Theorem mulridd 8179

Description: Identity law for multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
addcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulridd	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Proof of Theorem mulridd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulrid 8159	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6010  ℂcc 8013  1c1 8016   · cmul 8020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-mulcl 8113  ax-mulcom 8116  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-1rid 8122  ax-cnre 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-iota 5281  df-fv 5329  df-ov 6013

This theorem is referenced by:  muladd11  8295  muls1d  8580  ltmul1  8755  mulap0  8817  divrecap  8851  diveqap1  8868  conjmulap  8892  apmul1  8951  qapne  9851  divelunit  10215  modqid  10588  q2submod  10624  addmodlteq  10637  expadd  10820  leexp2r  10832  nnlesq  10882  sqoddm1div8  10932  nn0opthlem1d  10959  faclbnd  10980  faclbnd2  10981  faclbnd6  10983  facavg  10985  bcn0  10994  bcn1  10997  reccn2ap  11845  hash2iun1dif1  12012  binom11  12018  trireciplem  12032  geosergap  12038  cvgratnnlemnexp  12056  cvgratnnlemmn  12057  fprodsplitdc  12128  efzval  12215  tanaddaplem  12270  tanaddap  12271  cos01gt0  12295  absef  12302  1dvds  12337  bitsfzo  12487  bitsmod  12488  bezoutlema  12541  bezoutlemb  12542  gcdmultiple  12562  sqgcd  12571  lcm1  12624  coprmdvds  12635  qredeu  12640  phiprmpw  12765  coprimeprodsq  12801  pc2dvds  12874  sumhashdc  12891  fldivp1  12892  pcfaclem  12893  prmpwdvds  12899  zsssubrg  14570  mulgrhm2  14595  znrrg  14645  dveflem  15421  plyconst  15440  plycolemc  15453  efper  15502  tangtx  15533  logdivlti  15576  rpcxpmul2  15608  relogbexpap  15653  rplogbcxp  15658  0sgm  15680  lgsdir2  15733  lgsquad2lem1  15781  lgsquad3  15784  2sqlem6  15820  2sqlem8  15823  trilpolemclim  16518  trilpolemisumle  16520  trilpolemeq1  16522  trilpolemlt1  16523  redcwlpolemeq1  16536  nconstwlpolemgt0  16546