ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  numnncl2 GIF version

Theorem numnncl2 9435
Description: Closure for a decimal integer (zero units place). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
numnncl2.1 𝑇 ∈ ℕ
numnncl2.2 𝐴 ∈ ℕ
Assertion
Ref Expression
numnncl2 ((𝑇 · 𝐴) + 0) ∈ ℕ

Proof of Theorem numnncl2
StepHypRef Expression
1 numnncl2.1 . . . . 5 𝑇 ∈ ℕ
2 numnncl2.2 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ
31, 2nnmulcli 8970 . . . 4 (𝑇 · 𝐴) ∈ ℕ
43nncni 8958 . . 3 (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ
54addid1i 8128 . 2 ((𝑇 · 𝐴) + 0) = (𝑇 · 𝐴)
65, 3eqeltri 2262 1 ((𝑇 · 𝐴) + 0) ∈ ℕ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wcel 2160  (class class class)co 5895  0cc0 7840   + caddc 7843   · cmul 7845  cn 8948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-mulcom 7941  ax-addass 7942  ax-mulass 7943  ax-distr 7944  ax-1rid 7947  ax-0id 7948  ax-cnre 7951
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-iota 5196  df-fv 5243  df-ov 5898  df-inn 8949
This theorem is referenced by:  decnncl2  9436
  Copyright terms: Public domain W3C validator