ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hmeontr GIF version
Theorem hmeontr 13783
Description: Homeomorphisms preserve interiors. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hmeoopn.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
Assertion
Ref Expression
hmeontr ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ ((intβ€˜πΎ)β€˜(𝐹 β€œ 𝐴)) = (𝐹 β€œ ((intβ€˜π½)β€˜π΄)))
Proof of Theorem hmeontr
StepHypRef Expression
1 hmeocn 13775 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
21adantr 276 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3 imassrn 4981 . . . . . 6 (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† ran 𝐹
4 hmeoopn.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = βˆͺ 𝐽
5 eqid 2177 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
64, 5hmeof1o 13779 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) β†’ 𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’βˆͺ 𝐾)
76adantr 276 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’βˆͺ 𝐾)
8 f1ofo 5468 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’βˆͺ 𝐾 β†’ 𝐹:𝑋–ontoβ†’βˆͺ 𝐾)
9 forn 5441 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋–ontoβ†’βˆͺ 𝐾 β†’ ran 𝐹 = βˆͺ 𝐾)
107, 8, 93syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ ran 𝐹 = βˆͺ 𝐾)
113, 10sseqtrid 3205 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† βˆͺ 𝐾)
125cnntri 13694 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† βˆͺ 𝐾) β†’ (◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜(𝐹 β€œ 𝐴))) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(◑𝐹 β€œ (𝐹 β€œ 𝐴))))
132, 11, 12syl2anc 411 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜(𝐹 β€œ 𝐴))) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(◑𝐹 β€œ (𝐹 β€œ 𝐴))))
14 f1of1 5460 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’βˆͺ 𝐾 β†’ 𝐹:𝑋–1-1β†’βˆͺ 𝐾)
157, 14syl 14 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:𝑋–1-1β†’βˆͺ 𝐾)
16 f1imacnv 5478 . . . . . 6 ((𝐹:𝑋–1-1β†’βˆͺ 𝐾 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐹 β€œ 𝐴)) = 𝐴)
1715, 16sylancom 420 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐹 β€œ 𝐴)) = 𝐴)
1817fveq2d 5519 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(◑𝐹 β€œ (𝐹 β€œ 𝐴))) = ((intβ€˜π½)β€˜π΄))
1913, 18sseqtrd 3193 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜(𝐹 β€œ 𝐴))) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜π΄))
20 f1ofun 5463 . . . . 5 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’βˆͺ 𝐾 β†’ Fun 𝐹)
217, 20syl 14 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ Fun 𝐹)
22 cntop2 13672 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ Top)
232, 22syl 14 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ Top)
245ntrss3 13593 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† βˆͺ 𝐾) β†’ ((intβ€˜πΎ)β€˜(𝐹 β€œ 𝐴)) βŠ† βˆͺ 𝐾)
2523, 11, 24syl2anc 411 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ ((intβ€˜πΎ)β€˜(𝐹 β€œ 𝐴)) βŠ† βˆͺ 𝐾)
2625, 10sseqtrrd 3194 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ ((intβ€˜πΎ)β€˜(𝐹 β€œ 𝐴)) βŠ† ran 𝐹)
27 funimass1 5293 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ ((intβ€˜πΎ)β€˜(𝐹 β€œ 𝐴)) βŠ† ran 𝐹) β†’ ((◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜(𝐹 β€œ 𝐴))) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜π΄) β†’ ((intβ€˜πΎ)β€˜(𝐹 β€œ 𝐴)) βŠ† (𝐹 β€œ ((intβ€˜π½)β€˜π΄))))
2821, 26, 27syl2anc 411 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ ((◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜(𝐹 β€œ 𝐴))) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜π΄) β†’ ((intβ€˜πΎ)β€˜(𝐹 β€œ 𝐴)) βŠ† (𝐹 β€œ ((intβ€˜π½)β€˜π΄))))
2919, 28mpd 13 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ ((intβ€˜πΎ)β€˜(𝐹 β€œ 𝐴)) βŠ† (𝐹 β€œ ((intβ€˜π½)β€˜π΄)))
30 hmeocnvcn 13776 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) β†’ ◑𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
314cnntri 13694 . . . 4 ((◑𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (◑◑𝐹 β€œ ((intβ€˜π½)β€˜π΄)) βŠ† ((intβ€˜πΎ)β€˜(◑◑𝐹 β€œ 𝐴)))
3230, 31sylan 283 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (◑◑𝐹 β€œ ((intβ€˜π½)β€˜π΄)) βŠ† ((intβ€˜πΎ)β€˜(◑◑𝐹 β€œ 𝐴)))
33 imacnvcnv 5093 . . 3 (◑◑𝐹 β€œ ((intβ€˜π½)β€˜π΄)) = (𝐹 β€œ ((intβ€˜π½)β€˜π΄))
34 imacnvcnv 5093 . . . 4 (◑◑𝐹 β€œ 𝐴) = (𝐹 β€œ 𝐴)
3534fveq2i 5518 . . 3 ((intβ€˜πΎ)β€˜(◑◑𝐹 β€œ 𝐴)) = ((intβ€˜πΎ)β€˜(𝐹 β€œ 𝐴))
3632, 33, 353sstr3g 3197 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 β€œ ((intβ€˜π½)β€˜π΄)) βŠ† ((intβ€˜πΎ)β€˜(𝐹 β€œ 𝐴)))
3729, 36eqssd 3172 1 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ ((intβ€˜πΎ)β€˜(𝐹 β€œ 𝐴)) = (𝐹 β€œ ((intβ€˜π½)β€˜π΄)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   βŠ† wss 3129  βˆͺ cuni 3809  β—‘ccnv 4625  ran crn 4627   β€œ cima 4629  Fun wfun 5210  β€“1-1β†’wf1 5213  β€“ontoβ†’wfo 5214  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 5215  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  Topctop 13467  intcnt 13563   Cn ccn 13655  Homeochmeo 13770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-map 6649  df-top 13468  df-topon 13481  df-ntr 13566  df-cn 13658  df-hmeo 13771
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator