tangtx - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem tangtx 13926

Description: The tangent function is greater than its argument on positive reals in its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
tangtx	⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < (tan‘𝐴))

**Proof of Theorem tangtx**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 9899	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recoscld 11716	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	remulcld 7978	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
4		1re 7947	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		rehalfcl 9135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
6	1, 5	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
7	6	resqcld 10665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℝ)
8		3nn 9070	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ
9		nndivre 8944	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ)
10	7, 8, 9	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ)
11		resubcl 8211	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ) → (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
12	4, 10, 11	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
13	1, 12	remulcld 7978	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ)
14		2re 8978	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
15		remulcl 7930	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ) → (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
16	14, 10, 15	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
17		resubcl 8211	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ) → (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ)
18	4, 16, 17	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ)
19	13, 18	remulcld 7978	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ∈ ℝ)
20	1	resincld 11715	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
21	12	resqcld 10665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ∈ ℝ)
22		remulcl 7930	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ∈ ℝ) → (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) ∈ ℝ)
23	14, 21, 22	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) ∈ ℝ)
24		resubcl 8211	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1) ∈ ℝ)
25	23, 4, 24	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1) ∈ ℝ)
26	12, 18	remulcld 7978	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ∈ ℝ)
27	1	recnd 7976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
28		2cn 8979	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 2 ∈ ℂ)
30		2ap0 9001	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 # 0
31	30	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 2 # 0)
32	27, 29, 31	divcanap2d 8738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
33	32	fveq2d 5515	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = (cos‘𝐴))
34	6	recnd 7976	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
35		cos2t 11742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
37	33, 36	eqtr3d 2212	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘𝐴) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
38	6	recoscld 11716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
39	38	resqcld 10665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℝ)
40		remulcl 7930	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℝ) → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℝ)
41	14, 39, 40	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℝ)
42	4	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 1 ∈ ℝ)
43	14	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 2 ∈ ℝ)
44		eliooord 9915	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (π / 2)))
45	44	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < 𝐴)
46		2pos 8999	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 2
47	46	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < 2)
48	1, 43, 45, 47	divgt0d 8881	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (𝐴 / 2))
49		pire 13874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ π ∈ ℝ
50		rehalfcl 9135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (π ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ)
51	49, 50	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (π / 2) ∈ ℝ)
52	44	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < (π / 2))
53		pigt2lt4 13872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 < π ∧ π < 4)
54	53	simpri 113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ π < 4
55		2t2e4 9062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 · 2) = 4
56	54, 55	breqtrri 4027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ π < (2 · 2)
57	14, 46	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
58		ltdivmul 8822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((π / 2) < 2 ↔ π < (2 · 2)))
59	49, 14, 57, 58	mp3an 1337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((π / 2) < 2 ↔ π < (2 · 2))
60	56, 59	mpbir 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (π / 2) < 2
61	60	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (π / 2) < 2)
62	1, 51, 43, 52, 61	lttrd 8073	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < 2)
63	28	mulid2i 7951	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 · 2) = 2
64	62, 63	breqtrrdi 4042	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < (1 · 2))
65		ltdivmul2 8824	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝐴 / 2) < 1 ↔ 𝐴 < (1 · 2)))
66	1, 42, 43, 47, 65	syl112anc 1242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) < 1 ↔ 𝐴 < (1 · 2)))
67	64, 66	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) < 1)
68	6, 42, 67	ltled 8066	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) ≤ 1)
69		0xr 7994	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ^*
70		elioc2 9923	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℝ^* ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ 1)))
71	69, 4, 70	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ 1))
72	6, 48, 68, 71	syl3anbrc 1181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) ∈ (0(,]1))
73		cos01bnd 11750	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) → ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cos‘(𝐴 / 2)) ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) < (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
74	72, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cos‘(𝐴 / 2)) ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) < (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
75	74	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘(𝐴 / 2)) < (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
76		cos01gt0 11754	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) → 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))
77	72, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))
78		0re 7948	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
79		ltle 8035	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) → (0 < (cos‘(𝐴 / 2)) → 0 ≤ (cos‘(𝐴 / 2))))
80	78, 38, 79	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (cos‘(𝐴 / 2)) → 0 ≤ (cos‘(𝐴 / 2))))
81	77, 80	mpd 13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 ≤ (cos‘(𝐴 / 2)))
82	78	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 ∈ ℝ)
83	82, 38, 12, 77, 75	lttrd 8073	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
84	82, 12, 83	ltled 8066	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 ≤ (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
85	38, 12, 81, 84	lt2sqd 10670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((cos‘(𝐴 / 2)) < (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ↔ ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)))
86	75, 85	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2))
87		ltmul2 8802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℝ ∧ ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ↔ (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) < (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2))))
88	39, 21, 43, 47, 87	syl112anc 1242	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ↔ (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) < (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2))))
89	86, 88	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) < (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)))
90	41, 23, 42, 89	ltsub1dd 8504	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1) < ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1))
91	37, 90	eqbrtrd 4022	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘𝐴) < ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1))
92		3re 8982	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
93		remulcl 7930	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ) → (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
94	92, 10, 93	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
95		4re 8985	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
96		remulcl 7930	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ) → (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
97	95, 10, 96	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
98	10	resqcld 10665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) ∈ ℝ)
99		remulcl 7930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) ∈ ℝ) → (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℝ)
100	14, 98, 99	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℝ)
101		readdcl 7928	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℝ) → (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) ∈ ℝ)
102	4, 100, 101	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) ∈ ℝ)
103		3lt4 9080	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 < 4
104	92	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 3 ∈ ℝ)
105	95	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 4 ∈ ℝ)
106	6, 48	gt0ap0d 8576	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) # 0)
107	6, 106	sqgt0apd 10667	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < ((𝐴 / 2)↑2))
108		3pos 9002	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 3
109	108	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < 3)
110	7, 104, 107, 109	divgt0d 8881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (((𝐴 / 2)↑2) / 3))
111		ltmul1 8539	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ ∧ 0 < (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) → (3 < 4 ↔ (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) < (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
112	104, 105, 10, 110, 111	syl112anc 1242	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (3 < 4 ↔ (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) < (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
113	103, 112	mpbii 148	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) < (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
114	94, 97, 102, 113	ltsub2dd 8505	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
115	42	recnd 7976	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 1 ∈ ℂ)
116		ax-1cn 7895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
117	100	recnd 7976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℂ)
118		addcl 7927	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℂ) → (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) ∈ ℂ)
119	116, 117, 118	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) ∈ ℂ)
120	97	recnd 7976	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℂ)
121	119, 120	subcld 8258	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℂ)
122		sq1 10599	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1↑2) = 1
123	122	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1↑2) = 1)
124	10	recnd 7976	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℂ)
125	124	mulid2d 7966	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = (((𝐴 / 2)↑2) / 3))
126	125	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
127	123, 126	oveq12d 5887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1↑2) − (2 · (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
128	127	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((1↑2) − (2 · (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) = ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
129		binom2sub 10619	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℂ) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) = (((1↑2) − (2 · (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
130	116, 124, 129	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) = (((1↑2) − (2 · (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
131	98	recnd 7976	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) ∈ ℂ)
132	16	recnd 7976	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℂ)
133	115, 131, 132	addsubd 8279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
134	128, 130, 133	3eqtr4d 2220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) = ((1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
135	134	oveq2d 5885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) = (2 · ((1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
136		addcl 7927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) ∈ ℂ) → (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℂ)
137	116, 131, 136	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℂ)
138	29, 137, 132	subdid 8361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((2 · (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (2 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
139	29, 115, 131	adddid 7972	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = ((2 · 1) + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))))
140	116	2timesi 9038	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · 1) = (1 + 1)
141	140	oveq1i 5879	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 1) + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = ((1 + 1) + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
142	115, 115, 117	addassd 7970	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + 1) + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = (1 + (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))))
143	141, 142	eqtrid 2222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · 1) + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = (1 + (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))))
144	139, 143	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = (1 + (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))))
145	29, 29, 124	mulassd 7971	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = (2 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
146	55	oveq1i 5879	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))
147	145, 146	eqtr3di 2225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
148	144, 147	oveq12d 5887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (2 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((1 + (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
149	115, 119, 120, 148	assraddsubd 8315	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (2 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (1 + ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
150	135, 138, 149	3eqtrd 2214	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) = (1 + ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
151	115, 121, 150	mvrladdd 8314	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1) = ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
152		subcl 8146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℂ) → (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℂ)
153	116, 124, 152	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℂ)
154	153, 115, 132	subdid 8361	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · 1) − ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
155	153	mulid1d 7965	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · 1) = (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
156	115, 124, 132	subdird 8362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((1 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) − ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
157	132	mulid2d 7966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
158	124, 29, 124	mul12d 8099	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
159	124	sqvald 10636	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) = ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
160	159	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) = (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
161	158, 160	eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
162	157, 161	oveq12d 5887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) − ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))))
163	156, 162	eqtrd 2210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))))
164	155, 163	oveq12d 5887	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · 1) − ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − ((2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))))
165	115, 124, 132, 117	subadd4d 8306	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − ((2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))) = ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
166		df-3 8968	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 = (2 + 1)
167	28, 116	addcomi 8091	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 + 1) = (1 + 2)
168	166, 167	eqtri 2198	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 = (1 + 2)
169	168	oveq1i 5879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = ((1 + 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))
170	125	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
171	115, 124, 29, 170	joinlmuladdmuld 7975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
172	169, 171	eqtrid 2222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
173	172	oveq2d 5885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
174	165, 173	eqtr4d 2213	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − ((2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))) = ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
175	154, 164, 174	3eqtrd 2214	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
176	114, 151, 175	3brtr4d 4032	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
177	2, 25, 26, 91, 176	lttrd 8073	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘𝐴) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
178		ltmul2 8802	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((cos‘𝐴) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ↔ (𝐴 · (cos‘𝐴)) < (𝐴 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))))
179	2, 26, 1, 45, 178	syl112anc 1242	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((cos‘𝐴) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ↔ (𝐴 · (cos‘𝐴)) < (𝐴 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))))
180	177, 179	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (cos‘𝐴)) < (𝐴 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))))
181	18	recnd 7976	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℂ)
182	27, 153, 181	mulassd 7971	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (𝐴 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))))
183	180, 182	breqtrrd 4028	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (cos‘𝐴)) < ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
184	13, 38	remulcld 7978	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
185	74	simpld 112	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cos‘(𝐴 / 2)))
186	1, 12, 45, 83	mulgt0d 8070	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
187		ltmul2 8802	. . . . . . 7 ⊢ (((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))) → ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cos‘(𝐴 / 2)) ↔ ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) < ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
188	18, 38, 13, 186, 187	syl112anc 1242	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cos‘(𝐴 / 2)) ↔ ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) < ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
189	185, 188	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) < ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))))
190	29, 34, 153	mulassd 7971	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · (𝐴 / 2)) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · ((𝐴 / 2) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
191	32	oveq1d 5884	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · (𝐴 / 2)) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
192	34, 115, 124	subdid 8361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (((𝐴 / 2) · 1) − ((𝐴 / 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
193	34	mulid1d 7965	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) · 1) = (𝐴 / 2))
194	166	oveq2i 5880	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 / 2)↑3) = ((𝐴 / 2)↑(2 + 1))
195		2nn0 9182	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
196		expp1 10513	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ₀) → ((𝐴 / 2)↑(2 + 1)) = (((𝐴 / 2)↑2) · (𝐴 / 2)))
197	34, 195, 196	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑(2 + 1)) = (((𝐴 / 2)↑2) · (𝐴 / 2)))
198	194, 197	eqtrid 2222	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑3) = (((𝐴 / 2)↑2) · (𝐴 / 2)))
199	7	recnd 7976	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℂ)
200	199, 34	mulcomd 7969	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2)↑2) · (𝐴 / 2)) = ((𝐴 / 2) · ((𝐴 / 2)↑2)))
201	198, 200	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑3) = ((𝐴 / 2) · ((𝐴 / 2)↑2)))
202	201	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2)↑3) / 3) = (((𝐴 / 2) · ((𝐴 / 2)↑2)) / 3))
203		3cn 8983	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ∈ ℂ
204	203	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 3 ∈ ℂ)
205	104, 109	gt0ap0d 8576	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 3 # 0)
206	34, 199, 204, 205	divassapd 8772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2) · ((𝐴 / 2)↑2)) / 3) = ((𝐴 / 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
207	202, 206	eqtr2d 2211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = (((𝐴 / 2)↑3) / 3))
208	193, 207	oveq12d 5887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2) · 1) − ((𝐴 / 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)))
209	192, 208	eqtrd 2210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)))
210	209	oveq2d 5885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((𝐴 / 2) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (2 · ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3))))
211	190, 191, 210	3eqtr3d 2218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3))))
212		sin01bnd 11749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) → (((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ (sin‘(𝐴 / 2)) < (𝐴 / 2)))
213	72, 212	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ (sin‘(𝐴 / 2)) < (𝐴 / 2)))
214	213	simpld 112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sin‘(𝐴 / 2)))
215		3nn0 9183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
216		reexpcl 10523	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → ((𝐴 / 2)↑3) ∈ ℝ)
217	6, 215, 216	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑3) ∈ ℝ)
218		nndivre 8944	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 / 2)↑3) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (((𝐴 / 2)↑3) / 3) ∈ ℝ)
219	217, 8, 218	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2)↑3) / 3) ∈ ℝ)
220	6, 219	resubcld 8328	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) ∈ ℝ)
221	6	resincld 11715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
222		ltmul2 8802	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) ∈ ℝ ∧ (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sin‘(𝐴 / 2)) ↔ (2 · ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
223	220, 221, 43, 47, 222	syl112anc 1242	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sin‘(𝐴 / 2)) ↔ (2 · ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
224	214, 223	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2))))
225	211, 224	eqbrtrd 4022	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2))))
226		remulcl 7930	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) → (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
227	14, 221, 226	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
228		ltmul1 8539	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ ∧ (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ ∧ ((cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ↔ ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))) < ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
229	13, 227, 38, 77, 228	syl112anc 1242	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ↔ ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))) < ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
230	225, 229	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))) < ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2))))
231	221	recnd 7976	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
232	38	recnd 7976	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
233	29, 231, 232	mulassd 7971	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
234		sin2t 11741	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
235	34, 234	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
236	32	fveq2d 5515	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (sin‘𝐴))
237	233, 235, 236	3eqtr2rd 2217	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘𝐴) = ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2))))
238	230, 237	breqtrrd 4028	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))) < (sin‘𝐴))
239	19, 184, 20, 189, 238	lttrd 8073	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) < (sin‘𝐴))
240	3, 19, 20, 183, 239	lttrd 8073	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (cos‘𝐴)) < (sin‘𝐴))
241		sincosq1sgn 13914	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘𝐴) ∧ 0 < (cos‘𝐴)))
242	241	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝐴))
243		ltmuldiv 8820	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘𝐴))) → ((𝐴 · (cos‘𝐴)) < (sin‘𝐴) ↔ 𝐴 < ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))))
244	1, 20, 2, 242, 243	syl112anc 1242	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (cos‘𝐴)) < (sin‘𝐴) ↔ 𝐴 < ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))))
245	240, 244	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
246	2, 242	gt0ap0d 8576	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘𝐴) # 0)
247		tanvalap 11700	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
248	27, 246, 247	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
249	245, 248	breqtrrd 4028	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < (tan‘𝐴))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∧ w3a 978 = wceq 1353 ∈ wcel 2148 class class class wbr 4000 ‘cfv 5212 (class class class)co 5869 ℂcc 7800 ℝcr 7801 0cc0 7802 1c1 7803 + caddc 7805 · cmul 7807 ℝ^*cxr 7981 < clt 7982 ≤ cle 7983 − cmin 8118 # cap 8528 / cdiv 8618 ℕcn 8908 2c2 8959 3c3 8960 4c4 8961 ℕ₀cn0 9165 (,)cioo 9875 (,]cioc 9876 ↑cexp 10505 sincsin 11636 cosccos 11637 tanctan 11638 πcpi 11639

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4115 ax-sep 4118 ax-nul 4126 ax-pow 4171 ax-pr 4206 ax-un 4430 ax-setind 4533 ax-iinf 4584 ax-cnex 7893 ax-resscn 7894 ax-1cn 7895 ax-1re 7896 ax-icn 7897 ax-addcl 7898 ax-addrcl 7899 ax-mulcl 7900 ax-mulrcl 7901 ax-addcom 7902 ax-mulcom 7903 ax-addass 7904 ax-mulass 7905 ax-distr 7906 ax-i2m1 7907 ax-0lt1 7908 ax-1rid 7909 ax-0id 7910 ax-rnegex 7911 ax-precex 7912 ax-cnre 7913 ax-pre-ltirr 7914 ax-pre-ltwlin 7915 ax-pre-lttrn 7916 ax-pre-apti 7917 ax-pre-ltadd 7918 ax-pre-mulgt0 7919 ax-pre-mulext 7920 ax-arch 7921 ax-caucvg 7922 ax-pre-suploc 7923 ax-addf 7924 ax-mulf 7925

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 831 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-iun 3886 df-disj 3978 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-tr 4099 df-id 4290 df-po 4293 df-iso 4294 df-iord 4363 df-on 4365 df-ilim 4366 df-suc 4368 df-iom 4587 df-xp 4629 df-rel 4630 df-cnv 4631 df-co 4632 df-dm 4633 df-rn 4634 df-res 4635 df-ima 4636 df-iota 5174 df-fun 5214 df-fn 5215 df-f 5216 df-f1 5217 df-fo 5218 df-f1o 5219 df-fv 5220 df-isom 5221 df-riota 5825 df-ov 5872 df-oprab 5873 df-mpo 5874 df-of 6077 df-1st 6135 df-2nd 6136 df-recs 6300 df-irdg 6365 df-frec 6386 df-1o 6411 df-oadd 6415 df-er 6529 df-map 6644 df-pm 6645 df-en 6735 df-dom 6736 df-fin 6737 df-sup 6977 df-inf 6978 df-pnf 7984 df-mnf 7985 df-xr 7986 df-ltxr 7987 df-le 7988 df-sub 8120 df-neg 8121 df-reap 8522 df-ap 8529 df-div 8619 df-inn 8909 df-2 8967 df-3 8968 df-4 8969 df-5 8970 df-6 8971 df-7 8972 df-8 8973 df-9 8974 df-n0 9166 df-z 9243 df-uz 9518 df-q 9609 df-rp 9641 df-xneg 9759 df-xadd 9760 df-ioo 9879 df-ioc 9880 df-ico 9881 df-icc 9882 df-fz 9996 df-fzo 10129 df-seqfrec 10432 df-exp 10506 df-fac 10690 df-bc 10712 df-ihash 10740 df-shft 10808 df-cj 10835 df-re 10836 df-im 10837 df-rsqrt 10991 df-abs 10992 df-clim 11271 df-sumdc 11346 df-ef 11640 df-sin 11642 df-cos 11643 df-tan 11644 df-pi 11645 df-rest 12638 df-topgen 12657 df-psmet 13154 df-xmet 13155 df-met 13156 df-bl 13157 df-mopn 13158 df-top 13163 df-topon 13176 df-bases 13208 df-ntr 13263 df-cn 13355 df-cnp 13356 df-tx 13420 df-cncf 13725 df-limced 13792 df-dvap 13793

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