tangtx - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem tangtx 15074

Description: The tangent function is greater than its argument on positive reals in its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
tangtx	⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < (tan‘𝐴))

**Proof of Theorem tangtx**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 9987	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recoscld 11889	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	remulcld 8057	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
4		1re 8025	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		rehalfcl 9218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
6	1, 5	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
7	6	resqcld 10791	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℝ)
8		3nn 9153	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ
9		nndivre 9026	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ)
10	7, 8, 9	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ)
11		resubcl 8290	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ) → (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
12	4, 10, 11	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
13	1, 12	remulcld 8057	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ)
14		2re 9060	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
15		remulcl 8007	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ) → (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
16	14, 10, 15	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
17		resubcl 8290	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ) → (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ)
18	4, 16, 17	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ)
19	13, 18	remulcld 8057	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ∈ ℝ)
20	1	resincld 11888	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
21	12	resqcld 10791	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ∈ ℝ)
22		remulcl 8007	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ∈ ℝ) → (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) ∈ ℝ)
23	14, 21, 22	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) ∈ ℝ)
24		resubcl 8290	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1) ∈ ℝ)
25	23, 4, 24	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1) ∈ ℝ)
26	12, 18	remulcld 8057	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ∈ ℝ)
27	1	recnd 8055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
28		2cn 9061	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 2 ∈ ℂ)
30		2ap0 9083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 # 0
31	30	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 2 # 0)
32	27, 29, 31	divcanap2d 8819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
33	32	fveq2d 5562	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = (cos‘𝐴))
34	6	recnd 8055	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
35		cos2t 11915	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
37	33, 36	eqtr3d 2231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘𝐴) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
38	6	recoscld 11889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
39	38	resqcld 10791	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℝ)
40		remulcl 8007	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℝ) → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℝ)
41	14, 39, 40	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℝ)
42	4	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 1 ∈ ℝ)
43	14	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 2 ∈ ℝ)
44		eliooord 10003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (π / 2)))
45	44	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < 𝐴)
46		2pos 9081	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 2
47	46	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < 2)
48	1, 43, 45, 47	divgt0d 8962	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (𝐴 / 2))
49		pire 15022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ π ∈ ℝ
50		rehalfcl 9218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (π ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ)
51	49, 50	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (π / 2) ∈ ℝ)
52	44	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < (π / 2))
53		pigt2lt4 15020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 < π ∧ π < 4)
54	53	simpri 113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ π < 4
55		2t2e4 9145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 · 2) = 4
56	54, 55	breqtrri 4060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ π < (2 · 2)
57	14, 46	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
58		ltdivmul 8903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((π / 2) < 2 ↔ π < (2 · 2)))
59	49, 14, 57, 58	mp3an 1348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((π / 2) < 2 ↔ π < (2 · 2))
60	56, 59	mpbir 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (π / 2) < 2
61	60	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (π / 2) < 2)
62	1, 51, 43, 52, 61	lttrd 8152	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < 2)
63	28	mullidi 8029	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 · 2) = 2
64	62, 63	breqtrrdi 4075	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < (1 · 2))
65		ltdivmul2 8905	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝐴 / 2) < 1 ↔ 𝐴 < (1 · 2)))
66	1, 42, 43, 47, 65	syl112anc 1253	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) < 1 ↔ 𝐴 < (1 · 2)))
67	64, 66	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) < 1)
68	6, 42, 67	ltled 8145	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) ≤ 1)
69		0xr 8073	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ^*
70		elioc2 10011	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℝ^* ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ 1)))
71	69, 4, 70	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ 1))
72	6, 48, 68, 71	syl3anbrc 1183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) ∈ (0(,]1))
73		cos01bnd 11923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) → ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cos‘(𝐴 / 2)) ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) < (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
74	72, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cos‘(𝐴 / 2)) ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) < (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
75	74	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘(𝐴 / 2)) < (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
76		cos01gt0 11928	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) → 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))
77	72, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))
78		0re 8026	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
79		ltle 8114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) → (0 < (cos‘(𝐴 / 2)) → 0 ≤ (cos‘(𝐴 / 2))))
80	78, 38, 79	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (cos‘(𝐴 / 2)) → 0 ≤ (cos‘(𝐴 / 2))))
81	77, 80	mpd 13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 ≤ (cos‘(𝐴 / 2)))
82	78	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 ∈ ℝ)
83	82, 38, 12, 77, 75	lttrd 8152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
84	82, 12, 83	ltled 8145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 ≤ (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
85	38, 12, 81, 84	lt2sqd 10796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((cos‘(𝐴 / 2)) < (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ↔ ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)))
86	75, 85	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2))
87		ltmul2 8883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℝ ∧ ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ↔ (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) < (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2))))
88	39, 21, 43, 47, 87	syl112anc 1253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ↔ (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) < (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2))))
89	86, 88	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) < (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)))
90	41, 23, 42, 89	ltsub1dd 8584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1) < ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1))
91	37, 90	eqbrtrd 4055	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘𝐴) < ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1))
92		3re 9064	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
93		remulcl 8007	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ) → (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
94	92, 10, 93	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
95		4re 9067	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
96		remulcl 8007	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ) → (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
97	95, 10, 96	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
98	10	resqcld 10791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) ∈ ℝ)
99		remulcl 8007	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) ∈ ℝ) → (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℝ)
100	14, 98, 99	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℝ)
101		readdcl 8005	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℝ) → (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) ∈ ℝ)
102	4, 100, 101	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) ∈ ℝ)
103		3lt4 9163	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 < 4
104	92	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 3 ∈ ℝ)
105	95	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 4 ∈ ℝ)
106	6, 48	gt0ap0d 8656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) # 0)
107	6, 106	sqgt0apd 10793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < ((𝐴 / 2)↑2))
108		3pos 9084	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 3
109	108	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < 3)
110	7, 104, 107, 109	divgt0d 8962	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (((𝐴 / 2)↑2) / 3))
111		ltmul1 8619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ ∧ 0 < (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) → (3 < 4 ↔ (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) < (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
112	104, 105, 10, 110, 111	syl112anc 1253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (3 < 4 ↔ (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) < (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
113	103, 112	mpbii 148	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) < (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
114	94, 97, 102, 113	ltsub2dd 8585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
115	42	recnd 8055	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 1 ∈ ℂ)
116		ax-1cn 7972	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
117	100	recnd 8055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℂ)
118		addcl 8004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℂ) → (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) ∈ ℂ)
119	116, 117, 118	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) ∈ ℂ)
120	97	recnd 8055	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℂ)
121	119, 120	subcld 8337	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℂ)
122		sq1 10725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1↑2) = 1
123	122	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1↑2) = 1)
124	10	recnd 8055	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℂ)
125	124	mulid2d 8045	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = (((𝐴 / 2)↑2) / 3))
126	125	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
127	123, 126	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1↑2) − (2 · (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
128	127	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((1↑2) − (2 · (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) = ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
129		binom2sub 10745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℂ) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) = (((1↑2) − (2 · (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
130	116, 124, 129	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) = (((1↑2) − (2 · (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
131	98	recnd 8055	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) ∈ ℂ)
132	16	recnd 8055	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℂ)
133	115, 131, 132	addsubd 8358	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
134	128, 130, 133	3eqtr4d 2239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) = ((1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
135	134	oveq2d 5938	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) = (2 · ((1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
136		addcl 8004	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) ∈ ℂ) → (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℂ)
137	116, 131, 136	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℂ)
138	29, 137, 132	subdid 8440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((2 · (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (2 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
139	29, 115, 131	adddid 8051	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = ((2 · 1) + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))))
140	116	2timesi 9120	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · 1) = (1 + 1)
141	140	oveq1i 5932	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 1) + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = ((1 + 1) + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
142	115, 115, 117	addassd 8049	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + 1) + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = (1 + (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))))
143	141, 142	eqtrid 2241	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · 1) + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = (1 + (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))))
144	139, 143	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = (1 + (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))))
145	29, 29, 124	mulassd 8050	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = (2 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
146	55	oveq1i 5932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))
147	145, 146	eqtr3di 2244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
148	144, 147	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (2 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((1 + (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
149	115, 119, 120, 148	assraddsubd 8394	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (2 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (1 + ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
150	135, 138, 149	3eqtrd 2233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) = (1 + ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
151	115, 121, 150	mvrladdd 8393	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1) = ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
152		subcl 8225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℂ) → (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℂ)
153	116, 124, 152	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℂ)
154	153, 115, 132	subdid 8440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · 1) − ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
155	153	mulridd 8043	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · 1) = (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
156	115, 124, 132	subdird 8441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((1 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) − ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
157	132	mulid2d 8045	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
158	124, 29, 124	mul12d 8178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
159	124	sqvald 10762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) = ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
160	159	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) = (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
161	158, 160	eqtr4d 2232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
162	157, 161	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) − ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))))
163	156, 162	eqtrd 2229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))))
164	155, 163	oveq12d 5940	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · 1) − ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − ((2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))))
165	115, 124, 132, 117	subadd4d 8385	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − ((2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))) = ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
166		df-3 9050	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 = (2 + 1)
167	28, 116	addcomi 8170	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 + 1) = (1 + 2)
168	166, 167	eqtri 2217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 = (1 + 2)
169	168	oveq1i 5932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = ((1 + 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))
170	125	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
171	115, 124, 29, 170	joinlmuladdmuld 8054	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
172	169, 171	eqtrid 2241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
173	172	oveq2d 5938	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
174	165, 173	eqtr4d 2232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − ((2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))) = ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
175	154, 164, 174	3eqtrd 2233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
176	114, 151, 175	3brtr4d 4065	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
177	2, 25, 26, 91, 176	lttrd 8152	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘𝐴) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
178		ltmul2 8883	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((cos‘𝐴) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ↔ (𝐴 · (cos‘𝐴)) < (𝐴 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))))
179	2, 26, 1, 45, 178	syl112anc 1253	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((cos‘𝐴) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ↔ (𝐴 · (cos‘𝐴)) < (𝐴 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))))
180	177, 179	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (cos‘𝐴)) < (𝐴 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))))
181	18	recnd 8055	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℂ)
182	27, 153, 181	mulassd 8050	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (𝐴 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))))
183	180, 182	breqtrrd 4061	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (cos‘𝐴)) < ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
184	13, 38	remulcld 8057	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
185	74	simpld 112	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cos‘(𝐴 / 2)))
186	1, 12, 45, 83	mulgt0d 8149	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
187		ltmul2 8883	. . . . . . 7 ⊢ (((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))) → ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cos‘(𝐴 / 2)) ↔ ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) < ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
188	18, 38, 13, 186, 187	syl112anc 1253	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cos‘(𝐴 / 2)) ↔ ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) < ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
189	185, 188	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) < ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))))
190	29, 34, 153	mulassd 8050	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · (𝐴 / 2)) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · ((𝐴 / 2) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
191	32	oveq1d 5937	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · (𝐴 / 2)) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
192	34, 115, 124	subdid 8440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (((𝐴 / 2) · 1) − ((𝐴 / 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
193	34	mulridd 8043	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) · 1) = (𝐴 / 2))
194	166	oveq2i 5933	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 / 2)↑3) = ((𝐴 / 2)↑(2 + 1))
195		2nn0 9266	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
196		expp1 10638	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ₀) → ((𝐴 / 2)↑(2 + 1)) = (((𝐴 / 2)↑2) · (𝐴 / 2)))
197	34, 195, 196	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑(2 + 1)) = (((𝐴 / 2)↑2) · (𝐴 / 2)))
198	194, 197	eqtrid 2241	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑3) = (((𝐴 / 2)↑2) · (𝐴 / 2)))
199	7	recnd 8055	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℂ)
200	199, 34	mulcomd 8048	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2)↑2) · (𝐴 / 2)) = ((𝐴 / 2) · ((𝐴 / 2)↑2)))
201	198, 200	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑3) = ((𝐴 / 2) · ((𝐴 / 2)↑2)))
202	201	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2)↑3) / 3) = (((𝐴 / 2) · ((𝐴 / 2)↑2)) / 3))
203		3cn 9065	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ∈ ℂ
204	203	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 3 ∈ ℂ)
205	104, 109	gt0ap0d 8656	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 3 # 0)
206	34, 199, 204, 205	divassapd 8853	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2) · ((𝐴 / 2)↑2)) / 3) = ((𝐴 / 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
207	202, 206	eqtr2d 2230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = (((𝐴 / 2)↑3) / 3))
208	193, 207	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2) · 1) − ((𝐴 / 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)))
209	192, 208	eqtrd 2229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)))
210	209	oveq2d 5938	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((𝐴 / 2) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (2 · ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3))))
211	190, 191, 210	3eqtr3d 2237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3))))
212		sin01bnd 11922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) → (((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ (sin‘(𝐴 / 2)) < (𝐴 / 2)))
213	72, 212	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ (sin‘(𝐴 / 2)) < (𝐴 / 2)))
214	213	simpld 112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sin‘(𝐴 / 2)))
215		3nn0 9267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
216		reexpcl 10648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → ((𝐴 / 2)↑3) ∈ ℝ)
217	6, 215, 216	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑3) ∈ ℝ)
218		nndivre 9026	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 / 2)↑3) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (((𝐴 / 2)↑3) / 3) ∈ ℝ)
219	217, 8, 218	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2)↑3) / 3) ∈ ℝ)
220	6, 219	resubcld 8407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) ∈ ℝ)
221	6	resincld 11888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
222		ltmul2 8883	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) ∈ ℝ ∧ (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sin‘(𝐴 / 2)) ↔ (2 · ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
223	220, 221, 43, 47, 222	syl112anc 1253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sin‘(𝐴 / 2)) ↔ (2 · ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
224	214, 223	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2))))
225	211, 224	eqbrtrd 4055	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2))))
226		remulcl 8007	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) → (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
227	14, 221, 226	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
228		ltmul1 8619	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ ∧ (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ ∧ ((cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ↔ ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))) < ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
229	13, 227, 38, 77, 228	syl112anc 1253	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ↔ ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))) < ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
230	225, 229	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))) < ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2))))
231	221	recnd 8055	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
232	38	recnd 8055	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
233	29, 231, 232	mulassd 8050	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
234		sin2t 11914	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
235	34, 234	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
236	32	fveq2d 5562	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (sin‘𝐴))
237	233, 235, 236	3eqtr2rd 2236	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘𝐴) = ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2))))
238	230, 237	breqtrrd 4061	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))) < (sin‘𝐴))
239	19, 184, 20, 189, 238	lttrd 8152	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) < (sin‘𝐴))
240	3, 19, 20, 183, 239	lttrd 8152	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (cos‘𝐴)) < (sin‘𝐴))
241		sincosq1sgn 15062	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘𝐴) ∧ 0 < (cos‘𝐴)))
242	241	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝐴))
243		ltmuldiv 8901	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘𝐴))) → ((𝐴 · (cos‘𝐴)) < (sin‘𝐴) ↔ 𝐴 < ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))))
244	1, 20, 2, 242, 243	syl112anc 1253	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (cos‘𝐴)) < (sin‘𝐴) ↔ 𝐴 < ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))))
245	240, 244	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
246	2, 242	gt0ap0d 8656	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘𝐴) # 0)
247		tanvalap 11873	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
248	27, 246, 247	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
249	245, 248	breqtrrd 4061	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < (tan‘𝐴))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∧ w3a 980 = wceq 1364 ∈ wcel 2167 class class class wbr 4033 ‘cfv 5258 (class class class)co 5922 ℂcc 7877 ℝcr 7878 0cc0 7879 1c1 7880 + caddc 7882 · cmul 7884 ℝ^*cxr 8060 < clt 8061 ≤ cle 8062 − cmin 8197 # cap 8608 / cdiv 8699 ℕcn 8990 2c2 9041 3c3 9042 4c4 9043 ℕ₀cn0 9249 (,)cioo 9963 (,]cioc 9964 ↑cexp 10630 sincsin 11809 cosccos 11810 tanctan 11811 πcpi 11812

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4148 ax-sep 4151 ax-nul 4159 ax-pow 4207 ax-pr 4242 ax-un 4468 ax-setind 4573 ax-iinf 4624 ax-cnex 7970 ax-resscn 7971 ax-1cn 7972 ax-1re 7973 ax-icn 7974 ax-addcl 7975 ax-addrcl 7976 ax-mulcl 7977 ax-mulrcl 7978 ax-addcom 7979 ax-mulcom 7980 ax-addass 7981 ax-mulass 7982 ax-distr 7983 ax-i2m1 7984 ax-0lt1 7985 ax-1rid 7986 ax-0id 7987 ax-rnegex 7988 ax-precex 7989 ax-cnre 7990 ax-pre-ltirr 7991 ax-pre-ltwlin 7992 ax-pre-lttrn 7993 ax-pre-apti 7994 ax-pre-ltadd 7995 ax-pre-mulgt0 7996 ax-pre-mulext 7997 ax-arch 7998 ax-caucvg 7999 ax-pre-suploc 8000 ax-addf 8001 ax-mulf 8002

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3451 df-if 3562 df-pw 3607 df-sn 3628 df-pr 3629 df-op 3631 df-uni 3840 df-int 3875 df-iun 3918 df-disj 4011 df-br 4034 df-opab 4095 df-mpt 4096 df-tr 4132 df-id 4328 df-po 4331 df-iso 4332 df-iord 4401 df-on 4403 df-ilim 4404 df-suc 4406 df-iom 4627 df-xp 4669 df-rel 4670 df-cnv 4671 df-co 4672 df-dm 4673 df-rn 4674 df-res 4675 df-ima 4676 df-iota 5219 df-fun 5260 df-fn 5261 df-f 5262 df-f1 5263 df-fo 5264 df-f1o 5265 df-fv 5266 df-isom 5267 df-riota 5877 df-ov 5925 df-oprab 5926 df-mpo 5927 df-of 6135 df-1st 6198 df-2nd 6199 df-recs 6363 df-irdg 6428 df-frec 6449 df-1o 6474 df-oadd 6478 df-er 6592 df-map 6709 df-pm 6710 df-en 6800 df-dom 6801 df-fin 6802 df-sup 7050 df-inf 7051 df-pnf 8063 df-mnf 8064 df-xr 8065 df-ltxr 8066 df-le 8067 df-sub 8199 df-neg 8200 df-reap 8602 df-ap 8609 df-div 8700 df-inn 8991 df-2 9049 df-3 9050 df-4 9051 df-5 9052 df-6 9053 df-7 9054 df-8 9055 df-9 9056 df-n0 9250 df-z 9327 df-uz 9602 df-q 9694 df-rp 9729 df-xneg 9847 df-xadd 9848 df-ioo 9967 df-ioc 9968 df-ico 9969 df-icc 9970 df-fz 10084 df-fzo 10218 df-seqfrec 10540 df-exp 10631 df-fac 10818 df-bc 10840 df-ihash 10868 df-shft 10980 df-cj 11007 df-re 11008 df-im 11009 df-rsqrt 11163 df-abs 11164 df-clim 11444 df-sumdc 11519 df-ef 11813 df-sin 11815 df-cos 11816 df-tan 11817 df-pi 11818 df-rest 12912 df-topgen 12931 df-psmet 14099 df-xmet 14100 df-met 14101 df-bl 14102 df-mopn 14103 df-top 14234 df-topon 14247 df-bases 14279 df-ntr 14332 df-cn 14424 df-cnp 14425 df-tx 14489 df-cncf 14807 df-limced 14892 df-dvap 14893

This theorem is referenced by: (None)

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