Theorem mulridd 8296

Description: Identity law for multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
addcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulridd	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Proof of Theorem mulridd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulrid 8276	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  (class class class)co 6052  ℂcc 8130  1c1 8133   · cmul 8137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-mulcl 8230  ax-mulcom 8233  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-1rid 8239  ax-cnre 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-iota 5314  df-fv 5362  df-ov 6055

This theorem is referenced by:  muladd11  8411  muls1d  8696  ltmul1  8871  mulap0  8933  divrecap  8967  diveqap1  8984  conjmulap  9008  apmul1  9067  qapne  9977  divelunit  10341  modqid  10718  q2submod  10754  addmodlteq  10767  expadd  10950  leexp2r  10962  nnlesq  11012  sqoddm1div8  11063  nn0opthlem1d  11090  faclbnd  11111  faclbnd2  11112  faclbnd6  11114  facavg  11116  bcn0  11125  bcn1  11128  reccn2ap  12006  hash2iun1dif1  12174  binom11  12180  trireciplem  12194  geosergap  12200  cvgratnnlemnexp  12218  cvgratnnlemmn  12219  fprodsplitdc  12290  efzval  12377  tanaddaplem  12432  tanaddap  12433  cos01gt0  12457  absef  12464  1dvds  12499  bitsfzo  12649  bitsmod  12650  bezoutlema  12703  bezoutlemb  12704  gcdmultiple  12724  sqgcd  12733  lcm1  12786  coprmdvds  12797  qredeu  12802  phiprmpw  12927  coprimeprodsq  12963  pc2dvds  13036  sumhashdc  13053  fldivp1  13054  pcfaclem  13055  prmpwdvds  13061  zsssubrg  14782  mulgrhm2  14807  znrrg  14857  dveflem  15640  plyconst  15659  plycolemc  15672  efper  15721  tangtx  15752  logdivlti  15795  rpcxpmul2  15827  relogbexpap  15872  rplogbcxp  15877  0sgm  15902  lgsdir2  15955  lgsquad2lem1  16003  lgsquad3  16006  2sqlem6  16042  2sqlem8  16045  trilpolemclim  16869  trilpolemisumle  16871  trilpolemeq1  16873  trilpolemlt1  16874  redcwlpolemeq1  16888  nconstwlpolemgt0  16899