Theorem mulridd 8131

Description: Identity law for multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
addcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulridd	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Proof of Theorem mulridd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulrid 8111	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  (class class class)co 5974  ℂcc 7965  1c1 7968   · cmul 7972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-ext 2191  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-mulcl 8065  ax-mulcom 8068  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-1rid 8074  ax-cnre 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-nf 1487  df-sb 1789  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ral 2493  df-rex 2494  df-v 2781  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-br 4063  df-iota 5254  df-fv 5302  df-ov 5977

This theorem is referenced by:  muladd11  8247  muls1d  8532  ltmul1  8707  mulap0  8769  divrecap  8803  diveqap1  8820  conjmulap  8844  apmul1  8903  qapne  9802  divelunit  10166  modqid  10538  q2submod  10574  addmodlteq  10587  expadd  10770  leexp2r  10782  nnlesq  10832  sqoddm1div8  10882  nn0opthlem1d  10909  faclbnd  10930  faclbnd2  10931  faclbnd6  10933  facavg  10935  bcn0  10944  bcn1  10947  reccn2ap  11790  hash2iun1dif1  11957  binom11  11963  trireciplem  11977  geosergap  11983  cvgratnnlemnexp  12001  cvgratnnlemmn  12002  fprodsplitdc  12073  efzval  12160  tanaddaplem  12215  tanaddap  12216  cos01gt0  12240  absef  12247  1dvds  12282  bitsfzo  12432  bitsmod  12433  bezoutlema  12486  bezoutlemb  12487  gcdmultiple  12507  sqgcd  12516  lcm1  12569  coprmdvds  12580  qredeu  12585  phiprmpw  12710  coprimeprodsq  12746  pc2dvds  12819  sumhashdc  12836  fldivp1  12837  pcfaclem  12838  prmpwdvds  12844  zsssubrg  14514  mulgrhm2  14539  znrrg  14589  dveflem  15365  plyconst  15384  plycolemc  15397  efper  15446  tangtx  15477  logdivlti  15520  rpcxpmul2  15552  relogbexpap  15597  rplogbcxp  15602  0sgm  15624  lgsdir2  15677  lgsquad2lem1  15725  lgsquad3  15728  2sqlem6  15764  2sqlem8  15767  trilpolemclim  16315  trilpolemisumle  16317  trilpolemeq1  16319  trilpolemlt1  16320  redcwlpolemeq1  16333  nconstwlpolemgt0  16343