Theorem numnncl2 9568

Description: Closure for a decimal integer (zero units place). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
numnncl2.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ
numnncl2.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
numnncl2	⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 0) ∈ ℕ

Proof of Theorem numnncl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numnncl2.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ
2		numnncl2.2	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
3	1, 2	nnmulcli 9100	. . . 4 ⊢ (𝑇 · 𝐴) ∈ ℕ
4	3	nncni 9088	. . 3 ⊢ (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ
5	4	addridi 8256	. 2 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 0) = (𝑇 · 𝐴)
6	5, 3	eqeltri 2282	1 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 0) ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2180  (class class class)co 5974  0cc0 7967   + caddc 7970   · cmul 7972  ℕcn 9078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-cnre 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-nf 1487  df-sb 1789  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ral 2493  df-rex 2494  df-rab 2497  df-v 2781  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-br 4063  df-iota 5254  df-fv 5302  df-ov 5977  df-inn 9079

This theorem is referenced by:  decnncl2  9569