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Theorem nnnninf 7123
Description: Elements of corresponding to natural numbers. The natural number 𝑁 corresponds to a sequence of 𝑁 ones followed by zeroes. This can be strengthened to include infinity, see nnnninf2 7124. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
nnnninf (𝑁 ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ)
Distinct variable group:   𝑖,𝑁

Proof of Theorem nnnninf
Dummy variables 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1lt2o 6442 . . . . . 6 1o ∈ 2o
21a1i 9 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑖 ∈ ω) → 1o ∈ 2o)
3 0lt2o 6441 . . . . . 6 ∅ ∈ 2o
43a1i 9 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑖 ∈ ω) → ∅ ∈ 2o)
5 nndcel 6500 . . . . . 6 ((𝑖 ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω) → DECID 𝑖𝑁)
65ancoms 268 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑖 ∈ ω) → DECID 𝑖𝑁)
72, 4, 6ifcldcd 3570 . . . 4 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑖 ∈ ω) → if(𝑖𝑁, 1o, ∅) ∈ 2o)
87fmpttd 5671 . . 3 (𝑁 ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)):ω⟶2o)
9 2onn 6521 . . . . 5 2o ∈ ω
109elexi 2749 . . . 4 2o ∈ V
11 omex 4592 . . . 4 ω ∈ V
1210, 11elmap 6676 . . 3 ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) ∈ (2o𝑚 ω) ↔ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)):ω⟶2o)
138, 12sylibr 134 . 2 (𝑁 ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) ∈ (2o𝑚 ω))
14 ssid 3175 . . . . . . . . 9 1o ⊆ 1o
15 iftrue 3539 . . . . . . . . . . 11 (suc 𝑗𝑁 → if(suc 𝑗𝑁, 1o, ∅) = 1o)
1615sseq1d 3184 . . . . . . . . . 10 (suc 𝑗𝑁 → (if(suc 𝑗𝑁, 1o, ∅) ⊆ 1o ↔ 1o ⊆ 1o))
1716adantl 277 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ suc 𝑗𝑁) → (if(suc 𝑗𝑁, 1o, ∅) ⊆ 1o ↔ 1o ⊆ 1o))
1814, 17mpbiri 168 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ suc 𝑗𝑁) → if(suc 𝑗𝑁, 1o, ∅) ⊆ 1o)
19 0ss 3461 . . . . . . . . 9 ∅ ⊆ 1o
20 iffalse 3542 . . . . . . . . . . 11 (¬ suc 𝑗𝑁 → if(suc 𝑗𝑁, 1o, ∅) = ∅)
2120sseq1d 3184 . . . . . . . . . 10 (¬ suc 𝑗𝑁 → (if(suc 𝑗𝑁, 1o, ∅) ⊆ 1o ↔ ∅ ⊆ 1o))
2221adantl 277 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ suc 𝑗𝑁) → (if(suc 𝑗𝑁, 1o, ∅) ⊆ 1o ↔ ∅ ⊆ 1o))
2319, 22mpbiri 168 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ suc 𝑗𝑁) → if(suc 𝑗𝑁, 1o, ∅) ⊆ 1o)
24 peano2 4594 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ω → suc 𝑗 ∈ ω)
2524adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → suc 𝑗 ∈ ω)
26 simpl 109 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → 𝑁 ∈ ω)
27 nndcel 6500 . . . . . . . . . 10 ((suc 𝑗 ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω) → DECID suc 𝑗𝑁)
2825, 26, 27syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → DECID suc 𝑗𝑁)
29 exmiddc 836 . . . . . . . . 9 (DECID suc 𝑗𝑁 → (suc 𝑗𝑁 ∨ ¬ suc 𝑗𝑁))
3028, 29syl 14 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → (suc 𝑗𝑁 ∨ ¬ suc 𝑗𝑁))
3118, 23, 30mpjaodan 798 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → if(suc 𝑗𝑁, 1o, ∅) ⊆ 1o)
3231adantr 276 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑗𝑁) → if(suc 𝑗𝑁, 1o, ∅) ⊆ 1o)
33 iftrue 3539 . . . . . . 7 (𝑗𝑁 → if(𝑗𝑁, 1o, ∅) = 1o)
3433adantl 277 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑗𝑁) → if(𝑗𝑁, 1o, ∅) = 1o)
3532, 34sseqtrrd 3194 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑗𝑁) → if(suc 𝑗𝑁, 1o, ∅) ⊆ if(𝑗𝑁, 1o, ∅))
36 ssid 3175 . . . . . . 7 ∅ ⊆ ∅
3736a1i 9 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → ∅ ⊆ ∅)
38 nnord 4611 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ω → Ord 𝑁)
39 ordtr 4378 . . . . . . . . . . . 12 (Ord 𝑁 → Tr 𝑁)
4038, 39syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ω → Tr 𝑁)
41 trsuc 4422 . . . . . . . . . . 11 ((Tr 𝑁 ∧ suc 𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
4240, 41sylan 283 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ω ∧ suc 𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
4342ex 115 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ω → (suc 𝑗𝑁𝑗𝑁))
4443adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → (suc 𝑗𝑁𝑗𝑁))
4544con3dimp 635 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → ¬ suc 𝑗𝑁)
4645, 20syl 14 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → if(suc 𝑗𝑁, 1o, ∅) = ∅)
47 iffalse 3542 . . . . . . 7 𝑗𝑁 → if(𝑗𝑁, 1o, ∅) = ∅)
4847adantl 277 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → if(𝑗𝑁, 1o, ∅) = ∅)
4937, 46, 483sstr4d 3200 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → if(suc 𝑗𝑁, 1o, ∅) ⊆ if(𝑗𝑁, 1o, ∅))
50 nndcel 6500 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω) → DECID 𝑗𝑁)
5150ancoms 268 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → DECID 𝑗𝑁)
52 exmiddc 836 . . . . . 6 (DECID 𝑗𝑁 → (𝑗𝑁 ∨ ¬ 𝑗𝑁))
5351, 52syl 14 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝑗𝑁 ∨ ¬ 𝑗𝑁))
5435, 49, 53mpjaodan 798 . . . 4 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → if(suc 𝑗𝑁, 1o, ∅) ⊆ if(𝑗𝑁, 1o, ∅))
551a1i 9 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → 1o ∈ 2o)
563a1i 9 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → ∅ ∈ 2o)
5755, 56, 28ifcldcd 3570 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → if(suc 𝑗𝑁, 1o, ∅) ∈ 2o)
58 eleq1 2240 . . . . . . 7 (𝑖 = suc 𝑗 → (𝑖𝑁 ↔ suc 𝑗𝑁))
5958ifbid 3555 . . . . . 6 (𝑖 = suc 𝑗 → if(𝑖𝑁, 1o, ∅) = if(suc 𝑗𝑁, 1o, ∅))
60 eqid 2177 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅))
6159, 60fvmptg 5592 . . . . 5 ((suc 𝑗 ∈ ω ∧ if(suc 𝑗𝑁, 1o, ∅) ∈ 2o) → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅))‘suc 𝑗) = if(suc 𝑗𝑁, 1o, ∅))
6225, 57, 61syl2anc 411 . . . 4 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅))‘suc 𝑗) = if(suc 𝑗𝑁, 1o, ∅))
63 simpr 110 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → 𝑗 ∈ ω)
6455, 56, 51ifcldcd 3570 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → if(𝑗𝑁, 1o, ∅) ∈ 2o)
65 eleq1 2240 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 → (𝑖𝑁𝑗𝑁))
6665ifbid 3555 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑗 → if(𝑖𝑁, 1o, ∅) = if(𝑗𝑁, 1o, ∅))
6766, 60fvmptg 5592 . . . . 5 ((𝑗 ∈ ω ∧ if(𝑗𝑁, 1o, ∅) ∈ 2o) → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅))‘𝑗) = if(𝑗𝑁, 1o, ∅))
6863, 64, 67syl2anc 411 . . . 4 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅))‘𝑗) = if(𝑗𝑁, 1o, ∅))
6954, 62, 683sstr4d 3200 . . 3 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅))‘suc 𝑗) ⊆ ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅))‘𝑗))
7069ralrimiva 2550 . 2 (𝑁 ∈ ω → ∀𝑗 ∈ ω ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅))‘suc 𝑗) ⊆ ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅))‘𝑗))
71 fveq1 5514 . . . . 5 (𝑓 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) → (𝑓‘suc 𝑗) = ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅))‘suc 𝑗))
72 fveq1 5514 . . . . 5 (𝑓 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) → (𝑓𝑗) = ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅))‘𝑗))
7371, 72sseq12d 3186 . . . 4 (𝑓 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) → ((𝑓‘suc 𝑗) ⊆ (𝑓𝑗) ↔ ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅))‘suc 𝑗) ⊆ ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅))‘𝑗)))
7473ralbidv 2477 . . 3 (𝑓 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) → (∀𝑗 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑗) ⊆ (𝑓𝑗) ↔ ∀𝑗 ∈ ω ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅))‘suc 𝑗) ⊆ ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅))‘𝑗)))
75 df-nninf 7118 . . 3 = {𝑓 ∈ (2o𝑚 ω) ∣ ∀𝑗 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑗) ⊆ (𝑓𝑗)}
7674, 75elrab2 2896 . 2 ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ ↔ ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) ∈ (2o𝑚 ω) ∧ ∀𝑗 ∈ ω ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅))‘suc 𝑗) ⊆ ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅))‘𝑗)))
7713, 70, 76sylanbrc 417 1 (𝑁 ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wss 3129  c0 3422  ifcif 3534  cmpt 4064  Tr wtr 4101  Ord word 4362  suc csuc 4365  ωcom 4589  wf 5212  cfv 5216  (class class class)co 5874  1oc1o 6409  2oc2o 6410  𝑚 cmap 6647  xnninf 7117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1o 6416  df-2o 6417  df-map 6649  df-nninf 7118
This theorem is referenced by:  nnnninf2  7124  fnn0nninf  10436  nninfsellemdc  14729  nninfsellemqall  14734  nninffeq  14739
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