Theorem mulridd 8337

Description: Identity law for multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
addcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulridd	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Proof of Theorem mulridd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulrid 8317	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6079  ℂcc 8171  1c1 8174   · cmul 8178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-mulcl 8271  ax-mulcom 8274  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-1rid 8280  ax-cnre 8284

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-iota 5335  df-fv 5383  df-ov 6082

This theorem is referenced by:  muladd11  8453  muls1d  8739  ltmul1  8914  mulap0  8976  divrecap  9012  diveqap1  9029  conjmulap  9053  apmul1  9112  qapne  10022  divelunit  10387  modqid  10769  q2submod  10805  addmodlteq  10818  expadd  11001  leexp2r  11013  nnlesq  11063  sqoddm1div8  11114  nn0opthlem1d  11141  faclbnd  11162  faclbnd2  11163  faclbnd6  11165  facavg  11167  bcn0  11176  bcn1  11179  hashf1lem2  11269  hashfac  11271  reccn2ap  12062  hash2iun1dif1  12230  binom11  12236  trireciplem  12250  geosergap  12256  cvgratnnlemnexp  12274  cvgratnnlemmn  12275  fprodsplitdc  12346  efzval  12433  tanaddaplem  12488  tanaddap  12489  cos01gt0  12513  absef  12520  1dvds  12555  bitsfzo  12705  bitsmod  12706  bezoutlema  12759  bezoutlemb  12760  gcdmultiple  12780  sqgcd  12789  lcm1  12842  coprmdvds  12853  qredeu  12858  phiprmpw  12983  coprimeprodsq  13019  pc2dvds  13092  sumhashdc  13109  fldivp1  13110  pcfaclem  13111  prmpwdvds  13117  zsssubrg  14905  mulgrhm2  14928  znrrg  14978  dveflem  15810  plyconst  15829  plycolemc  15842  efper  15891  tangtx  15922  logdivlti  15965  rpcxpmul2  15998  relogbexpap  16043  rplogbcxp  16048  birthdaylem3  16072  0sgm  16082  lgsdir2  16135  lgsquad2lem1  16183  lgsquad3  16186  2sqlem6  16222  2sqlem8  16225  trilpolemclim  17059  trilpolemisumle  17061  trilpolemeq1  17063  trilpolemlt1  17064  redcwlpolemeq1  17078  nconstwlpolemgt0  17088