Theorem setsn0fun 12453

Description: The value of the structure replacement function (without the empty set) is a function if the structure (without the empty set) is a function. (Contributed by AV, 7-Jun-2021.) (Revised by AV, 16-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsn0fun.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct 𝑋)
setsn0fun.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑈)
setsn0fun.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
setsn0fun	⊢ (𝜑 → Fun ((𝑆 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}))

Proof of Theorem setsn0fun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsn0fun.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct 𝑋)
2		structn0fun 12429	. . 3 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → Fun (𝑆 ∖ {∅}))
3		setsn0fun.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑈)
4		setsn0fun.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑊)
5		structex 12428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → 𝑆 ∈ V)
6		setsfun0 12452	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ V ∧ Fun (𝑆 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → Fun ((𝑆 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}))
7	5, 6	sylanl1 400	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 Struct 𝑋 ∧ Fun (𝑆 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → Fun ((𝑆 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}))
8	7	expcom 115	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → ((𝑆 Struct 𝑋 ∧ Fun (𝑆 ∖ {∅})) → Fun ((𝑆 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅})))
9	3, 4, 8	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 Struct 𝑋 ∧ Fun (𝑆 ∖ {∅})) → Fun ((𝑆 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅})))
10	9	com12 30	. . 3 ⊢ ((𝑆 Struct 𝑋 ∧ Fun (𝑆 ∖ {∅})) → (𝜑 → Fun ((𝑆 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅})))
11	2, 10	mpdan 419	. 2 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → (𝜑 → Fun ((𝑆 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅})))
12	1, 11	mpcom 36	1 ⊢ (𝜑 → Fun ((𝑆 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2141  Vcvv 2730   ∖ cdif 3118  ∅c0 3414  {csn 3583  ⟨cop 3586   class class class wbr 3989  Fun wfun 5192  (class class class)co 5853   Struct cstr 12412   sSet csts 12414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-res 4623  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-struct 12418  df-sets 12423

This theorem is referenced by: (None)