Theorem mulridd 8196

Description: Identity law for multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
addcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulridd	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Proof of Theorem mulridd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulrid 8176	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6018  ℂcc 8030  1c1 8033   · cmul 8037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-mulcl 8130  ax-mulcom 8133  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-1rid 8139  ax-cnre 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6021

This theorem is referenced by:  muladd11  8312  muls1d  8597  ltmul1  8772  mulap0  8834  divrecap  8868  diveqap1  8885  conjmulap  8909  apmul1  8968  qapne  9873  divelunit  10237  modqid  10612  q2submod  10648  addmodlteq  10661  expadd  10844  leexp2r  10856  nnlesq  10906  sqoddm1div8  10956  nn0opthlem1d  10983  faclbnd  11004  faclbnd2  11005  faclbnd6  11007  facavg  11009  bcn0  11018  bcn1  11021  reccn2ap  11875  hash2iun1dif1  12043  binom11  12049  trireciplem  12063  geosergap  12069  cvgratnnlemnexp  12087  cvgratnnlemmn  12088  fprodsplitdc  12159  efzval  12246  tanaddaplem  12301  tanaddap  12302  cos01gt0  12326  absef  12333  1dvds  12368  bitsfzo  12518  bitsmod  12519  bezoutlema  12572  bezoutlemb  12573  gcdmultiple  12593  sqgcd  12602  lcm1  12655  coprmdvds  12666  qredeu  12671  phiprmpw  12796  coprimeprodsq  12832  pc2dvds  12905  sumhashdc  12922  fldivp1  12923  pcfaclem  12924  prmpwdvds  12930  zsssubrg  14602  mulgrhm2  14627  znrrg  14677  dveflem  15453  plyconst  15472  plycolemc  15485  efper  15534  tangtx  15565  logdivlti  15608  rpcxpmul2  15640  relogbexpap  15685  rplogbcxp  15690  0sgm  15712  lgsdir2  15765  lgsquad2lem1  15813  lgsquad3  15816  2sqlem6  15852  2sqlem8  15855  trilpolemclim  16661  trilpolemisumle  16663  trilpolemeq1  16665  trilpolemlt1  16666  redcwlpolemeq1  16679  nconstwlpolemgt0  16689