Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tgcnp GIF version

Theorem tgcnp 12418
 Description: The "continuous at a point" predicate when the range is given by a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgcn.1 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
tgcn.3 (𝜑𝐾 = (topGen‘𝐵))
tgcn.4 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
tgcnp.5 (𝜑𝑃𝑋)
Assertion
Ref Expression
tgcnp (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑦)

Proof of Theorem tgcnp
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgcn.1 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 tgcn.4 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
3 tgcnp.5 . . . 4 (𝜑𝑃𝑋)
4 iscnp 12408 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)))))
51, 2, 3, 4syl3anc 1217 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)))))
6 tgcn.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 = (topGen‘𝐵))
7 topontop 12221 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) → 𝐾 ∈ Top)
82, 7syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ Top)
96, 8eqeltrrd 2218 . . . . . . . 8 (𝜑 → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
10 tgclb 12274 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ TopBases ↔ (topGen‘𝐵) ∈ Top)
119, 10sylibr 133 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ TopBases)
12 bastg 12270 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ TopBases → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
1311, 12syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
1413, 6sseqtrrd 3141 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐾)
15 ssralv 3166 . . . . 5 (𝐵𝐾 → (∀𝑦𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) → ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦))))
1614, 15syl 14 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑦𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) → ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦))))
1716anim2d 335 . . 3 (𝜑 → ((𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦))) → (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)))))
185, 17sylbid 149 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)))))
196eleq2d 2210 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧𝐾𝑧 ∈ (topGen‘𝐵)))
2019biimpa 294 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐾) → 𝑧 ∈ (topGen‘𝐵))
21 tg2 12269 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑧) → ∃𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦𝑦𝑧))
22 r19.29 2572 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) ∧ ∃𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦𝑦𝑧)) → ∃𝑦𝐵 (((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) ∧ ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦𝑦𝑧)))
23 sstr 3110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑥) ⊆ 𝑦𝑦𝑧) → (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧)
2423expcom 115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝑧 → ((𝐹𝑥) ⊆ 𝑦 → (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧))
2524anim2d 335 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝑧 → ((𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦) → (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧)))
2625reximdv 2536 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝑧 → (∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦) → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧)))
2726com12 30 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦) → (𝑦𝑧 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧)))
2827imim2i 12 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → (𝑦𝑧 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧))))
2928imp32 255 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) ∧ ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦𝑦𝑧)) → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧))
3029rexlimivw 2548 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑦𝐵 (((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) ∧ ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦𝑦𝑧)) → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧))
3122, 30syl 14 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) ∧ ∃𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦𝑦𝑧)) → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧))
3231expcom 115 . . . . . . . . 9 (∃𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦𝑦𝑧) → (∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧)))
3321, 32syl 14 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑧) → (∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧)))
3433ex 114 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (topGen‘𝐵) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → (∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧))))
3534com23 78 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (topGen‘𝐵) → (∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧))))
3620, 35syl 14 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐾) → (∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧))))
3736ralrimdva 2515 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) → ∀𝑧𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧))))
3837anim2d 335 . . 3 (𝜑 → ((𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦))) → (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑧𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧)))))
39 iscnp 12408 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑧𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧)))))
401, 2, 3, 39syl3anc 1217 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑧𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧)))))
4138, 40sylibrd 168 . 2 (𝜑 → ((𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦))) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)))
4218, 41impbid 128 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)))))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417  ∃wrex 2418   ⊆ wss 3076   “ cima 4550  ⟶wf 5127  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782  topGenctg 12175  Topctop 12204  TopOnctopon 12217  TopBasesctb 12249   CnP ccnp 12395 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-map 6552  df-topgen 12181  df-top 12205  df-topon 12218  df-bases 12250  df-cnp 12398 This theorem is referenced by:  txcnp  12480  metcnp3  12720
 Copyright terms: Public domain W3C validator