ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  numnncl2 GIF version

Theorem numnncl2 9226
Description: Closure for a decimal integer (zero units place). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
numnncl2.1 𝑇 ∈ ℕ
numnncl2.2 𝐴 ∈ ℕ
Assertion
Ref Expression
numnncl2 ((𝑇 · 𝐴) + 0) ∈ ℕ

Proof of Theorem numnncl2
StepHypRef Expression
1 numnncl2.1 . . . . 5 𝑇 ∈ ℕ
2 numnncl2.2 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ
31, 2nnmulcli 8764 . . . 4 (𝑇 · 𝐴) ∈ ℕ
43nncni 8752 . . 3 (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ
54addid1i 7926 . 2 ((𝑇 · 𝐴) + 0) = (𝑇 · 𝐴)
65, 3eqeltri 2213 1 ((𝑇 · 𝐴) + 0) ∈ ℕ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wcel 1481  (class class class)co 5780  0cc0 7642   + caddc 7645   · cmul 7647  cn 8742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4052  ax-cnex 7733  ax-resscn 7734  ax-1cn 7735  ax-1re 7736  ax-icn 7737  ax-addcl 7738  ax-addrcl 7739  ax-mulcl 7740  ax-mulcom 7743  ax-addass 7744  ax-mulass 7745  ax-distr 7746  ax-1rid 7749  ax-0id 7750  ax-cnre 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-un 3078  df-in 3080  df-ss 3087  df-sn 3536  df-pr 3537  df-op 3539  df-uni 3743  df-int 3778  df-br 3936  df-iota 5094  df-fv 5137  df-ov 5783  df-inn 8743
This theorem is referenced by:  decnncl2  9227
  Copyright terms: Public domain W3C validator