Theorem grpinvfng 13176

Description: Functionality of the group inverse function. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvfn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvfn.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvfng	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝑁 Fn 𝐵)

Proof of Theorem grpinvfng

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvfn.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		basfn 12736	. . . . . . 7 ⊢ Base Fn V
3		elex 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
4		funfvex 5575	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝐺 ∈ dom Base) → (Base‘𝐺) ∈ V)
5	4	funfni 5358	. . . . . . 7 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝐺 ∈ V) → (Base‘𝐺) ∈ V)
6	2, 3, 5	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐺) ∈ V)
7	1, 6	eqeltrid 2283	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ V)
8		riotaexg 5881	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)) ∈ V)
9	7, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)) ∈ V)
10	9	ralrimivw 2571	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)) ∈ V)
11		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺))) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)))
12	11	fnmpt 5384	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)) ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺))) Fn 𝐵)
13	10, 12	syl 14	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺))) Fn 𝐵)
14		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
15		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
16		grpinvfn.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
17	1, 14, 15, 16	grpinvfvalg 13174	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺))))
18	17	fneq1d 5348	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝑁 Fn 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺))) Fn 𝐵))
19	13, 18	mpbird 167	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝑁 Fn 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  Vcvv 2763   ↦ cmpt 4094   Fn wfn 5253  ‘cfv 5258  ℩crio 5876  (class class class)co 5922  Basecbs 12678  +_gcplusg 12755  0_gc0g 12927  inv_gcminusg 13133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-inn 8991  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-minusg 13136

This theorem is referenced by:  isgrpinv  13186  mulgval  13252  mulgfng  13254  invrfvald  13678