Theorem numnncl2 9638

Description: Closure for a decimal integer (zero units place). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
numnncl2.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ
numnncl2.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
numnncl2	⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 0) ∈ ℕ

Proof of Theorem numnncl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numnncl2.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ
2		numnncl2.2	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
3	1, 2	nnmulcli 9170	. . . 4 ⊢ (𝑇 · 𝐴) ∈ ℕ
4	3	nncni 9158	. . 3 ⊢ (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ
5	4	addridi 8326	. 2 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 0) = (𝑇 · 𝐴)
6	5, 3	eqeltri 2303	1 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 0) ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2201  (class class class)co 6023  0cc0 8037   + caddc 8040   · cmul 8042  ℕcn 9148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-cnre 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1810  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ral 2514  df-rex 2515  df-rab 2518  df-v 2803  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-br 4090  df-iota 5288  df-fv 5336  df-ov 6026  df-inn 9149

This theorem is referenced by:  decnncl2  9639