Theorem prmdiv 12249

Description: Show an explicit expression for the modular inverse of 𝐴 mod 𝑃. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmdiv.1	⊢ 𝑅 = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
prmdiv	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1)))

Proof of Theorem prmdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nprmdvds1 12154	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 ∥ 1)
2	1	3ad2ant1 1019	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ¬ 𝑃 ∥ 1)
3		prmz 12125	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
4	3	3ad2ant1 1019	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 ∈ ℤ)
5		simp2 999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
6		phiprm 12237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
7	6	3ad2ant1 1019	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
8		prmnn 12124	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
9	8	3ad2ant1 1019	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 ∈ ℕ)
10		nnm1nn0 9231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
12	7, 11	eqeltrd 2264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (ϕ‘𝑃) ∈ ℕ0)
13		zexpcl 10549	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (ϕ‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ)
14	5, 12, 13	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ)
15		1z 9293	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
16		zsubcl 9308	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1) ∈ ℤ)
17	14, 15, 16	sylancl 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1) ∈ ℤ)
18		prmuz2 12145	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
19	18	3ad2ant1 1019	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
20		uznn0sub 9573	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 − 2) ∈ ℕ0)
21	19, 20	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 − 2) ∈ ℕ0)
22		zexpcl 10549	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ)
23	5, 21, 22	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ)
24		znq 9638	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃) ∈ ℚ)
25	23, 9, 24	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃) ∈ ℚ)
26	25	flqcld 10291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)) ∈ ℤ)
27	5, 26	zmulcld 9395	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))) ∈ ℤ)
28	4, 27	zmulcld 9395	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))) ∈ ℤ)
29	5, 4	gcdcomd 11989	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴 gcd 𝑃) = (𝑃 gcd 𝐴))
30		coprm 12158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
31	30	biimp3a 1355	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 gcd 𝐴) = 1)
32	29, 31	eqtrd 2220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴 gcd 𝑃) = 1)
33		eulerth 12247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
34	9, 5, 32, 33	syl3anc 1248	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
35		1zzd 9294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 1 ∈ ℤ)
36		moddvds 11820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1)))
37	9, 14, 35, 36	syl3anc 1248	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1)))
38	34, 37	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1))
39		dvdsmul1 11834	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))) ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))))
40	4, 27, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 ∥ (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))))
41	4, 17, 28, 38, 40	dvds2subd 11848	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 ∥ (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1) − (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))))
42	5	zcnd 9390	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
43	23	zcnd 9390	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℂ)
44	4, 26	zmulcld 9395	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))) ∈ ℤ)
45	44	zcnd 9390	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))) ∈ ℂ)
46	42, 43, 45	subdid 8385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) − (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))) = ((𝐴 · (𝐴↑(𝑃 − 2))) − (𝐴 · (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))))
47		prmdiv.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑅 = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
48		zq 9640	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℚ)
49	23, 48	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℚ)
50		nnq 9647	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
51	9, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 ∈ ℚ)
52	9	nngt0d 8977	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 0 < 𝑃)
53		modqval 10338	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℚ ∧ 𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) − (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))))
54	49, 51, 52, 53	syl3anc 1248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) − (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))))
55	47, 54	eqtrid 2232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑅 = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) − (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))))
56	55	oveq2d 5904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴 · 𝑅) = (𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) − (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))))
57		2m1e1 9051	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 − 1) = 1
58	57	oveq2i 5899	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 − (2 − 1)) = (𝑃 − 1)
59	7, 58	eqtr4di 2238	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − (2 − 1)))
60	9	nncnd 8947	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 ∈ ℂ)
61		2cnd 9006	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 2 ∈ ℂ)
62		1cnd 7987	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
63	60, 61, 62	subsubd 8310	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 − (2 − 1)) = ((𝑃 − 2) + 1))
64	59, 63	eqtrd 2220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (ϕ‘𝑃) = ((𝑃 − 2) + 1))
65	64	oveq2d 5904	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) = (𝐴↑((𝑃 − 2) + 1)))
66	42, 21	expp1d 10669	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴↑((𝑃 − 2) + 1)) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) · 𝐴))
67	43, 42	mulcomd 7993	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) · 𝐴) = (𝐴 · (𝐴↑(𝑃 − 2))))
68	65, 66, 67	3eqtrd 2224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) = (𝐴 · (𝐴↑(𝑃 − 2))))
69	26	zcnd 9390	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)) ∈ ℂ)
70	60, 42, 69	mul12d 8123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))) = (𝐴 · (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))))
71	68, 70	oveq12d 5906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))) = ((𝐴 · (𝐴↑(𝑃 − 2))) − (𝐴 · (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))))
72	46, 56, 71	3eqtr4d 2230	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴 · 𝑅) = ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))))
73	72	oveq1d 5903	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴 · 𝑅) − 1) = (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))) − 1))
74	14	zcnd 9390	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℂ)
75	28	zcnd 9390	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))) ∈ ℂ)
76	74, 75, 62	sub32d 8314	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))) − 1) = (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1) − (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))))
77	73, 76	eqtrd 2220	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴 · 𝑅) − 1) = (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1) − (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))))
78	41, 77	breqtrrd 4043	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1))
79		oveq2 5896	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 = 0 → (𝐴 · 𝑅) = (𝐴 · 0))
80	79	oveq1d 5903	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 = 0 → ((𝐴 · 𝑅) − 1) = ((𝐴 · 0) − 1))
81	80	breq2d 4027	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 = 0 → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 0) − 1)))
82	78, 81	syl5ibcom 155	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑅 = 0 → 𝑃 ∥ ((𝐴 · 0) − 1)))
83	42	mul01d 8364	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴 · 0) = 0)
84	83	oveq1d 5903	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴 · 0) − 1) = (0 − 1))
85		df-neg 8145	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 = (0 − 1)
86	84, 85	eqtr4di 2238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴 · 0) − 1) = -1)
87	86	breq2d 4027	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 0) − 1) ↔ 𝑃 ∥ -1))
88		dvdsnegb 11829	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 ∥ -1))
89	4, 15, 88	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 ∥ -1))
90	87, 89	bitr4d 191	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 0) − 1) ↔ 𝑃 ∥ 1))
91	82, 90	sylibd 149	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑅 = 0 → 𝑃 ∥ 1))
92	2, 91	mtod 664	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ¬ 𝑅 = 0)
93		zmodfz 10360	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
94	23, 9, 93	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
95	47, 94	eqeltrid 2274	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1)))
96		nn0uz 9576	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
97	11, 96	eleqtrdi 2280	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
98		elfzp12 10113	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 − 1) ∈ (ℤ≥‘0) → (𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1)))))
99	97, 98	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1)))))
100	95, 99	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1))))
101	100	ord 725	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (¬ 𝑅 = 0 → 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1))))
102	92, 101	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1)))
103		1e0p1 9439	. . . 4 ⊢ 1 = (0 + 1)
104	103	oveq1i 5898	. . 3 ⊢ (1...(𝑃 − 1)) = ((0 + 1)...(𝑃 − 1))
105	102, 104	eleqtrrdi 2281	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
106	105, 78	jca 306	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∧ w3a 979   = wceq 1363   ∈ wcel 2158   class class class wbr 4015  ‘cfv 5228  (class class class)co 5888  0cc0 7825  1c1 7826   + caddc 7828   · cmul 7830   < clt 8006   − cmin 8142  -cneg 8143   / cdiv 8643  ℕcn 8933  2c2 8984  ℕ₀cn0 9190  ℤcz 9267  ℤ_≥cuz 9542  ℚcq 9633  ...cfz 10022  ⌊cfl 10282   mod cmo 10336  ↑cexp 10533   ∥ cdvds 11808   gcd cgcd 11957  ℙcprime 12121  ϕcphi 12223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-frec 6406  df-1o 6431  df-2o 6432  df-oadd 6435  df-er 6549  df-en 6755  df-dom 6756  df-fin 6757  df-sup 6997  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-fz 10023  df-fzo 10157  df-fl 10284  df-mod 10337  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-ihash 10770  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-clim 11301  df-proddc 11573  df-dvds 11809  df-gcd 11958  df-prm 12122  df-phi 12225

This theorem is referenced by:  prmdiveq  12250  prmdivdiv  12251  modprminv  12263