Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tgcn GIF version

Theorem tgcn 12391
 Description: The continuity predicate when the range is given by a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgcn.1 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
tgcn.3 (𝜑𝐾 = (topGen‘𝐵))
tgcn.4 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
Assertion
Ref Expression
tgcn (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝐹   𝑦,𝐽   𝑦,𝐾   𝑦,𝑋   𝑦,𝑌
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑦)

Proof of Theorem tgcn
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgcn.1 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 tgcn.4 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
3 iscn 12380 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
41, 2, 3syl2anc 408 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
5 tgcn.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 = (topGen‘𝐵))
6 topontop 12195 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) → 𝐾 ∈ Top)
72, 6syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ Top)
85, 7eqeltrrd 2217 . . . . . . . 8 (𝜑 → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
9 tgclb 12248 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ TopBases ↔ (topGen‘𝐵) ∈ Top)
108, 9sylibr 133 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ TopBases)
11 bastg 12244 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ TopBases → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
1210, 11syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
1312, 5sseqtrrd 3136 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐾)
14 ssralv 3161 . . . . 5 (𝐵𝐾 → (∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
1513, 14syl 14 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
165eleq2d 2209 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐾𝑥 ∈ (topGen‘𝐵)))
17 eltg3 12240 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ TopBases → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∃𝑧(𝑧𝐵𝑥 = 𝑧)))
1810, 17syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∃𝑧(𝑧𝐵𝑥 = 𝑧)))
1916, 18bitrd 187 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐾 ↔ ∃𝑧(𝑧𝐵𝑥 = 𝑧)))
20 ssralv 3161 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝐵 → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
21 topontop 12195 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
221, 21syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ Top)
23 iunopn 12183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽) → 𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)
2423ex 114 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ Top → (∀𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
2522, 24syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∀𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
2620, 25sylan9r 407 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐵) → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
27 imaeq2 4877 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹 𝑧))
28 imauni 5662 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 𝑧) = 𝑦𝑧 (𝐹𝑦)
2927, 28syl6eq 2188 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = 𝑦𝑧 (𝐹𝑦))
3029eleq1d 2208 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥) ∈ 𝐽 𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
3130imbi2d 229 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → ((∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ↔ (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
3226, 31syl5ibrcom 156 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
3332expimpd 360 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑧𝐵𝑥 = 𝑧) → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
3433exlimdv 1791 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑧(𝑧𝐵𝑥 = 𝑧) → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
3519, 34sylbid 149 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐾 → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
3635imp 123 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐾) → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽))
3736ralrimdva 2512 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑥𝐾 (𝐹𝑥) ∈ 𝐽))
38 imaeq2 4877 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
3938eleq1d 2208 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ∈ 𝐽 ↔ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
4039cbvralv 2654 . . . . 5 (∀𝑥𝐾 (𝐹𝑥) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)
4137, 40syl6ib 160 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
4215, 41impbid 128 . . 3 (𝜑 → (∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
4342anbi2d 459 . 2 (𝜑 → ((𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
444, 43bitrd 187 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331  ∃wex 1468   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416   ⊆ wss 3071  ∪ cuni 3736  ∪ ciun 3813  ◡ccnv 4538   “ cima 4542  ⟶wf 5119  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  topGenctg 12149  Topctop 12178  TopOnctopon 12191  TopBasesctb 12223   Cn ccn 12368 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-topgen 12155  df-top 12179  df-topon 12192  df-bases 12224  df-cn 12371 This theorem is referenced by:  txcnmpt  12456
 Copyright terms: Public domain W3C validator