Theorem mulridd 8350

Description: Identity law for multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
addcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulridd	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Proof of Theorem mulridd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulrid 8330	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6088  ℂcc 8184  1c1 8187   · cmul 8191

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-mulcl 8284  ax-mulcom 8287  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-1rid 8293  ax-cnre 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091

This theorem is used by:  muladd11  8467  muls1d  8753  ltmul1  8929  mulap0  8991  divrecap  9027  diveqap1  9044  conjmulap  9068  apmul1  9127  qapne  10056  divelunit  10422  modqid  10808  q2submod  10844  addmodlteq  10857  expadd  11040  leexp2r  11052  nnlesq  11102  sqoddm1div8  11153  nn0opthlem1d  11181  faclbnd  11202  faclbnd2  11203  faclbnd6  11205  facavg  11207  bcn0  11216  bcn1  11219  hashf1lem2  11309  hashfac  11311  reccn2ap  12105  hash2iun1dif1  12273  binom11  12279  trireciplem  12293  geosergap  12299  cvgratnnlemnexp  12317  cvgratnnlemmn  12318  fprodsplitdc  12389  efzval  12476  tanaddaplem  12531  tanaddap  12532  cos01gt0  12556  absef  12563  1dvds  12598  bitsfzo  12748  bitsmod  12749  bezoutlema  12802  bezoutlemb  12803  gcdmultiple  12823  sqgcd  12832  lcm1  12885  coprmdvds  12896  qredeu  12901  phiprmpw  13030  coprimeprodsq  13066  pc2dvds  13139  sumhashdc  13156  fldivp1  13157  pcfaclem  13158  prmpwdvds  13164  zsssubrg  15032  mulgrhm2  15055  znrrg  15105  dveflem  15964  plyconst  15983  plycolemc  15996  efper  16046  tangtx  16077  logdivlti  16123  logdivlt  16136  rpcxpmul2  16158  efnthr  16188  relogbexpap  16206  rplogbcxp  16211  birthdaylem3  16239  0sgm  16266  bposlem1  16323  bposlem2  16324  bposlem5  16327  lgsdir2  16369  lgsquad2lem1  16417  lgsquad3  16420  2sqlem6  16456  2sqlem8  16459  trilpolemclim  17304  trilpolemisumle  17306  trilpolemeq1  17308  trilpolemlt1  17309  redcwlpolemeq1  17323  nconstwlpolemgt0  17333