ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  suplub2ti GIF version

Theorem suplub2ti 7000
Description: Bidirectional form of suplubti 6999. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
supmoti.ti ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
supclti.2 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
suplub2ti.or (𝜑𝑅 Or 𝐴)
suplub2ti.3 (𝜑𝐵𝐴)
Assertion
Ref Expression
suplub2ti ((𝜑𝐶𝐴) → (𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ↔ ∃𝑧𝐵 𝐶𝑅𝑧))
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑥   𝑦,𝐴,𝑥,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑢,𝑅,𝑣,𝑥   𝑦,𝑅,𝑧   𝜑,𝑢,𝑣,𝑥   𝑧,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧)   𝐵(𝑣,𝑢)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem suplub2ti
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supmoti.ti . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
2 supclti.2 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
31, 2suplubti 6999 . . 3 (𝜑 → ((𝐶𝐴𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) → ∃𝑧𝐵 𝐶𝑅𝑧))
43expdimp 259 . 2 ((𝜑𝐶𝐴) → (𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → ∃𝑧𝐵 𝐶𝑅𝑧))
5 breq2 4008 . . . 4 (𝑧 = 𝑤 → (𝐶𝑅𝑧𝐶𝑅𝑤))
65cbvrexv 2705 . . 3 (∃𝑧𝐵 𝐶𝑅𝑧 ↔ ∃𝑤𝐵 𝐶𝑅𝑤)
7 simplll 533 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → 𝜑)
8 simplr 528 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → 𝑤𝐵)
91, 2supubti 6998 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑤𝐵 → ¬ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝑤))
107, 8, 9sylc 62 . . . . . 6 ((((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → ¬ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝑤)
11 simpr 110 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → 𝐶𝑅𝑤)
12 suplub2ti.or . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 Or 𝐴)
1312ad3antrrr 492 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → 𝑅 Or 𝐴)
14 simpllr 534 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → 𝐶𝐴)
15 suplub2ti.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵𝐴)
1615ad3antrrr 492 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → 𝐵𝐴)
1716, 8sseldd 3157 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → 𝑤𝐴)
181, 2supclti 6997 . . . . . . . . 9 (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)
1918ad3antrrr 492 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)
20 sowlin 4321 . . . . . . . 8 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐶𝐴𝑤𝐴 ∧ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)) → (𝐶𝑅𝑤 → (𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∨ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝑤)))
2113, 14, 17, 19, 20syl13anc 1240 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → (𝐶𝑅𝑤 → (𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∨ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝑤)))
2211, 21mpd 13 . . . . . 6 ((((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → (𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∨ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝑤))
2310, 22ecased 1349 . . . . 5 ((((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → 𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅))
2423ex 115 . . . 4 (((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝑤𝐵) → (𝐶𝑅𝑤𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
2524rexlimdva 2594 . . 3 ((𝜑𝐶𝐴) → (∃𝑤𝐵 𝐶𝑅𝑤𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
266, 25biimtrid 152 . 2 ((𝜑𝐶𝐴) → (∃𝑧𝐵 𝐶𝑅𝑧𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
274, 26impbid 129 1 ((𝜑𝐶𝐴) → (𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ↔ ∃𝑧𝐵 𝐶𝑅𝑧))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  wss 3130   class class class wbr 4004   Or wor 4296  supcsup 6981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-iso 4298  df-iota 5179  df-riota 5831  df-sup 6983
This theorem is referenced by:  suprlubex  8909
  Copyright terms: Public domain W3C validator