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Theorem prmdiv 12218
Description: Show an explicit expression for the modular inverse of 𝐴 mod 𝑃. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
prmdiv.1 𝑅 = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
Assertion
Ref Expression
prmdiv ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1)))

Proof of Theorem prmdiv
StepHypRef Expression
1 nprmdvds1 12123 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 ∥ 1)
213ad2ant1 1018 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ¬ 𝑃 ∥ 1)
3 prmz 12094 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
433ad2ant1 1018 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ ℤ)
5 simp2 998 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
6 phiprm 12206 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
763ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
8 prmnn 12093 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
983ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ ℕ)
10 nnm1nn0 9206 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
119, 10syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
127, 11eqeltrd 2254 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (ϕ‘𝑃) ∈ ℕ0)
13 zexpcl 10521 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (ϕ‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ)
145, 12, 13syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ)
15 1z 9268 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℤ
16 zsubcl 9283 . . . . . . . . . 10 (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1) ∈ ℤ)
1714, 15, 16sylancl 413 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1) ∈ ℤ)
18 prmuz2 12114 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
19183ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
20 uznn0sub 9548 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 − 2) ∈ ℕ0)
2119, 20syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 − 2) ∈ ℕ0)
22 zexpcl 10521 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ)
235, 21, 22syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ)
24 znq 9613 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃) ∈ ℚ)
2523, 9, 24syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃) ∈ ℚ)
2625flqcld 10263 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)) ∈ ℤ)
275, 26zmulcld 9370 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))) ∈ ℤ)
284, 27zmulcld 9370 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))) ∈ ℤ)
295, 4gcdcomd 11958 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴 gcd 𝑃) = (𝑃 gcd 𝐴))
30 coprm 12127 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
3130biimp3a 1345 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 gcd 𝐴) = 1)
3229, 31eqtrd 2210 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴 gcd 𝑃) = 1)
33 eulerth 12216 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
349, 5, 32, 33syl3anc 1238 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
35 1zzd 9269 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 1 ∈ ℤ)
36 moddvds 11790 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1)))
379, 14, 35, 36syl3anc 1238 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1)))
3834, 37mpbid 147 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1))
39 dvdsmul1 11804 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))) ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))))
404, 27, 39syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∥ (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))))
414, 17, 28, 38, 40dvds2subd 11818 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∥ (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1) − (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))))
425zcnd 9365 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
4323zcnd 9365 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℂ)
444, 26zmulcld 9370 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))) ∈ ℤ)
4544zcnd 9365 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))) ∈ ℂ)
4642, 43, 45subdid 8361 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) − (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))) = ((𝐴 · (𝐴↑(𝑃 − 2))) − (𝐴 · (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))))
47 prmdiv.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝑅 = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
48 zq 9615 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℚ)
4923, 48syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℚ)
50 nnq 9622 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
519, 50syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ ℚ)
529nngt0d 8952 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 0 < 𝑃)
53 modqval 10310 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℚ ∧ 𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) − (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))))
5449, 51, 52, 53syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) − (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))))
5547, 54eqtrid 2222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑅 = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) − (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))))
5655oveq2d 5885 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴 · 𝑅) = (𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) − (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))))
57 2m1e1 9026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 − 1) = 1
5857oveq2i 5880 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 − (2 − 1)) = (𝑃 − 1)
597, 58eqtr4di 2228 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − (2 − 1)))
609nncnd 8922 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ ℂ)
61 2cnd 8981 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 2 ∈ ℂ)
62 1cnd 7964 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 1 ∈ ℂ)
6360, 61, 62subsubd 8286 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 − (2 − 1)) = ((𝑃 − 2) + 1))
6459, 63eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (ϕ‘𝑃) = ((𝑃 − 2) + 1))
6564oveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) = (𝐴↑((𝑃 − 2) + 1)))
6642, 21expp1d 10640 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴↑((𝑃 − 2) + 1)) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) · 𝐴))
6743, 42mulcomd 7969 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) · 𝐴) = (𝐴 · (𝐴↑(𝑃 − 2))))
6865, 66, 673eqtrd 2214 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) = (𝐴 · (𝐴↑(𝑃 − 2))))
6926zcnd 9365 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)) ∈ ℂ)
7060, 42, 69mul12d 8099 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))) = (𝐴 · (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))))
7168, 70oveq12d 5887 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))) = ((𝐴 · (𝐴↑(𝑃 − 2))) − (𝐴 · (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))))
7246, 56, 713eqtr4d 2220 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴 · 𝑅) = ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))))
7372oveq1d 5884 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴 · 𝑅) − 1) = (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))) − 1))
7414zcnd 9365 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℂ)
7528zcnd 9365 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))) ∈ ℂ)
7674, 75, 62sub32d 8290 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))) − 1) = (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1) − (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))))
7773, 76eqtrd 2210 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴 · 𝑅) − 1) = (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1) − (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))))
7841, 77breqtrrd 4028 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1))
79 oveq2 5877 . . . . . . . . 9 (𝑅 = 0 → (𝐴 · 𝑅) = (𝐴 · 0))
8079oveq1d 5884 . . . . . . . 8 (𝑅 = 0 → ((𝐴 · 𝑅) − 1) = ((𝐴 · 0) − 1))
8180breq2d 4012 . . . . . . 7 (𝑅 = 0 → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 0) − 1)))
8278, 81syl5ibcom 155 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑅 = 0 → 𝑃 ∥ ((𝐴 · 0) − 1)))
8342mul01d 8340 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴 · 0) = 0)
8483oveq1d 5884 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴 · 0) − 1) = (0 − 1))
85 df-neg 8121 . . . . . . . . 9 -1 = (0 − 1)
8684, 85eqtr4di 2228 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴 · 0) − 1) = -1)
8786breq2d 4012 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 0) − 1) ↔ 𝑃 ∥ -1))
88 dvdsnegb 11799 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 ∥ -1))
894, 15, 88sylancl 413 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 ∥ -1))
9087, 89bitr4d 191 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 0) − 1) ↔ 𝑃 ∥ 1))
9182, 90sylibd 149 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑅 = 0 → 𝑃 ∥ 1))
922, 91mtod 663 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ¬ 𝑅 = 0)
93 zmodfz 10332 . . . . . . . 8 (((𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
9423, 9, 93syl2anc 411 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
9547, 94eqeltrid 2264 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1)))
96 nn0uz 9551 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘0)
9711, 96eleqtrdi 2270 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 − 1) ∈ (ℤ‘0))
98 elfzp12 10085 . . . . . . 7 ((𝑃 − 1) ∈ (ℤ‘0) → (𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1)))))
9997, 98syl 14 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1)))))
10095, 99mpbid 147 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1))))
101100ord 724 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (¬ 𝑅 = 0 → 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1))))
10292, 101mpd 13 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1)))
103 1e0p1 9414 . . . 4 1 = (0 + 1)
104103oveq1i 5879 . . 3 (1...(𝑃 − 1)) = ((0 + 1)...(𝑃 − 1))
105102, 104eleqtrrdi 2271 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
106105, 78jca 306 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4000  cfv 5212  (class class class)co 5869  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   · cmul 7807   < clt 7982  cmin 8118  -cneg 8119   / cdiv 8618  cn 8908  2c2 8959  0cn0 9165  cz 9242  cuz 9517  cq 9608  ...cfz 9995  cfl 10254   mod cmo 10308  cexp 10505  cdvds 11778   gcd cgcd 11926  cprime 12090  ϕcphi 12192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-2o 6412  df-oadd 6415  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-sup 6977  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-fl 10256  df-mod 10309  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-ihash 10740  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-proddc 11543  df-dvds 11779  df-gcd 11927  df-prm 12091  df-phi 12194
This theorem is referenced by:  prmdiveq  12219  prmdivdiv  12220  modprminv  12232
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