Theorem numnncl2 9473

Description: Closure for a decimal integer (zero units place). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
numnncl2.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ
numnncl2.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
numnncl2	⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 0) ∈ ℕ

Proof of Theorem numnncl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numnncl2.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ
2		numnncl2.2	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
3	1, 2	nnmulcli 9006	. . . 4 ⊢ (𝑇 · 𝐴) ∈ ℕ
4	3	nncni 8994	. . 3 ⊢ (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ
5	4	addid1i 8163	. 2 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 0) = (𝑇 · 𝐴)
6	5, 3	eqeltri 2266	1 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 0) ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2164  (class class class)co 5919  0cc0 7874   + caddc 7877   · cmul 7879  ℕcn 8984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-cnre 7985

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-iota 5216  df-fv 5263  df-ov 5922  df-inn 8985

This theorem is referenced by:  decnncl2  9474