Theorem cbvrexv 2730

Description: Change the bound variable of a restricted existential quantifier using implicit substitution. (Contributed by NM, 2-Jun-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvralv.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
cbvrexv	⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem cbvrexv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1542	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
2		nfv 1542	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		cbvralv.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	1, 2, 3	cbvrex 2726	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105  ∃wrex 2476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1475  df-sb 1777  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rex 2481

This theorem is referenced by:  cbvrex2v  2743  reu7  2959  reusv3  4496  funcnvuni  5328  fun11iun  5528  fvelimab  5620  fliftfun  5846  tfr1onlemaccex  6415  tfrcllemsucaccv  6421  tfrcllembxssdm  6423  tfrcllemaccex  6428  tfrcldm  6430  frecsuc  6474  nnaordex  6595  fimax2gtri  6971  supmoti  7068  suplub2ti  7076  fodjuomnilemdc  7219  fodjuomnilemres  7223  fodjuomni  7224  fodjumkvlemres  7234  fodjumkv  7235  nninfwlpoimlemginf  7251  nninfwlpoim  7254  nninfinfwlpo  7255  cardval3ex  7265  prarloclemlo  7580  prarloclem3  7583  cauappcvgprlemdisj  7737  cauappcvgprlemladdru  7742  cauappcvgprlemladdrl  7743  cauappcvgpr  7748  caucvgprlemdisj  7760  caucvgprlemcl  7762  caucvgprlemladdfu  7763  caucvgprlemladdrl  7764  caucvgpr  7768  caucvgprprlemell  7771  caucvgprprlemelu  7772  caucvgprprlemlol  7784  caucvgprprlemclphr  7791  caucvgprprlemexbt  7792  suplocexprlemmu  7804  suplocexpr  7811  suplocsrlem  7894  nntopi  7980  axcaucvglemres  7985  axpre-suploc  7988  suprzclex  9443  supinfneg  9688  infsupneg  9689  ublbneg  9706  suprzubdc  10345  exbtwnzlemstep  10356  exbtwnzlemshrink  10357  rebtwn2zlemstep  10361  rebtwn2zlemshrink  10362  hashunlem  10915  cvg1nlemres  11169  resqrexlemoverl  11205  resqrexlemsqa  11208  resqrexlemex  11209  rexanre  11404  rexico  11405  fimaxre2  11411  summodclem2  11566  summodc  11567  mertenslemub  11718  mertensabs  11721  odd2np1lem  12056  divalglemeunn  12105  divalglemeuneg  12107  bitsfzolem  12138  bezoutlemex  12195  ennnfoneleminc  12655  ennnfonelemex  12658  ennnfonelemhom  12659  ennnfonelemr  12667  ctinfom  12672  nninfdclemp1  12694  nninfdc  12697  cnptoprest  14583  dedekindeulemuub  14961  dedekindeulemub  14962  dedekindeulemloc  14963  dedekindeulemlub  14964  dedekindeulemlu  14965  dedekindicclemuub  14970  dedekindicclemub  14971  dedekindicclemloc  14972  dedekindicclemlub  14973  dedekindicclemlu  14974  ivthdich  14997  bj-nn0sucALT  15732  nconstwlpolem  15822  neapmkvlem  15824