Theorem fn0g 13519

Description: The group zero extractor is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fn0g	⊢ 0g Fn V

Proof of Theorem fn0g

Dummy variables 𝑒 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-riota 5981	. . 3 ⊢ (℩𝑒 ∈ (Base‘𝑔)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑔)((𝑒(+g‘𝑔)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘𝑔)𝑒) = 𝑥)) = (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑔) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑔)((𝑒(+g‘𝑔)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘𝑔)𝑒) = 𝑥)))
2		basfn 13202	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
3		vex 2806	. . . . 5 ⊢ 𝑔 ∈ V
4		funfvex 5665	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑔 ∈ dom Base) → (Base‘𝑔) ∈ V)
5	4	funfni 5439	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑔 ∈ V) → (Base‘𝑔) ∈ V)
6	2, 3, 5	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑔) ∈ V
7		riotaexg 5985	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑔) ∈ V → (℩𝑒 ∈ (Base‘𝑔)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑔)((𝑒(+g‘𝑔)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘𝑔)𝑒) = 𝑥)) ∈ V)
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (℩𝑒 ∈ (Base‘𝑔)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑔)((𝑒(+g‘𝑔)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘𝑔)𝑒) = 𝑥)) ∈ V
9	1, 8	eqeltrri 2305	. 2 ⊢ (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑔) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑔)((𝑒(+g‘𝑔)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘𝑔)𝑒) = 𝑥))) ∈ V
10		df-0g 13402	. 2 ⊢ 0g = (𝑔 ∈ V ↦ (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑔) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑔)((𝑒(+g‘𝑔)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘𝑔)𝑒) = 𝑥))))
11	9, 10	fnmpti 5468	1 ⊢ 0g Fn V

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511  Vcvv 2803  ℩cio 5291   Fn wfn 5328  ‘cfv 5333  ℩crio 5980  (class class class)co 6028  Basecbs 13143  +_gcplusg 13221  0_gc0g 13400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-sbc 3033  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-riota 5981  df-inn 9187  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-0g 13402

This theorem is referenced by:  fngsum  13532  igsumvalx  13533  gsumfzval  13535  gsum0g  13540  prdsidlem  13591  pws0g  13595  0mhm  13630  prdsinvlem  13752  mulgval  13770  mulgfng  13772  issrg  14040  isdomn  14345