Theorem mulridd 8062

Description: Identity law for multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
addcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulridd	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Proof of Theorem mulridd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulrid 8042	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5925  ℂcc 7896  1c1 7899   · cmul 7903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-mulcl 7996  ax-mulcom 7999  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-1rid 8005  ax-cnre 8009

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928

This theorem is referenced by:  muladd11  8178  muls1d  8463  ltmul1  8638  mulap0  8700  divrecap  8734  diveqap1  8751  conjmulap  8775  apmul1  8834  qapne  9732  divelunit  10096  modqid  10460  q2submod  10496  addmodlteq  10509  expadd  10692  leexp2r  10704  nnlesq  10754  sqoddm1div8  10804  nn0opthlem1d  10831  faclbnd  10852  faclbnd2  10853  faclbnd6  10855  facavg  10857  bcn0  10866  bcn1  10869  reccn2ap  11497  hash2iun1dif1  11664  binom11  11670  trireciplem  11684  geosergap  11690  cvgratnnlemnexp  11708  cvgratnnlemmn  11709  fprodsplitdc  11780  efzval  11867  tanaddaplem  11922  tanaddap  11923  cos01gt0  11947  absef  11954  1dvds  11989  bitsfzo  12139  bitsmod  12140  bezoutlema  12193  bezoutlemb  12194  gcdmultiple  12214  sqgcd  12223  lcm1  12276  coprmdvds  12287  qredeu  12292  phiprmpw  12417  coprimeprodsq  12453  pc2dvds  12526  sumhashdc  12543  fldivp1  12544  pcfaclem  12545  prmpwdvds  12551  zsssubrg  14219  mulgrhm2  14244  znrrg  14294  dveflem  15070  plyconst  15089  plycolemc  15102  efper  15151  tangtx  15182  logdivlti  15225  rpcxpmul2  15257  relogbexpap  15302  rplogbcxp  15307  0sgm  15329  lgsdir2  15382  lgsquad2lem1  15430  lgsquad3  15433  2sqlem6  15469  2sqlem8  15472  trilpolemclim  15793  trilpolemisumle  15795  trilpolemeq1  15797  trilpolemlt1  15798  redcwlpolemeq1  15811  nconstwlpolemgt0  15821