Theorem mulridd 8038

Description: Identity law for multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
addcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulridd	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Proof of Theorem mulridd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulrid 8018	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  (class class class)co 5919  ℂcc 7872  1c1 7875   · cmul 7879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-mulcl 7972  ax-mulcom 7975  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-1rid 7981  ax-cnre 7985

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-iota 5216  df-fv 5263  df-ov 5922

This theorem is referenced by:  muladd11  8154  ltmul1  8613  mulap0  8675  divrecap  8709  diveqap1  8726  conjmulap  8750  apmul1  8809  qapne  9707  divelunit  10071  modqid  10423  q2submod  10459  addmodlteq  10472  expadd  10655  leexp2r  10667  nnlesq  10717  sqoddm1div8  10767  nn0opthlem1d  10794  faclbnd  10815  faclbnd2  10816  faclbnd6  10818  facavg  10820  bcn0  10829  bcn1  10832  reccn2ap  11459  hash2iun1dif1  11626  binom11  11632  trireciplem  11646  geosergap  11652  cvgratnnlemnexp  11670  cvgratnnlemmn  11671  fprodsplitdc  11742  efzval  11829  tanaddaplem  11884  tanaddap  11885  cos01gt0  11909  absef  11916  1dvds  11951  bezoutlema  12139  bezoutlemb  12140  gcdmultiple  12160  sqgcd  12169  lcm1  12222  coprmdvds  12233  qredeu  12238  phiprmpw  12363  coprimeprodsq  12398  pc2dvds  12471  sumhashdc  12488  fldivp1  12489  pcfaclem  12490  prmpwdvds  12496  zsssubrg  14084  mulgrhm2  14109  znrrg  14159  dveflem  14905  plyconst  14924  plycolemc  14936  efper  14983  tangtx  15014  logdivlti  15057  relogbexpap  15131  rplogbcxp  15136  lgsdir2  15190  lgsquad2lem1  15238  lgsquad3  15241  2sqlem6  15277  2sqlem8  15280  trilpolemclim  15596  trilpolemisumle  15598  trilpolemeq1  15600  trilpolemlt1  15601  redcwlpolemeq1  15614  nconstwlpolemgt0  15624