Theorem blssec 13232

Description: A ball centered at 𝑃 is contained in the set of points finitely separated from 𝑃. This is just an application of ssbl 13220 to the infinity ball. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xmeter.1	⊢ ∼ = (◡𝐷 “ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
blssec	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ⊆ [𝑃] ∼ )

Proof of Theorem blssec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfge 9746	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ ℝ* → 𝑆 ≤ +∞)
2	1	adantl 275	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → 𝑆 ≤ +∞)
3		pnfxr 7972	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4		ssbl 13220	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑆 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ 𝑆 ≤ +∞) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
5	4	3expia 1200	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑆 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*)) → (𝑆 ≤ +∞ → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)))
6	3, 5	mpanr2 436	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑆 ≤ +∞ → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)))
7	2, 6	mpd 13	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
8	7	3impa 1189	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
9		xmeter.1	. . . 4 ⊢ ∼ = (◡𝐷 “ ℝ)
10	9	xmetec 13231	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → [𝑃] ∼ = (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
11	10	3adant3 1012	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → [𝑃] ∼ = (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
12	8, 11	sseqtrrd 3186	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ⊆ [𝑃] ∼ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 973   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3121   class class class wbr 3989  ^◡ccnv 4610   “ cima 4614  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  [cec 6511  ℝcr 7773  +∞cpnf 7951  ℝ^*cxr 7953   ≤ cle 7955  ∞Metcxmet 12774  ballcbl 12776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-ec 6515  df-map 6628  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-2 8937  df-xneg 9729  df-xadd 9730  df-psmet 12781  df-xmet 12782  df-bl 12784

This theorem is referenced by:  xmetresbl  13234