Theorem mulridd 8043

Description: Identity law for multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
addcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulridd	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Proof of Theorem mulridd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulrid 8023	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5922  ℂcc 7877  1c1 7880   · cmul 7884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-mulcl 7977  ax-mulcom 7980  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-1rid 7986  ax-cnre 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-iota 5219  df-fv 5266  df-ov 5925

This theorem is referenced by:  muladd11  8159  muls1d  8444  ltmul1  8619  mulap0  8681  divrecap  8715  diveqap1  8732  conjmulap  8756  apmul1  8815  qapne  9713  divelunit  10077  modqid  10441  q2submod  10477  addmodlteq  10490  expadd  10673  leexp2r  10685  nnlesq  10735  sqoddm1div8  10785  nn0opthlem1d  10812  faclbnd  10833  faclbnd2  10834  faclbnd6  10836  facavg  10838  bcn0  10847  bcn1  10850  reccn2ap  11478  hash2iun1dif1  11645  binom11  11651  trireciplem  11665  geosergap  11671  cvgratnnlemnexp  11689  cvgratnnlemmn  11690  fprodsplitdc  11761  efzval  11848  tanaddaplem  11903  tanaddap  11904  cos01gt0  11928  absef  11935  1dvds  11970  bitsfzo  12119  bezoutlema  12166  bezoutlemb  12167  gcdmultiple  12187  sqgcd  12196  lcm1  12249  coprmdvds  12260  qredeu  12265  phiprmpw  12390  coprimeprodsq  12426  pc2dvds  12499  sumhashdc  12516  fldivp1  12517  pcfaclem  12518  prmpwdvds  12524  zsssubrg  14141  mulgrhm2  14166  znrrg  14216  dveflem  14962  plyconst  14981  plycolemc  14994  efper  15043  tangtx  15074  logdivlti  15117  rpcxpmul2  15149  relogbexpap  15194  rplogbcxp  15199  0sgm  15221  lgsdir2  15274  lgsquad2lem1  15322  lgsquad3  15325  2sqlem6  15361  2sqlem8  15364  trilpolemclim  15680  trilpolemisumle  15682  trilpolemeq1  15684  trilpolemlt1  15685  redcwlpolemeq1  15698  nconstwlpolemgt0  15708