ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subsubrg GIF version

Theorem subsubrg 13801
Description: A subring of a subring is a subring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subsubrg.s 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
Assertion
Ref Expression
subsubrg (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴)))

Proof of Theorem subsubrg
StepHypRef Expression
1 subrgrcl 13782 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
21adantr 276 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
3 eqid 2196 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
43subrgss 13778 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
54adantl 277 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
6 subsubrg.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
76subrgbas 13786 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
87adantr 276 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
95, 8sseqtrrd 3222 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝐵𝐴)
106oveq1i 5932 . . . . . . 7 (𝑆s 𝐵) = ((𝑅s 𝐴) ↾s 𝐵)
11 ressabsg 12754 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴𝑅 ∈ Ring) → ((𝑅s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝑅s 𝐵))
12113expa 1205 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑅s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝑅s 𝐵))
131, 12mpidan 423 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴) → ((𝑅s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝑅s 𝐵))
1410, 13eqtrid 2241 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴) → (𝑆s 𝐵) = (𝑅s 𝐵))
159, 14syldan 282 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑆s 𝐵) = (𝑅s 𝐵))
16 eqid 2196 . . . . . . 7 (𝑆s 𝐵) = (𝑆s 𝐵)
1716subrgring 13780 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑆s 𝐵) ∈ Ring)
1817adantl 277 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑆s 𝐵) ∈ Ring)
1915, 18eqeltrrd 2274 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑅s 𝐵) ∈ Ring)
20 eqid 2196 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2120subrgss 13778 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
2221adantr 276 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
239, 22sstrd 3193 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑅))
24 eqid 2196 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑅)
256, 24subrg1 13787 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r𝑅) = (1r𝑆))
2625adantr 276 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (1r𝑅) = (1r𝑆))
27 eqid 2196 . . . . . . . 8 (1r𝑆) = (1r𝑆)
2827subrg1cl 13785 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → (1r𝑆) ∈ 𝐵)
2928adantl 277 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (1r𝑆) ∈ 𝐵)
3026, 29eqeltrd 2273 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
3123, 30jca 306 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐵 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵))
3220, 24issubrg 13777 . . . 4 (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅s 𝐵) ∈ Ring) ∧ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵)))
332, 19, 31, 32syl21anbrc 1184 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
3433, 9jca 306 . 2 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴))
356subrgring 13780 . . . 4 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)
3635adantr 276 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴)) → 𝑆 ∈ Ring)
3714adantrl 478 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴)) → (𝑆s 𝐵) = (𝑅s 𝐵))
38 eqid 2196 . . . . . 6 (𝑅s 𝐵) = (𝑅s 𝐵)
3938subrgring 13780 . . . . 5 (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅s 𝐵) ∈ Ring)
4039ad2antrl 490 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴)) → (𝑅s 𝐵) ∈ Ring)
4137, 40eqeltrd 2273 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴)) → (𝑆s 𝐵) ∈ Ring)
42 simprr 531 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴)) → 𝐵𝐴)
437adantr 276 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴)) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
4442, 43sseqtrd 3221 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
4525adantr 276 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴)) → (1r𝑅) = (1r𝑆))
4624subrg1cl 13785 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
4746ad2antrl 490 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴)) → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
4845, 47eqeltrrd 2274 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴)) → (1r𝑆) ∈ 𝐵)
4944, 48jca 306 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴)) → (𝐵 ⊆ (Base‘𝑆) ∧ (1r𝑆) ∈ 𝐵))
503, 27issubrg 13777 . . 3 (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝑆s 𝐵) ∈ Ring) ∧ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑆) ∧ (1r𝑆) ∈ 𝐵)))
5136, 41, 49, 50syl21anbrc 1184 . 2 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴)) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
5234, 51impbida 596 1 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1364  wcel 2167  wss 3157  cfv 5258  (class class class)co 5922  Basecbs 12678  s cress 12679  1rcur 13515  Ringcrg 13552  SubRingcsubrg 13773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-iress 12686  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-subg 13300  df-mgp 13477  df-ur 13516  df-ring 13554  df-subrg 13775
This theorem is referenced by:  subsubrg2  13802
  Copyright terms: Public domain W3C validator