Theorem blssec 14760

Description: A ball centered at 𝑃 is contained in the set of points finitely separated from 𝑃. This is just an application of ssbl 14748 to the infinity ball. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xmeter.1	⊢ ∼ = (◡𝐷 “ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
blssec	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ⊆ [𝑃] ∼ )

Proof of Theorem blssec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfge 9883	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ ℝ* → 𝑆 ≤ +∞)
2	1	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → 𝑆 ≤ +∞)
3		pnfxr 8098	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4		ssbl 14748	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑆 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ 𝑆 ≤ +∞) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
5	4	3expia 1207	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑆 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*)) → (𝑆 ≤ +∞ → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)))
6	3, 5	mpanr2 438	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑆 ≤ +∞ → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)))
7	2, 6	mpd 13	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
8	7	3impa 1196	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
9		xmeter.1	. . . 4 ⊢ ∼ = (◡𝐷 “ ℝ)
10	9	xmetec 14759	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → [𝑃] ∼ = (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
11	10	3adant3 1019	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → [𝑃] ∼ = (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
12	8, 11	sseqtrrd 3223	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ⊆ [𝑃] ∼ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ⊆ wss 3157   class class class wbr 4034  ^◡ccnv 4663   “ cima 4667  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  [cec 6599  ℝcr 7897  +∞cpnf 8077  ℝ^*cxr 8079   ≤ cle 8081  ∞Metcxmet 14170  ballcbl 14172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-ec 6603  df-map 6718  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-2 9068  df-xneg 9866  df-xadd 9867  df-psmet 14177  df-xmet 14178  df-bl 14180

This theorem is referenced by:  xmetresbl  14762