Theorem mulridd 8060

Description: Identity law for multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
addcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulridd	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Proof of Theorem mulridd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulrid 8040	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5925  ℂcc 7894  1c1 7897   · cmul 7901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-mulcl 7994  ax-mulcom 7997  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-1rid 8003  ax-cnre 8007

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928

This theorem is referenced by:  muladd11  8176  muls1d  8461  ltmul1  8636  mulap0  8698  divrecap  8732  diveqap1  8749  conjmulap  8773  apmul1  8832  qapne  9730  divelunit  10094  modqid  10458  q2submod  10494  addmodlteq  10507  expadd  10690  leexp2r  10702  nnlesq  10752  sqoddm1div8  10802  nn0opthlem1d  10829  faclbnd  10850  faclbnd2  10851  faclbnd6  10853  facavg  10855  bcn0  10864  bcn1  10867  reccn2ap  11495  hash2iun1dif1  11662  binom11  11668  trireciplem  11682  geosergap  11688  cvgratnnlemnexp  11706  cvgratnnlemmn  11707  fprodsplitdc  11778  efzval  11865  tanaddaplem  11920  tanaddap  11921  cos01gt0  11945  absef  11952  1dvds  11987  bitsfzo  12137  bitsmod  12138  bezoutlema  12191  bezoutlemb  12192  gcdmultiple  12212  sqgcd  12221  lcm1  12274  coprmdvds  12285  qredeu  12290  phiprmpw  12415  coprimeprodsq  12451  pc2dvds  12524  sumhashdc  12541  fldivp1  12542  pcfaclem  12543  prmpwdvds  12549  zsssubrg  14217  mulgrhm2  14242  znrrg  14292  dveflem  15046  plyconst  15065  plycolemc  15078  efper  15127  tangtx  15158  logdivlti  15201  rpcxpmul2  15233  relogbexpap  15278  rplogbcxp  15283  0sgm  15305  lgsdir2  15358  lgsquad2lem1  15406  lgsquad3  15409  2sqlem6  15445  2sqlem8  15448  trilpolemclim  15767  trilpolemisumle  15769  trilpolemeq1  15771  trilpolemlt1  15772  redcwlpolemeq1  15785  nconstwlpolemgt0  15795