ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hmeontr GIF version

Theorem hmeontr 12492
Description: Homeomorphisms preserve interiors. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hmeoopn.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
hmeontr ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → ((int‘𝐾)‘(𝐹𝐴)) = (𝐹 “ ((int‘𝐽)‘𝐴)))

Proof of Theorem hmeontr
StepHypRef Expression
1 hmeocn 12484 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
21adantr 274 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3 imassrn 4892 . . . . . 6 (𝐹𝐴) ⊆ ran 𝐹
4 hmeoopn.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = 𝐽
5 eqid 2139 . . . . . . . . 9 𝐾 = 𝐾
64, 5hmeof1o 12488 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹:𝑋1-1-onto 𝐾)
76adantr 274 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐹:𝑋1-1-onto 𝐾)
8 f1ofo 5374 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋1-1-onto 𝐾𝐹:𝑋onto 𝐾)
9 forn 5348 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋onto 𝐾 → ran 𝐹 = 𝐾)
107, 8, 93syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → ran 𝐹 = 𝐾)
113, 10sseqtrid 3147 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹𝐴) ⊆ 𝐾)
125cnntri 12403 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (𝐹𝐴) ⊆ 𝐾) → (𝐹 “ ((int‘𝐾)‘(𝐹𝐴))) ⊆ ((int‘𝐽)‘(𝐹 “ (𝐹𝐴))))
132, 11, 12syl2anc 408 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹 “ ((int‘𝐾)‘(𝐹𝐴))) ⊆ ((int‘𝐽)‘(𝐹 “ (𝐹𝐴))))
14 f1of1 5366 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋1-1-onto 𝐾𝐹:𝑋1-1 𝐾)
157, 14syl 14 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐹:𝑋1-1 𝐾)
16 f1imacnv 5384 . . . . . 6 ((𝐹:𝑋1-1 𝐾𝐴𝑋) → (𝐹 “ (𝐹𝐴)) = 𝐴)
1715, 16sylancom 416 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹 “ (𝐹𝐴)) = 𝐴)
1817fveq2d 5425 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → ((int‘𝐽)‘(𝐹 “ (𝐹𝐴))) = ((int‘𝐽)‘𝐴))
1913, 18sseqtrd 3135 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹 “ ((int‘𝐾)‘(𝐹𝐴))) ⊆ ((int‘𝐽)‘𝐴))
20 f1ofun 5369 . . . . 5 (𝐹:𝑋1-1-onto 𝐾 → Fun 𝐹)
217, 20syl 14 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → Fun 𝐹)
22 cntop2 12381 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
232, 22syl 14 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐾 ∈ Top)
245ntrss3 12302 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐹𝐴) ⊆ 𝐾) → ((int‘𝐾)‘(𝐹𝐴)) ⊆ 𝐾)
2523, 11, 24syl2anc 408 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → ((int‘𝐾)‘(𝐹𝐴)) ⊆ 𝐾)
2625, 10sseqtrrd 3136 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → ((int‘𝐾)‘(𝐹𝐴)) ⊆ ran 𝐹)
27 funimass1 5200 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ ((int‘𝐾)‘(𝐹𝐴)) ⊆ ran 𝐹) → ((𝐹 “ ((int‘𝐾)‘(𝐹𝐴))) ⊆ ((int‘𝐽)‘𝐴) → ((int‘𝐾)‘(𝐹𝐴)) ⊆ (𝐹 “ ((int‘𝐽)‘𝐴))))
2821, 26, 27syl2anc 408 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐹 “ ((int‘𝐾)‘(𝐹𝐴))) ⊆ ((int‘𝐽)‘𝐴) → ((int‘𝐾)‘(𝐹𝐴)) ⊆ (𝐹 “ ((int‘𝐽)‘𝐴))))
2919, 28mpd 13 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → ((int‘𝐾)‘(𝐹𝐴)) ⊆ (𝐹 “ ((int‘𝐽)‘𝐴)))
30 hmeocnvcn 12485 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
314cnntri 12403 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹 “ ((int‘𝐽)‘𝐴)) ⊆ ((int‘𝐾)‘(𝐹𝐴)))
3230, 31sylan 281 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹 “ ((int‘𝐽)‘𝐴)) ⊆ ((int‘𝐾)‘(𝐹𝐴)))
33 imacnvcnv 5003 . . 3 (𝐹 “ ((int‘𝐽)‘𝐴)) = (𝐹 “ ((int‘𝐽)‘𝐴))
34 imacnvcnv 5003 . . . 4 (𝐹𝐴) = (𝐹𝐴)
3534fveq2i 5424 . . 3 ((int‘𝐾)‘(𝐹𝐴)) = ((int‘𝐾)‘(𝐹𝐴))
3632, 33, 353sstr3g 3139 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹 “ ((int‘𝐽)‘𝐴)) ⊆ ((int‘𝐾)‘(𝐹𝐴)))
3729, 36eqssd 3114 1 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → ((int‘𝐾)‘(𝐹𝐴)) = (𝐹 “ ((int‘𝐽)‘𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480  wss 3071   cuni 3736  ccnv 4538  ran crn 4540  cima 4542  Fun wfun 5117  1-1wf1 5120  ontowfo 5121  1-1-ontowf1o 5122  cfv 5123  (class class class)co 5774  Topctop 12174  intcnt 12272   Cn ccn 12364  Homeochmeo 12479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-top 12175  df-topon 12188  df-ntr 12275  df-cn 12367  df-hmeo 12480
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator