ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnnninf GIF version

Theorem nnnninf 6785
Description: Elements of corresponding to natural numbers. The natural number 𝑁 corresponds to a sequence of 𝑁 ones followed by zeroes. Contrast to a sequence which is all ones as seen at infnninf 6784. Remark/TODO: the theorem still holds if 𝑁 = ω, that is, the antecedent could be weakened to 𝑁 ∈ suc ω. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
nnnninf (𝑁 ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1𝑜, ∅)) ∈ ℕ)
Distinct variable group:   𝑖,𝑁

Proof of Theorem nnnninf
Dummy variables 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1oex 6171 . . . . . . . 8 1𝑜 ∈ V
21sucid 4235 . . . . . . 7 1𝑜 ∈ suc 1𝑜
3 df-2o 6164 . . . . . . 7 2𝑜 = suc 1𝑜
42, 3eleqtrri 2163 . . . . . 6 1𝑜 ∈ 2𝑜
54a1i 9 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑖 ∈ ω) → 1𝑜 ∈ 2𝑜)
6 2on0 6173 . . . . . . 7 2𝑜 ≠ ∅
7 2onn 6260 . . . . . . . 8 2𝑜 ∈ ω
8 nn0eln0 4423 . . . . . . . 8 (2𝑜 ∈ ω → (∅ ∈ 2𝑜 ↔ 2𝑜 ≠ ∅))
97, 8ax-mp 7 . . . . . . 7 (∅ ∈ 2𝑜 ↔ 2𝑜 ≠ ∅)
106, 9mpbir 144 . . . . . 6 ∅ ∈ 2𝑜
1110a1i 9 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑖 ∈ ω) → ∅ ∈ 2𝑜)
12 nndcel 6243 . . . . . 6 ((𝑖 ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω) → DECID 𝑖𝑁)
1312ancoms 264 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑖 ∈ ω) → DECID 𝑖𝑁)
145, 11, 13ifcldcd 3422 . . . 4 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑖 ∈ ω) → if(𝑖𝑁, 1𝑜, ∅) ∈ 2𝑜)
15 eqid 2088 . . . 4 (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1𝑜, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1𝑜, ∅))
1614, 15fmptd 5436 . . 3 (𝑁 ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1𝑜, ∅)):ω⟶2𝑜)
177elexi 2631 . . . 4 2𝑜 ∈ V
18 omex 4398 . . . 4 ω ∈ V
1917, 18elmap 6414 . . 3 ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1𝑜, ∅)) ∈ (2𝑜𝑚 ω) ↔ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1𝑜, ∅)):ω⟶2𝑜)
2016, 19sylibr 132 . 2 (𝑁 ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1𝑜, ∅)) ∈ (2𝑜𝑚 ω))
21 ssid 3042 . . . . . . . . 9 1𝑜 ⊆ 1𝑜
22 iftrue 3394 . . . . . . . . . . 11 (suc 𝑗𝑁 → if(suc 𝑗𝑁, 1𝑜, ∅) = 1𝑜)
2322sseq1d 3051 . . . . . . . . . 10 (suc 𝑗𝑁 → (if(suc 𝑗𝑁, 1𝑜, ∅) ⊆ 1𝑜 ↔ 1𝑜 ⊆ 1𝑜))
2423adantl 271 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ suc 𝑗𝑁) → (if(suc 𝑗𝑁, 1𝑜, ∅) ⊆ 1𝑜 ↔ 1𝑜 ⊆ 1𝑜))
2521, 24mpbiri 166 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ suc 𝑗𝑁) → if(suc 𝑗𝑁, 1𝑜, ∅) ⊆ 1𝑜)
26 0ss 3318 . . . . . . . . 9 ∅ ⊆ 1𝑜
27 iffalse 3397 . . . . . . . . . . 11 (¬ suc 𝑗𝑁 → if(suc 𝑗𝑁, 1𝑜, ∅) = ∅)
2827sseq1d 3051 . . . . . . . . . 10 (¬ suc 𝑗𝑁 → (if(suc 𝑗𝑁, 1𝑜, ∅) ⊆ 1𝑜 ↔ ∅ ⊆ 1𝑜))
2928adantl 271 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ suc 𝑗𝑁) → (if(suc 𝑗𝑁, 1𝑜, ∅) ⊆ 1𝑜 ↔ ∅ ⊆ 1𝑜))
3026, 29mpbiri 166 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ suc 𝑗𝑁) → if(suc 𝑗𝑁, 1𝑜, ∅) ⊆ 1𝑜)
31 peano2 4400 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ω → suc 𝑗 ∈ ω)
3231adantl 271 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → suc 𝑗 ∈ ω)
33 simpl 107 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → 𝑁 ∈ ω)
34 nndcel 6243 . . . . . . . . . 10 ((suc 𝑗 ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω) → DECID suc 𝑗𝑁)
3532, 33, 34syl2anc 403 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → DECID suc 𝑗𝑁)
36 exmiddc 782 . . . . . . . . 9 (DECID suc 𝑗𝑁 → (suc 𝑗𝑁 ∨ ¬ suc 𝑗𝑁))
3735, 36syl 14 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → (suc 𝑗𝑁 ∨ ¬ suc 𝑗𝑁))
3825, 30, 37mpjaodan 747 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → if(suc 𝑗𝑁, 1𝑜, ∅) ⊆ 1𝑜)
3938adantr 270 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑗𝑁) → if(suc 𝑗𝑁, 1𝑜, ∅) ⊆ 1𝑜)
40 iftrue 3394 . . . . . . 7 (𝑗𝑁 → if(𝑗𝑁, 1𝑜, ∅) = 1𝑜)
4140adantl 271 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑗𝑁) → if(𝑗𝑁, 1𝑜, ∅) = 1𝑜)
4239, 41sseqtr4d 3061 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑗𝑁) → if(suc 𝑗𝑁, 1𝑜, ∅) ⊆ if(𝑗𝑁, 1𝑜, ∅))
43 ssid 3042 . . . . . . 7 ∅ ⊆ ∅
4443a1i 9 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → ∅ ⊆ ∅)
45 nnord 4416 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ω → Ord 𝑁)
46 ordtr 4196 . . . . . . . . . . . 12 (Ord 𝑁 → Tr 𝑁)
4745, 46syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ω → Tr 𝑁)
48 trsuc 4240 . . . . . . . . . . 11 ((Tr 𝑁 ∧ suc 𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
4947, 48sylan 277 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ω ∧ suc 𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
5049ex 113 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ω → (suc 𝑗𝑁𝑗𝑁))
5150adantr 270 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → (suc 𝑗𝑁𝑗𝑁))
5251con3dimp 599 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → ¬ suc 𝑗𝑁)
5352, 27syl 14 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → if(suc 𝑗𝑁, 1𝑜, ∅) = ∅)
54 iffalse 3397 . . . . . . 7 𝑗𝑁 → if(𝑗𝑁, 1𝑜, ∅) = ∅)
5554adantl 271 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → if(𝑗𝑁, 1𝑜, ∅) = ∅)
5644, 53, 553sstr4d 3067 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → if(suc 𝑗𝑁, 1𝑜, ∅) ⊆ if(𝑗𝑁, 1𝑜, ∅))
57 nndcel 6243 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω) → DECID 𝑗𝑁)
5857ancoms 264 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → DECID 𝑗𝑁)
59 exmiddc 782 . . . . . 6 (DECID 𝑗𝑁 → (𝑗𝑁 ∨ ¬ 𝑗𝑁))
6058, 59syl 14 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝑗𝑁 ∨ ¬ 𝑗𝑁))
6142, 56, 60mpjaodan 747 . . . 4 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → if(suc 𝑗𝑁, 1𝑜, ∅) ⊆ if(𝑗𝑁, 1𝑜, ∅))
624a1i 9 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → 1𝑜 ∈ 2𝑜)
6310a1i 9 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → ∅ ∈ 2𝑜)
6462, 63, 35ifcldcd 3422 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → if(suc 𝑗𝑁, 1𝑜, ∅) ∈ 2𝑜)
65 eleq1 2150 . . . . . . 7 (𝑖 = suc 𝑗 → (𝑖𝑁 ↔ suc 𝑗𝑁))
6665ifbid 3408 . . . . . 6 (𝑖 = suc 𝑗 → if(𝑖𝑁, 1𝑜, ∅) = if(suc 𝑗𝑁, 1𝑜, ∅))
6766, 15fvmptg 5364 . . . . 5 ((suc 𝑗 ∈ ω ∧ if(suc 𝑗𝑁, 1𝑜, ∅) ∈ 2𝑜) → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1𝑜, ∅))‘suc 𝑗) = if(suc 𝑗𝑁, 1𝑜, ∅))
6832, 64, 67syl2anc 403 . . . 4 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1𝑜, ∅))‘suc 𝑗) = if(suc 𝑗𝑁, 1𝑜, ∅))
69 simpr 108 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → 𝑗 ∈ ω)
7062, 63, 58ifcldcd 3422 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → if(𝑗𝑁, 1𝑜, ∅) ∈ 2𝑜)
71 eleq1 2150 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 → (𝑖𝑁𝑗𝑁))
7271ifbid 3408 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑗 → if(𝑖𝑁, 1𝑜, ∅) = if(𝑗𝑁, 1𝑜, ∅))
7372, 15fvmptg 5364 . . . . 5 ((𝑗 ∈ ω ∧ if(𝑗𝑁, 1𝑜, ∅) ∈ 2𝑜) → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1𝑜, ∅))‘𝑗) = if(𝑗𝑁, 1𝑜, ∅))
7469, 70, 73syl2anc 403 . . . 4 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1𝑜, ∅))‘𝑗) = if(𝑗𝑁, 1𝑜, ∅))
7561, 68, 743sstr4d 3067 . . 3 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1𝑜, ∅))‘suc 𝑗) ⊆ ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1𝑜, ∅))‘𝑗))
7675ralrimiva 2446 . 2 (𝑁 ∈ ω → ∀𝑗 ∈ ω ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1𝑜, ∅))‘suc 𝑗) ⊆ ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1𝑜, ∅))‘𝑗))
77 fveq1 5288 . . . . 5 (𝑓 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1𝑜, ∅)) → (𝑓‘suc 𝑗) = ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1𝑜, ∅))‘suc 𝑗))
78 fveq1 5288 . . . . 5 (𝑓 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1𝑜, ∅)) → (𝑓𝑗) = ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1𝑜, ∅))‘𝑗))
7977, 78sseq12d 3053 . . . 4 (𝑓 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1𝑜, ∅)) → ((𝑓‘suc 𝑗) ⊆ (𝑓𝑗) ↔ ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1𝑜, ∅))‘suc 𝑗) ⊆ ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1𝑜, ∅))‘𝑗)))
8079ralbidv 2380 . . 3 (𝑓 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1𝑜, ∅)) → (∀𝑗 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑗) ⊆ (𝑓𝑗) ↔ ∀𝑗 ∈ ω ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1𝑜, ∅))‘suc 𝑗) ⊆ ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1𝑜, ∅))‘𝑗)))
81 df-nninf 6770 . . 3 = {𝑓 ∈ (2𝑜𝑚 ω) ∣ ∀𝑗 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑗) ⊆ (𝑓𝑗)}
8280, 81elrab2 2772 . 2 ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1𝑜, ∅)) ∈ ℕ ↔ ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1𝑜, ∅)) ∈ (2𝑜𝑚 ω) ∧ ∀𝑗 ∈ ω ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1𝑜, ∅))‘suc 𝑗) ⊆ ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1𝑜, ∅))‘𝑗)))
8320, 76, 82sylanbrc 408 1 (𝑁 ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1𝑜, ∅)) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 664  DECID wdc 780   = wceq 1289  wcel 1438  wne 2255  wral 2359  wss 2997  c0 3284  ifcif 3389  cmpt 3891  Tr wtr 3928  Ord word 4180  suc csuc 4183  ωcom 4395  wf 4998  cfv 5002  (class class class)co 5634  1𝑜c1o 6156  2𝑜c2o 6157  𝑚 cmap 6385  xnninf 6768
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1o 6163  df-2o 6164  df-map 6387  df-nninf 6770
This theorem is referenced by:  fnn0nninf  9808  nninfsellemdc  11548  nninfsellemqall  11553
  Copyright terms: Public domain W3C validator