Theorem suplub2ti 7085

Description: Bidirectional form of suplubti 7084. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
supmoti.ti	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
supclti.2	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
suplub2ti.or	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
suplub2ti.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
suplub2ti	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶𝑅𝑧))

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑥   𝑦,𝐴,𝑥,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑢,𝑅,𝑣,𝑥   𝑦,𝑅,𝑧   𝜑,𝑢,𝑣,𝑥   𝑧,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧)   𝐵(𝑣,𝑢)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem suplub2ti

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supmoti.ti	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
2		supclti.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
3	1, 2	suplubti 7084	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶𝑅𝑧))
4	3	expdimp 259	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶𝑅𝑧))
5		breq2 4047	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝐶𝑅𝑧 ↔ 𝐶𝑅𝑤))
6	5	cbvrexv 2738	. . 3 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶𝑅𝑧 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝐶𝑅𝑤)
7		simplll 533	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → 𝜑)
8		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → 𝑤 ∈ 𝐵)
9	1, 2	supubti 7083	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐵 → ¬ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝑤))
10	7, 8, 9	sylc 62	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → ¬ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝑤)
11		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → 𝐶𝑅𝑤)
12		suplub2ti.or	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
13	12	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → 𝑅 Or 𝐴)
14		simpllr 534	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → 𝐶 ∈ 𝐴)
15		suplub2ti.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
16	15	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
17	16, 8	sseldd 3193	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → 𝑤 ∈ 𝐴)
18	1, 2	supclti 7082	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)
19	18	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)
20		sowlin 4365	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)) → (𝐶𝑅𝑤 → (𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∨ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝑤)))
21	13, 14, 17, 19, 20	syl13anc 1251	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → (𝐶𝑅𝑤 → (𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∨ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝑤)))
22	11, 21	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → (𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∨ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝑤))
23	10, 22	ecased 1361	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶𝑅𝑤) → 𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅))
24	23	ex 115	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝐶𝑅𝑤 → 𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
25	24	rexlimdva 2622	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (∃𝑤 ∈ 𝐵 𝐶𝑅𝑤 → 𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
26	6, 25	biimtrid 152	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶𝑅𝑧 → 𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
27	4, 26	impbid 129	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶𝑅𝑧))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∈ wcel 2175  ∀wral 2483  ∃wrex 2484   ⊆ wss 3165   class class class wbr 4043   Or wor 4340  supcsup 7066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-ext 2186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-iso 4342  df-iota 5229  df-riota 5889  df-sup 7068

This theorem is referenced by:  suprlubex  9007