Theorem mulridd 8287

Description: Identity law for multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
addcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulridd	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Proof of Theorem mulridd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulrid 8267	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  (class class class)co 6049  ℂcc 8121  1c1 8124   · cmul 8128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-mulcl 8221  ax-mulcom 8224  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-1rid 8230  ax-cnre 8234

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2814  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-iota 5311  df-fv 5359  df-ov 6052

This theorem is referenced by:  muladd11  8402  muls1d  8687  ltmul1  8862  mulap0  8924  divrecap  8958  diveqap1  8975  conjmulap  8999  apmul1  9058  qapne  9967  divelunit  10331  modqid  10707  q2submod  10743  addmodlteq  10756  expadd  10939  leexp2r  10951  nnlesq  11001  sqoddm1div8  11051  nn0opthlem1d  11078  faclbnd  11099  faclbnd2  11100  faclbnd6  11102  facavg  11104  bcn0  11113  bcn1  11116  reccn2ap  11991  hash2iun1dif1  12159  binom11  12165  trireciplem  12179  geosergap  12185  cvgratnnlemnexp  12203  cvgratnnlemmn  12204  fprodsplitdc  12275  efzval  12362  tanaddaplem  12417  tanaddap  12418  cos01gt0  12442  absef  12449  1dvds  12484  bitsfzo  12634  bitsmod  12635  bezoutlema  12688  bezoutlemb  12689  gcdmultiple  12709  sqgcd  12718  lcm1  12771  coprmdvds  12782  qredeu  12787  phiprmpw  12912  coprimeprodsq  12948  pc2dvds  13021  sumhashdc  13038  fldivp1  13039  pcfaclem  13040  prmpwdvds  13046  zsssubrg  14720  mulgrhm2  14745  znrrg  14795  dveflem  15578  plyconst  15597  plycolemc  15610  efper  15659  tangtx  15690  logdivlti  15733  rpcxpmul2  15765  relogbexpap  15810  rplogbcxp  15815  0sgm  15840  lgsdir2  15893  lgsquad2lem1  15941  lgsquad3  15944  2sqlem6  15980  2sqlem8  15983  trilpolemclim  16807  trilpolemisumle  16809  trilpolemeq1  16811  trilpolemlt1  16812  redcwlpolemeq1  16826  nconstwlpolemgt0  16836