Theorem setsn0fun 12658

Description: The value of the structure replacement function (without the empty set) is a function if the structure (without the empty set) is a function. (Contributed by AV, 7-Jun-2021.) (Revised by AV, 16-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsn0fun.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct 𝑋)
setsn0fun.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑈)
setsn0fun.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
setsn0fun	⊢ (𝜑 → Fun ((𝑆 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}))

Proof of Theorem setsn0fun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsn0fun.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct 𝑋)
2		structn0fun 12634	. . 3 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → Fun (𝑆 ∖ {∅}))
3		setsn0fun.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑈)
4		setsn0fun.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑊)
5		structex 12633	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → 𝑆 ∈ V)
6		setsfun0 12657	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ V ∧ Fun (𝑆 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → Fun ((𝑆 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}))
7	5, 6	sylanl1 402	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 Struct 𝑋 ∧ Fun (𝑆 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → Fun ((𝑆 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}))
8	7	expcom 116	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → ((𝑆 Struct 𝑋 ∧ Fun (𝑆 ∖ {∅})) → Fun ((𝑆 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅})))
9	3, 4, 8	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 Struct 𝑋 ∧ Fun (𝑆 ∖ {∅})) → Fun ((𝑆 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅})))
10	9	com12 30	. . 3 ⊢ ((𝑆 Struct 𝑋 ∧ Fun (𝑆 ∖ {∅})) → (𝜑 → Fun ((𝑆 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅})))
11	2, 10	mpdan 421	. 2 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → (𝜑 → Fun ((𝑆 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅})))
12	1, 11	mpcom 36	1 ⊢ (𝜑 → Fun ((𝑆 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   ∖ cdif 3151  ∅c0 3447  {csn 3619  ⟨cop 3622   class class class wbr 4030  Fun wfun 5249  (class class class)co 5919   Struct cstr 12617   sSet csts 12619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-res 4672  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-struct 12623  df-sets 12628

This theorem is referenced by: (None)