β· ((𝐴 / 2) βˆ’ (((𝐴 / 2)↑3) / 3))) < (2 Β· (sinβ€˜(𝐴 / 2))))
225211, 224eqbrtrd 4026 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (2 Β· (sinβ€˜(𝐴 / 2))))
226 remulcl 7939 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ (sinβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) β†’ (2 Β· (sinβ€˜(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
22714, 221, 226sylancr 414 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (2 Β· (sinβ€˜(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
228 ltmul1 8549 . . . . . . . 8 (((𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ ∧ (2 Β· (sinβ€˜(𝐴 / 2))) ∈ ℝ ∧ ((cosβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < (cosβ€˜(𝐴 / 2)))) β†’ ((𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (2 Β· (sinβ€˜(𝐴 / 2))) ↔ ((𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))) < ((2 Β· (sinβ€˜(𝐴 / 2))) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2)))))
22913, 227, 38, 77, 228syl112anc 1242 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (2 Β· (sinβ€˜(𝐴 / 2))) ↔ ((𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))) < ((2 Β· (sinβ€˜(𝐴 / 2))) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2)))))
230225, 229mpbid 147 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))) < ((2 Β· (sinβ€˜(𝐴 / 2))) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))))
231221recnd 7986 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (sinβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ β„‚)
23238recnd 7986 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (cosβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ β„‚)
23329, 231, 232mulassd 7981 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((2 Β· (sinβ€˜(𝐴 / 2))) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))) = (2 Β· ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2)))))
234 sin2t 11757 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜(2 Β· (𝐴 / 2))) = (2 Β· ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2)))))
23534, 234syl 14 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (sinβ€˜(2 Β· (𝐴 / 2))) = (2 Β· ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2)))))
23632fveq2d 5520 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (sinβ€˜(2 Β· (𝐴 / 2))) = (sinβ€˜π΄))
237233, 235, 2363eqtr2rd 2217 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (sinβ€˜π΄) = ((2 Β· (sinβ€˜(𝐴 / 2))) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))))
238230, 237breqtrrd 4032 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))) < (sinβ€˜π΄))
23919, 184, 20, 189, 238lttrd 8083 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) Β· (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) < (sinβ€˜π΄))
2403, 19, 20, 183, 239lttrd 8083 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (𝐴 Β· (cosβ€˜π΄)) < (sinβ€˜π΄))
241 sincosq1sgn 14250 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (0 < (sinβ€˜π΄) ∧ 0 < (cosβ€˜π΄)))
242241simprd 114 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 0 < (cosβ€˜π΄))
243 ltmuldiv 8831 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (sinβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ ((cosβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 0 < (cosβ€˜π΄))) β†’ ((𝐴 Β· (cosβ€˜π΄)) < (sinβ€˜π΄) ↔ 𝐴 < ((sinβ€˜π΄) / (cosβ€˜π΄))))
2441, 20, 2, 242, 243syl112anc 1242 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((𝐴 Β· (cosβ€˜π΄)) < (sinβ€˜π΄) ↔ 𝐴 < ((sinβ€˜π΄) / (cosβ€˜π΄))))
245240, 244mpbid 147 . 2 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 𝐴 < ((sinβ€˜π΄) / (cosβ€˜π΄)))
2462, 242gt0ap0d 8586 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (cosβ€˜π΄) # 0)
247 tanvalap 11716 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) # 0) β†’ (tanβ€˜π΄) = ((sinβ€˜π΄) / (cosβ€˜π΄)))
24827, 246, 247syl2anc 411 . 2 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (tanβ€˜π΄) = ((sinβ€˜π΄) / (cosβ€˜π΄)))
249245, 248breqtrrd 4032 1 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 𝐴 < (tanβ€˜π΄))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4004  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  β„‚cc 7809  β„cr 7810  0cc0 7811  1c1 7812   + caddc 7814   Β· cmul 7816  β„*cxr 7991   < clt 7992   ≀ cle 7993   βˆ’ cmin 8128   # cap 8538   / cdiv 8629  β„•cn 8919  2c2 8970  3c3 8971  4c4 8972  β„•0cn0 9176  (,)cioo 9888  (,]cioc 9889  β†‘cexp 10519  sincsin 11652  cosccos 11653  tanctan 11654  Ο€cpi 11655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931  ax-pre-suploc 7932  ax-addf 7933  ax-mulf 7934
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-disj 3982  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-of 6083  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-map 6650  df-pm 6651  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-5 8981  df-6 8982  df-7 8983  df-8 8984  df-9 8985  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-xneg 9772  df-xadd 9773  df-ioo 9892  df-ioc 9893  df-ico 9894  df-icc 9895  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-fac 10706  df-bc 10728  df-ihash 10756  df-shft 10824  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-sumdc 11362  df-ef 11656  df-sin 11658  df-cos 11659  df-tan 11660  df-pi 11661  df-rest 12690  df-topgen 12709  df-psmet 13450  df-xmet 13451  df-met 13452  df-bl 13453  df-mopn 13454  df-top 13501  df-topon 13514  df-bases 13546  df-ntr 13599  df-cn 13691  df-cnp 13692  df-tx 13756  df-cncf 14061  df-limced 14128  df-dvap 14129
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator