Theorem suplub2ti 6966

Description: Bidirectional form of suplubti 6965. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
supmoti.ti	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
supclti.2	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
suplub2ti.or	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
suplub2ti.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
suplub2ti	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶𝑅𝑧))

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑥   𝑦,𝐴,𝑥,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑢,𝑅,𝑣,𝑥   𝑦,𝑅,𝑧   𝜑,𝑢,𝑣,𝑥   𝑧,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧)   𝐵(𝑣,𝑢)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem suplub2ti

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supmoti.ti	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
2		supclti.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
3	1, 2	suplubti 6965	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶𝑅𝑧))
4	3	expdimp 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶𝑅𝑧))
5		breq2 3986	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝐶𝑅𝑧 ↔ 𝐶𝑅𝑤))
6	5	cbvrexv 2693	. . 3 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶𝑅𝑧 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝐶𝑅𝑤)
7		simplll 523	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → 𝜑)
8		simplr 520	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → 𝑤 ∈ 𝐵)
9	1, 2	supubti 6964	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐵 → ¬ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝑤))
10	7, 8, 9	sylc 62	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → ¬ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝑤)
11		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → 𝐶𝑅𝑤)
12		suplub2ti.or	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
13	12	ad3antrrr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → 𝑅 Or 𝐴)
14		simpllr 524	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → 𝐶 ∈ 𝐴)
15		suplub2ti.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
16	15	ad3antrrr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
17	16, 8	sseldd 3143	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → 𝑤 ∈ 𝐴)
18	1, 2	supclti 6963	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)
19	18	ad3antrrr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)
20		sowlin 4298	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)) → (𝐶𝑅𝑤 → (𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∨ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝑤)))
21	13, 14, 17, 19, 20	syl13anc 1230	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → (𝐶𝑅𝑤 → (𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∨ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝑤)))
22	11, 21	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → (𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∨ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝑤))
23	10, 22	ecased 1339	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → 𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅))
24	23	ex 114	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝐶𝑅𝑤 → 𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
25	24	rexlimdva 2583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (∃𝑤 ∈ 𝐵 𝐶𝑅𝑤 → 𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
26	6, 25	syl5bi 151	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶𝑅𝑧 → 𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
27	4, 26	impbid 128	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶𝑅𝑧))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444  ∃wrex 2445   ⊆ wss 3116   class class class wbr 3982   Or wor 4273  supcsup 6947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-iso 4275  df-iota 5153  df-riota 5798  df-sup 6949

This theorem is referenced by:  suprlubex  8847