ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tgcnp GIF version

Theorem tgcnp 12214
Description: The "continuous at a point" predicate when the range is given by a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgcn.1 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
tgcn.3 (𝜑𝐾 = (topGen‘𝐵))
tgcn.4 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
tgcnp.5 (𝜑𝑃𝑋)
Assertion
Ref Expression
tgcnp (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑦)

Proof of Theorem tgcnp
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgcn.1 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 tgcn.4 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
3 tgcnp.5 . . . 4 (𝜑𝑃𝑋)
4 iscnp 12204 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)))))
51, 2, 3, 4syl3anc 1197 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)))))
6 tgcn.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 = (topGen‘𝐵))
7 topontop 12018 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) → 𝐾 ∈ Top)
82, 7syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ Top)
96, 8eqeltrrd 2190 . . . . . . . 8 (𝜑 → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
10 tgclb 12071 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ TopBases ↔ (topGen‘𝐵) ∈ Top)
119, 10sylibr 133 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ TopBases)
12 bastg 12067 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ TopBases → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
1311, 12syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
1413, 6sseqtr4d 3100 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐾)
15 ssralv 3125 . . . . 5 (𝐵𝐾 → (∀𝑦𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) → ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦))))
1614, 15syl 14 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑦𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) → ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦))))
1716anim2d 333 . . 3 (𝜑 → ((𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦))) → (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)))))
185, 17sylbid 149 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)))))
196eleq2d 2182 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧𝐾𝑧 ∈ (topGen‘𝐵)))
2019biimpa 292 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐾) → 𝑧 ∈ (topGen‘𝐵))
21 tg2 12066 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑧) → ∃𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦𝑦𝑧))
22 r19.29 2541 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) ∧ ∃𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦𝑦𝑧)) → ∃𝑦𝐵 (((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) ∧ ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦𝑦𝑧)))
23 sstr 3069 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑥) ⊆ 𝑦𝑦𝑧) → (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧)
2423expcom 115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝑧 → ((𝐹𝑥) ⊆ 𝑦 → (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧))
2524anim2d 333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝑧 → ((𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦) → (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧)))
2625reximdv 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝑧 → (∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦) → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧)))
2726com12 30 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦) → (𝑦𝑧 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧)))
2827imim2i 12 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → (𝑦𝑧 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧))))
2928imp32 255 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) ∧ ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦𝑦𝑧)) → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧))
3029rexlimivw 2517 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑦𝐵 (((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) ∧ ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦𝑦𝑧)) → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧))
3122, 30syl 14 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) ∧ ∃𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦𝑦𝑧)) → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧))
3231expcom 115 . . . . . . . . 9 (∃𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦𝑦𝑧) → (∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧)))
3321, 32syl 14 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑧) → (∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧)))
3433ex 114 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (topGen‘𝐵) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → (∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧))))
3534com23 78 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (topGen‘𝐵) → (∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧))))
3620, 35syl 14 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐾) → (∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧))))
3736ralrimdva 2484 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) → ∀𝑧𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧))))
3837anim2d 333 . . 3 (𝜑 → ((𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦))) → (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑧𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧)))))
39 iscnp 12204 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑧𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧)))))
401, 2, 3, 39syl3anc 1197 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑧𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧)))))
4138, 40sylibrd 168 . 2 (𝜑 → ((𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦))) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)))
4218, 41impbid 128 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1312  wcel 1461  wral 2388  wrex 2389  wss 3035  cima 4500  wf 5075  cfv 5079  (class class class)co 5726  topGenctg 11972  Topctop 12001  TopOnctopon 12014  TopBasesctb 12046   CnP ccnp 12192
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-ral 2393  df-rex 2394  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-fv 5087  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5990  df-2nd 5991  df-map 6496  df-topgen 11978  df-top 12002  df-topon 12015  df-bases 12047  df-cnp 12195
This theorem is referenced by:  txcnp  12276  metcnp3  12494
  Copyright terms: Public domain W3C validator