ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  suplub2ti GIF version

Theorem suplub2ti 6617
Description: Bidirectional form of suplubti 6616. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
supmoti.ti ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
supclti.2 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
suplub2ti.or (𝜑𝑅 Or 𝐴)
suplub2ti.3 (𝜑𝐵𝐴)
Assertion
Ref Expression
suplub2ti ((𝜑𝐶𝐴) → (𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ↔ ∃𝑧𝐵 𝐶𝑅𝑧))
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑥   𝑦,𝐴,𝑥,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑢,𝑅,𝑣,𝑥   𝑦,𝑅,𝑧   𝜑,𝑢,𝑣,𝑥   𝑧,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧)   𝐵(𝑣,𝑢)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem suplub2ti
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supmoti.ti . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
2 supclti.2 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
31, 2suplubti 6616 . . 3 (𝜑 → ((𝐶𝐴𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) → ∃𝑧𝐵 𝐶𝑅𝑧))
43expdimp 255 . 2 ((𝜑𝐶𝐴) → (𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → ∃𝑧𝐵 𝐶𝑅𝑧))
5 breq2 3818 . . . 4 (𝑧 = 𝑤 → (𝐶𝑅𝑧𝐶𝑅𝑤))
65cbvrexv 2586 . . 3 (∃𝑧𝐵 𝐶𝑅𝑧 ↔ ∃𝑤𝐵 𝐶𝑅𝑤)
7 simplll 500 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → 𝜑)
8 simplr 497 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → 𝑤𝐵)
91, 2supubti 6615 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑤𝐵 → ¬ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝑤))
107, 8, 9sylc 61 . . . . . 6 ((((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → ¬ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝑤)
11 simpr 108 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → 𝐶𝑅𝑤)
12 suplub2ti.or . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 Or 𝐴)
1312ad3antrrr 476 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → 𝑅 Or 𝐴)
14 simpllr 501 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → 𝐶𝐴)
15 suplub2ti.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵𝐴)
1615ad3antrrr 476 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → 𝐵𝐴)
1716, 8sseldd 3013 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → 𝑤𝐴)
181, 2supclti 6614 . . . . . . . . 9 (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)
1918ad3antrrr 476 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)
20 sowlin 4114 . . . . . . . 8 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐶𝐴𝑤𝐴 ∧ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)) → (𝐶𝑅𝑤 → (𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∨ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝑤)))
2113, 14, 17, 19, 20syl13anc 1174 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → (𝐶𝑅𝑤 → (𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∨ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝑤)))
2211, 21mpd 13 . . . . . 6 ((((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → (𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∨ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝑤))
2310, 22ecased 1283 . . . . 5 ((((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → 𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅))
2423ex 113 . . . 4 (((𝜑𝐶𝐴) ∧ 𝑤𝐵) → (𝐶𝑅𝑤𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
2524rexlimdva 2485 . . 3 ((𝜑𝐶𝐴) → (∃𝑤𝐵 𝐶𝑅𝑤𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
266, 25syl5bi 150 . 2 ((𝜑𝐶𝐴) → (∃𝑧𝐵 𝐶𝑅𝑧𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
274, 26impbid 127 1 ((𝜑𝐶𝐴) → (𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ↔ ∃𝑧𝐵 𝐶𝑅𝑧))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  wcel 1436  wral 2355  wrex 2356  wss 2986   class class class wbr 3814   Or wor 4089  supcsup 6598
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-br 3815  df-iso 4091  df-iota 4937  df-riota 5550  df-sup 6600
This theorem is referenced by:  suprlubex  8325
  Copyright terms: Public domain W3C validator