ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tgcn GIF version

Theorem tgcn 12391
Description: The continuity predicate when the range is given by a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgcn.1 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
tgcn.3 (𝜑𝐾 = (topGen‘𝐵))
tgcn.4 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
Assertion
Ref Expression
tgcn (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝐹   𝑦,𝐽   𝑦,𝐾   𝑦,𝑋   𝑦,𝑌
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑦)

Proof of Theorem tgcn
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgcn.1 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 tgcn.4 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
3 iscn 12380 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
41, 2, 3syl2anc 408 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
5 tgcn.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 = (topGen‘𝐵))
6 topontop 12195 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) → 𝐾 ∈ Top)
72, 6syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ Top)
85, 7eqeltrrd 2217 . . . . . . . 8 (𝜑 → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
9 tgclb 12248 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ TopBases ↔ (topGen‘𝐵) ∈ Top)
108, 9sylibr 133 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ TopBases)
11 bastg 12244 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ TopBases → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
1210, 11syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
1312, 5sseqtrrd 3136 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐾)
14 ssralv 3161 . . . . 5 (𝐵𝐾 → (∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
1513, 14syl 14 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
165eleq2d 2209 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐾𝑥 ∈ (topGen‘𝐵)))
17 eltg3 12240 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ TopBases → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∃𝑧(𝑧𝐵𝑥 = 𝑧)))
1810, 17syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∃𝑧(𝑧𝐵𝑥 = 𝑧)))
1916, 18bitrd 187 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐾 ↔ ∃𝑧(𝑧𝐵𝑥 = 𝑧)))
20 ssralv 3161 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝐵 → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
21 topontop 12195 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
221, 21syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ Top)
23 iunopn 12183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽) → 𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)
2423ex 114 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ Top → (∀𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
2522, 24syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∀𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
2620, 25sylan9r 407 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐵) → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
27 imaeq2 4877 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹 𝑧))
28 imauni 5662 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 𝑧) = 𝑦𝑧 (𝐹𝑦)
2927, 28syl6eq 2188 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = 𝑦𝑧 (𝐹𝑦))
3029eleq1d 2208 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥) ∈ 𝐽 𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
3130imbi2d 229 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → ((∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ↔ (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
3226, 31syl5ibrcom 156 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
3332expimpd 360 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑧𝐵𝑥 = 𝑧) → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
3433exlimdv 1791 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑧(𝑧𝐵𝑥 = 𝑧) → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
3519, 34sylbid 149 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐾 → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
3635imp 123 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐾) → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽))
3736ralrimdva 2512 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑥𝐾 (𝐹𝑥) ∈ 𝐽))
38 imaeq2 4877 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
3938eleq1d 2208 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ∈ 𝐽 ↔ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
4039cbvralv 2654 . . . . 5 (∀𝑥𝐾 (𝐹𝑥) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)
4137, 40syl6ib 160 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
4215, 41impbid 128 . . 3 (𝜑 → (∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
4342anbi2d 459 . 2 (𝜑 → ((𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
444, 43bitrd 187 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1331  wex 1468  wcel 1480  wral 2416  wss 3071   cuni 3736   ciun 3813  ccnv 4538  cima 4542  wf 5119  cfv 5123  (class class class)co 5774  topGenctg 12149  Topctop 12178  TopOnctopon 12191  TopBasesctb 12223   Cn ccn 12368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-topgen 12155  df-top 12179  df-topon 12192  df-bases 12224  df-cn 12371
This theorem is referenced by:  txcnmpt  12456
  Copyright terms: Public domain W3C validator