Theorem lcmgcdlem 12095

Description: Lemma for lcmgcd 12096 and lcmdvds 12097. Prove them for positive 𝑀, 𝑁, and 𝐾. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmgcdlem	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∧ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾)) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))

Proof of Theorem lcmgcdlem

Dummy variables 𝑛 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnmulcl 8958	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ)
2	1	nnred 8950	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ)
3		nnz 9290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
4	3	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
5	4	zred 9393	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
6		nnz 9290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
7	6	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
8	7	zred 9393	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
9		0red 7976	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
10		nnre 8944	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
11		nngt0 8962	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 < 𝑀)
12	9, 10, 11	ltled 8094	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑀)
13	12	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑀)
14		0red 7976	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
15		nnre 8944	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
16		nngt0 8962	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
17	14, 15, 16	ltled 8094	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
18	17	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑁)
19	5, 8, 13, 18	mulge0d 8596	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑀 · 𝑁))
20	2, 19	absidd 11194	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) = (𝑀 · 𝑁))
21	3, 6	anim12i 338	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
22		nnne0 8965	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≠ 0)
23	22	neneqd 2381	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ¬ 𝑀 = 0)
24		nnne0 8965	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
25	24	neneqd 2381	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = 0)
26	23, 25	anim12i 338	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑁 = 0))
27		ioran 753	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) ↔ (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑁 = 0))
28	26, 27	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0))
29		lcmn0val 12084	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) = inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)}, ℝ, < ))
30	21, 28, 29	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 lcm 𝑁) = inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)}, ℝ, < ))
31		lttri3 8055	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
32	31	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
33		gcddvds 11982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
34	33	simpld 112	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀)
35		gcdcl 11985	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
36	35	nn0zd 9391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
37		dvdsmultr1 11856	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
38	37	3expb 1206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
39	36, 38	mpancom 422	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
40	34, 39	mpd 13	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁))
41	21, 40	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁))
42		gcdnncl 11986	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
43		nndivdvds 11821	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ))
44	1, 42, 43	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ))
45	41, 44	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ)
46	45	nnred 8950	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℝ)
47	33	simprd 114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
48	21, 47	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
49	21, 36	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
50	42	nnne0d 8982	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ≠ 0)
51		dvdsval2 11815	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ))
52	49, 50, 7, 51	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ))
53	48, 52	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
54		dvdsmul1 11838	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ) → 𝑀 ∥ (𝑀 · (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))))
55	4, 53, 54	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∥ (𝑀 · (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))))
56		nncn 8945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
57	56	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
58		nncn 8945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
59	58	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
60	42	nncnd 8951	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
61	42	nnap0d 8983	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) # 0)
62	57, 59, 60, 61	divassapd 8801	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 · (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))))
63	55, 62	breqtrrd 4046	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)))
64	21, 34	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀)
65		dvdsval2 11815	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ))
66	49, 50, 4, 65	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ))
67	64, 66	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
68		dvdsmul1 11838	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁))))
69	7, 67, 68	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁))))
70	57, 59	mulcomd 7997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑀))
71	70	oveq1d 5906	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) = ((𝑁 · 𝑀) / (𝑀 gcd 𝑁)))
72	59, 57, 60, 61	divassapd 8801	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝑀) / (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑁 · (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁))))
73	71, 72	eqtrd 2222	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑁 · (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁))))
74	69, 73	breqtrrd 4046	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∥ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)))
75	63, 74	jca 306	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∧ 𝑁 ∥ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))))
76		breq2 4022	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) → (𝑀 ∥ 𝑥 ↔ 𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))))
77		breq2 4022	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ 𝑁 ∥ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))))
78	76, 77	anbi12d 473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) → ((𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥) ↔ (𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∧ 𝑁 ∥ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)))))
79	78	elrab 2908	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)} ↔ (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∧ 𝑁 ∥ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)))))
80	45, 75, 79	sylanbrc 417	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)})
81	46	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)}) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℝ)
82		elrabi 2905	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)} → 𝑛 ∈ ℕ)
83	82	nnred 8950	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)} → 𝑛 ∈ ℝ)
84	83	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)}) → 𝑛 ∈ ℝ)
85		breq2 4022	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑀 ∥ 𝑥 ↔ 𝑀 ∥ 𝑛))
86		breq2 4022	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ 𝑁 ∥ 𝑛))
87	85, 86	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥) ↔ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)))
88	87	elrab 2908	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)} ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)))
89		bezout 12030	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)))
90	21, 89	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)))
91	90	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)))
92		nncn 8945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
93	92	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑛 ∈ ℂ)
94	1	nncnd 8951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℂ)
95	94	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℂ)
96	60	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
97	57	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℂ)
98	58	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
99		simplll 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℕ)
100	99	nnap0d 8983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑀 # 0)
101		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
102	101	nnap0d 8983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑁 # 0)
103	97, 98, 100, 102	mulap0d 8633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑀 · 𝑁) # 0)
104	61	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑀 gcd 𝑁) # 0)
105	93, 95, 96, 103, 104	divdivap2d 8798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑛 / ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))) = ((𝑛 · (𝑀 gcd 𝑁)) / (𝑀 · 𝑁)))
106	105	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) → (𝑛 / ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))) = ((𝑛 · (𝑀 gcd 𝑁)) / (𝑀 · 𝑁)))
107		oveq2 5899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)) → (𝑛 · (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑛 · ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))))
108	107	oveq1d 5906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)) → ((𝑛 · (𝑀 gcd 𝑁)) / (𝑀 · 𝑁)) = ((𝑛 · ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) / (𝑀 · 𝑁)))
109		zcn 9276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
110	109	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
111	97, 110	mulcld 7996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑀 · 𝑥) ∈ ℂ)
112		zcn 9276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
113	112	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
114	98, 113	mulcld 7996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 · 𝑦) ∈ ℂ)
115	93, 111, 114	adddid 8000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑛 · ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) = ((𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) + (𝑛 · (𝑁 · 𝑦))))
116	115	oveq1d 5906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑛 · ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) / (𝑀 · 𝑁)) = (((𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) + (𝑛 · (𝑁 · 𝑦))) / (𝑀 · 𝑁)))
117	93, 111	mulcld 7996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) ∈ ℂ)
118	93, 114	mulcld 7996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑛 · (𝑁 · 𝑦)) ∈ ℂ)
119	117, 118, 95, 103	divdirapd 8804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) + (𝑛 · (𝑁 · 𝑦))) / (𝑀 · 𝑁)) = (((𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) / (𝑀 · 𝑁)) + ((𝑛 · (𝑁 · 𝑦)) / (𝑀 · 𝑁))))
120	116, 119	eqtrd 2222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑛 · ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) / (𝑀 · 𝑁)) = (((𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) / (𝑀 · 𝑁)) + ((𝑛 · (𝑁 · 𝑦)) / (𝑀 · 𝑁))))
121	108, 120	sylan9eqr 2244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) → ((𝑛 · (𝑀 gcd 𝑁)) / (𝑀 · 𝑁)) = (((𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) / (𝑀 · 𝑁)) + ((𝑛 · (𝑁 · 𝑦)) / (𝑀 · 𝑁))))
122	93, 97, 110	mul12d 8127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) = (𝑀 · (𝑛 · 𝑥)))
123	122	oveq1d 5906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) / (𝑀 · 𝑁)) = ((𝑀 · (𝑛 · 𝑥)) / (𝑀 · 𝑁)))
124	93, 110	mulcld 7996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑛 · 𝑥) ∈ ℂ)
125	124, 98, 97, 102, 100	divcanap5d 8792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · (𝑛 · 𝑥)) / (𝑀 · 𝑁)) = ((𝑛 · 𝑥) / 𝑁))
126	123, 125	eqtrd 2222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) / (𝑀 · 𝑁)) = ((𝑛 · 𝑥) / 𝑁))
127	93, 98, 113	mul12d 8127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑛 · (𝑁 · 𝑦)) = (𝑁 · (𝑛 · 𝑦)))
128	127	oveq1d 5906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑛 · (𝑁 · 𝑦)) / (𝑀 · 𝑁)) = ((𝑁 · (𝑛 · 𝑦)) / (𝑀 · 𝑁)))
129	70	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑀 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑀))
130	129	oveq2d 5907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑁 · (𝑛 · 𝑦)) / (𝑀 · 𝑁)) = ((𝑁 · (𝑛 · 𝑦)) / (𝑁 · 𝑀)))
131	93, 113	mulcld 7996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑛 · 𝑦) ∈ ℂ)
132	131, 97, 98, 100, 102	divcanap5d 8792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑁 · (𝑛 · 𝑦)) / (𝑁 · 𝑀)) = ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀))
133	128, 130, 132	3eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑛 · (𝑁 · 𝑦)) / (𝑀 · 𝑁)) = ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀))
134	126, 133	oveq12d 5909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) / (𝑀 · 𝑁)) + ((𝑛 · (𝑁 · 𝑦)) / (𝑀 · 𝑁))) = (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀)))
135	134	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) → (((𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) / (𝑀 · 𝑁)) + ((𝑛 · (𝑁 · 𝑦)) / (𝑀 · 𝑁))) = (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀)))
136	106, 121, 135	3eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) → (𝑛 / ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))) = (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀)))
137	136	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)) → (𝑛 / ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))) = (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀))))
138	137	adantlrr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)) → (𝑛 / ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))) = (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀))))
139	138	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) → (𝑛 / ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))) = (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀)))
140	6	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
141		nnz 9290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
142	141	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑛 ∈ ℤ)
143		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
144		dvdsmultr1 11856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝑛 → 𝑁 ∥ (𝑛 · 𝑥)))
145	140, 142, 143, 144	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∥ 𝑛 → 𝑁 ∥ (𝑛 · 𝑥)))
146	24	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑁 ≠ 0)
147	142, 143	zmulcld 9399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑛 · 𝑥) ∈ ℤ)
148		dvdsval2 11815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑛 · 𝑥) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑛 · 𝑥) ↔ ((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) ∈ ℤ))
149	140, 146, 147, 148	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∥ (𝑛 · 𝑥) ↔ ((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) ∈ ℤ))
150	145, 149	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∥ 𝑛 → ((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) ∈ ℤ))
151	150	adantld 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛) → ((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) ∈ ℤ))
152	151	3impia 1202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)) → ((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) ∈ ℤ)
153	3	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
154		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
155		dvdsmultr1 11856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑛 → 𝑀 ∥ (𝑛 · 𝑦)))
156	153, 142, 154, 155	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∥ 𝑛 → 𝑀 ∥ (𝑛 · 𝑦)))
157	22	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑀 ≠ 0)
158	142, 154	zmulcld 9399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑛 · 𝑦) ∈ ℤ)
159		dvdsval2 11815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ (𝑛 · 𝑦) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝑛 · 𝑦) ↔ ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀) ∈ ℤ))
160	153, 157, 158, 159	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∥ (𝑛 · 𝑦) ↔ ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀) ∈ ℤ))
161	156, 160	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∥ 𝑛 → ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀) ∈ ℤ))
162	161	adantrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛) → ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀) ∈ ℤ))
163	162	3impia 1202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)) → ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀) ∈ ℤ)
164	152, 163	zaddcld 9397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)) → (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀)) ∈ ℤ)
165	164	3expia 1207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛) → (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀)) ∈ ℤ))
166	165	an32s 568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛) → (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀)) ∈ ℤ))
167	166	impr 379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) → (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀)) ∈ ℤ)
168	167	an32s 568	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀)) ∈ ℤ)
169	168	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) → (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀)) ∈ ℤ)
170	139, 169	eqeltrd 2266	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) → (𝑛 / ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))) ∈ ℤ)
171	45	nnzd 9392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
172	171	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
173	45	nnne0d 8982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ≠ 0)
174	173	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ≠ 0)
175	142	adantlrr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑛 ∈ ℤ)
176		dvdsval2 11815	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ≠ 0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))) ∈ ℤ))
177	172, 174, 175, 176	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))) ∈ ℤ))
178	177	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) → (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))) ∈ ℤ))
179	170, 178	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛)
180	179	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛))
181	180	anassrs 400	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛))
182	181	reximdva 2592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∃𝑦 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)) → ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛))
183	182	reximdva 2592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛))
184	91, 183	mpd 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛)
185		1z 9297	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℤ
186		elex2 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℤ → ∃𝑤 𝑤 ∈ ℤ)
187		r19.9rmv 3529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑤 𝑤 ∈ ℤ → (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛))
188	185, 186, 187	mp2b 8	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛)
189		r19.9rmv 3529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑤 𝑤 ∈ ℤ → (∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛))
190	185, 186, 189	mp2b 8	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛)
191	188, 190	bitri 184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛)
192	184, 191	sylibr 134	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛)
193	171	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
194		simprl 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) → 𝑛 ∈ ℕ)
195		dvdsle 11868	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ≤ 𝑛))
196	193, 194, 195	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) → (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ≤ 𝑛))
197	192, 196	mpd 13	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ≤ 𝑛)
198	88, 197	sylan2b 287	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)}) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ≤ 𝑛)
199	81, 84, 198	lensymd 8097	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)}) → ¬ 𝑛 < ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)))
200	32, 46, 80, 199	infminti 7044	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)}, ℝ, < ) = ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)))
201	30, 200	eqtr2d 2223	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁))
202	201, 45	eqeltrrd 2267	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ)
203	202	nncnd 8951	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℂ)
204	94, 203, 60, 61	divmulap3d 8800	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁) ↔ (𝑀 · 𝑁) = ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁))))
205	201, 204	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑁) = ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)))
206	20, 205	eqtr2d 2223	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (abs‘(𝑀 · 𝑁)))
207		simprl 529	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾))) → 𝐾 ∈ ℕ)
208		eleq1 2252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝐾 ∈ ℕ))
209		breq2 4022	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑀 ∥ 𝑛 ↔ 𝑀 ∥ 𝐾))
210		breq2 4022	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑁 ∥ 𝑛 ↔ 𝑁 ∥ 𝐾))
211	209, 210	anbi12d 473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → ((𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛) ↔ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾)))
212	208, 211	anbi12d 473	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾))))
213	212	anbi2d 464	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) ↔ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾)))))
214		breq2 4022	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → ((𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑛 ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
215	213, 214	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑛) ↔ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾))) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
216	201	breq1d 4028	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑛))
217	216	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) → (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑛))
218	192, 217	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑛)
219	215, 218	vtoclg 2812	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾))) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
220	207, 219	mpcom 36	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾))) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)
221	220	ex 115	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾)) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
222	206, 221	jca 306	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∧ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾)) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∧ w3a 980   = wceq 1364  ∃wex 1503   ∈ wcel 2160   ≠ wne 2360  ∃wrex 2469  {crab 2472   class class class wbr 4018  ‘cfv 5231  (class class class)co 5891  infcinf 7000  ℂcc 7827  ℝcr 7828  0cc0 7829  1c1 7830   + caddc 7832   · cmul 7834   < clt 8010   ≤ cle 8011   # cap 8556   / cdiv 8647  ℕcn 8937  ℤcz 9271  abscabs 11024   ∥ cdvds 11812   gcd cgcd 11961   lcm clcm 12078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-pre-mulext 7947  ax-arch 7948  ax-caucvg 7949

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-isom 5240  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-frec 6410  df-sup 7001  df-inf 7002  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-div 8648  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-4 8998  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547  df-q 9638  df-rp 9672  df-fz 10027  df-fzo 10161  df-fl 10288  df-mod 10341  df-seqfrec 10464  df-exp 10538  df-cj 10869  df-re 10870  df-im 10871  df-rsqrt 11025  df-abs 11026  df-dvds 11813  df-gcd 11962  df-lcm 12079

This theorem is referenced by:  lcmgcd  12096  lcmdvds  12097