Theorem blssec 15352

Description: A ball centered at 𝑃 is contained in the set of points finitely separated from 𝑃. This is just an application of ssbl 15340 to the infinity ball. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xmeter.1	⊢ ∼ = (◡𝐷 “ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
blssec	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ⊆ [𝑃] ∼ )

Proof of Theorem blssec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfge 10128	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ ℝ* → 𝑆 ≤ +∞)
2	1	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → 𝑆 ≤ +∞)
3		pnfxr 8331	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4		ssbl 15340	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑆 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ 𝑆 ≤ +∞) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
5	4	3expia 1232	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑆 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*)) → (𝑆 ≤ +∞ → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)))
6	3, 5	mpanr2 438	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑆 ≤ +∞ → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)))
7	2, 6	mpd 13	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
8	7	3impa 1221	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
9		xmeter.1	. . . 4 ⊢ ∼ = (◡𝐷 “ ℝ)
10	9	xmetec 15351	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → [𝑃] ∼ = (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
11	10	3adant3 1044	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → [𝑃] ∼ = (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
12	8, 11	sseqtrrd 3279	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ⊆ [𝑃] ∼ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ⊆ wss 3213   class class class wbr 4111  ^◡ccnv 4750   “ cima 4754  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  [cec 6767  ℝcr 8131  +∞cpnf 8310  ℝ^*cxr 8312   ≤ cle 8314  ∞Metcxmet 14733  ballcbl 14735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-ec 6771  df-map 6886  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-2 9301  df-xneg 10111  df-xadd 10112  df-psmet 14740  df-xmet 14741  df-bl 14743

This theorem is referenced by:  xmetresbl  15354