Theorem numnncl2 9056

Description: Closure for a decimal integer (zero units place). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
numnncl2.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ
numnncl2.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
numnncl2	⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 0) ∈ ℕ

Proof of Theorem numnncl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numnncl2.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ
2		numnncl2.2	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
3	1, 2	nnmulcli 8600	. . . 4 ⊢ (𝑇 · 𝐴) ∈ ℕ
4	3	nncni 8588	. . 3 ⊢ (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ
5	4	addid1i 7775	. 2 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 0) = (𝑇 · 𝐴)
6	5, 3	eqeltri 2172	1 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 0) ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 1448  (class class class)co 5706  0cc0 7500   + caddc 7503   · cmul 7505  ℕcn 8578

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-cnre 7606

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-br 3876  df-iota 5024  df-fv 5067  df-ov 5709  df-inn 8579

This theorem is referenced by:  decnncl2  9057