Theorem mulridd 8343

Description: Identity law for multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
addcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulridd	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Proof of Theorem mulridd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulrid 8323	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  1c1 8180   · cmul 8184

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-mulcl 8277  ax-mulcom 8280  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-1rid 8286  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088

This theorem is used by:  muladd11  8459  muls1d  8745  ltmul1  8921  mulap0  8983  divrecap  9019  diveqap1  9036  conjmulap  9060  apmul1  9119  qapne  10041  divelunit  10406  modqid  10788  q2submod  10824  addmodlteq  10837  expadd  11020  leexp2r  11032  nnlesq  11082  sqoddm1div8  11133  nn0opthlem1d  11160  faclbnd  11181  faclbnd2  11182  faclbnd6  11184  facavg  11186  bcn0  11195  bcn1  11198  hashf1lem2  11288  hashfac  11290  reccn2ap  12081  hash2iun1dif1  12249  binom11  12255  trireciplem  12269  geosergap  12275  cvgratnnlemnexp  12293  cvgratnnlemmn  12294  fprodsplitdc  12365  efzval  12452  tanaddaplem  12507  tanaddap  12508  cos01gt0  12532  absef  12539  1dvds  12574  bitsfzo  12724  bitsmod  12725  bezoutlema  12778  bezoutlemb  12779  gcdmultiple  12799  sqgcd  12808  lcm1  12861  coprmdvds  12872  qredeu  12877  phiprmpw  13002  coprimeprodsq  13038  pc2dvds  13111  sumhashdc  13128  fldivp1  13129  pcfaclem  13130  prmpwdvds  13136  zsssubrg  14924  mulgrhm2  14947  znrrg  14997  dveflem  15829  plyconst  15848  plycolemc  15861  efper  15911  tangtx  15942  logdivlti  15986  logdivlt  15999  rpcxpmul2  16021  relogbexpap  16066  rplogbcxp  16071  birthdaylem3  16095  0sgm  16105  lgsdir2  16164  lgsquad2lem1  16212  lgsquad3  16215  2sqlem6  16251  2sqlem8  16254  trilpolemclim  17097  trilpolemisumle  17099  trilpolemeq1  17101  trilpolemlt1  17102  redcwlpolemeq1  17116  nconstwlpolemgt0  17126