Theorem mulridd 8045

Description: Identity law for multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
addcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulridd	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Proof of Theorem mulridd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulrid 8025	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5923  ℂcc 7879  1c1 7882   · cmul 7886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-mulcl 7979  ax-mulcom 7982  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-1rid 7988  ax-cnre 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5926

This theorem is referenced by:  muladd11  8161  muls1d  8446  ltmul1  8621  mulap0  8683  divrecap  8717  diveqap1  8734  conjmulap  8758  apmul1  8817  qapne  9715  divelunit  10079  modqid  10443  q2submod  10479  addmodlteq  10492  expadd  10675  leexp2r  10687  nnlesq  10737  sqoddm1div8  10787  nn0opthlem1d  10814  faclbnd  10835  faclbnd2  10836  faclbnd6  10838  facavg  10840  bcn0  10849  bcn1  10852  reccn2ap  11480  hash2iun1dif1  11647  binom11  11653  trireciplem  11667  geosergap  11673  cvgratnnlemnexp  11691  cvgratnnlemmn  11692  fprodsplitdc  11763  efzval  11850  tanaddaplem  11905  tanaddap  11906  cos01gt0  11930  absef  11937  1dvds  11972  bitsfzo  12122  bitsmod  12123  bezoutlema  12176  bezoutlemb  12177  gcdmultiple  12197  sqgcd  12206  lcm1  12259  coprmdvds  12270  qredeu  12275  phiprmpw  12400  coprimeprodsq  12436  pc2dvds  12509  sumhashdc  12526  fldivp1  12527  pcfaclem  12528  prmpwdvds  12534  zsssubrg  14151  mulgrhm2  14176  znrrg  14226  dveflem  14972  plyconst  14991  plycolemc  15004  efper  15053  tangtx  15084  logdivlti  15127  rpcxpmul2  15159  relogbexpap  15204  rplogbcxp  15209  0sgm  15231  lgsdir2  15284  lgsquad2lem1  15332  lgsquad3  15335  2sqlem6  15371  2sqlem8  15374  trilpolemclim  15690  trilpolemisumle  15692  trilpolemeq1  15694  trilpolemlt1  15695  redcwlpolemeq1  15708  nconstwlpolemgt0  15718