Theorem cbvrexv 2787

Description: Change the bound variable of a restricted existential quantifier using implicit substitution. (Contributed by NM, 2-Jun-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvralv.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
cbvrexv	⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem cbvrexv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1581	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
2		nfv 1581	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		cbvralv.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	1, 2, 3	cbvrex 2783	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝜓)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105  ∃wrex 2529

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534

This theorem is used by:  cbvrex2v  2800  reu7  3021  reusv3  4606  funcnvuni  5450  fun11iun  5660  fvelimab  5759  fliftfun  6002  tfr1onlemaccex  6619  tfrcllemsucaccv  6625  tfrcllembxssdm  6627  tfrcllemaccex  6632  tfrcldm  6634  frecsuc  6678  nnaordex  6801  fimax2gtri  7206  supmoti  7334  suplub2ti  7342  fodjuomnilemdc  7485  fodjuomnilemres  7489  fodjuomni  7490  fodjumkvlemres  7500  fodjumkv  7501  nninfwlpoimlemginf  7517  nninfwlpoim  7520  nninfinfwlpo  7521  cardval3ex  7531  prarloclemlo  7862  prarloclem3  7865  cauappcvgprlemdisj  8019  cauappcvgprlemladdru  8024  cauappcvgprlemladdrl  8025  cauappcvgpr  8030  caucvgprlemdisj  8042  caucvgprlemcl  8044  caucvgprlemladdfu  8045  caucvgprlemladdrl  8046  caucvgpr  8050  caucvgprprlemell  8053  caucvgprprlemelu  8054  caucvgprprlemlol  8066  caucvgprprlemclphr  8073  caucvgprprlemexbt  8074  suplocexprlemmu  8086  suplocexpr  8093  suplocsrlem  8176  nntopi  8262  axcaucvglemres  8267  axpre-suploc  8270  suprzclex  9749  supinfneg  10005  infsupneg  10006  ublbneg  10023  suprzubdc  10682  exbtwnzlemstep  10693  exbtwnzlemshrink  10694  rebtwn2zlemstep  10698  rebtwn2zlemshrink  10699  hashunlem  11259  cvg1nlemres  11766  resqrexlemoverl  11802  resqrexlemsqa  11805  resqrexlemex  11806  rexanre  12002  rexico  12003  fimaxre2  12009  fiidxsupcl  12011  summodclem2  12167  summodc  12168  mertenslemub  12319  mertensabs  12322  odd2np1lem  12657  divalglemeunn  12706  divalglemeuneg  12708  bitsfzolem  12739  bezoutlemex  12796  nn0sqdcq  13006  ballotfilemodife  13291  ballotfilemimin  13300  ennnfoneleminc  13353  ennnfonelemex  13356  ennnfonelemhom  13357  ennnfonelemr  13365  ctinfom  13370  nninfdclemp1  13392  nninfdc  13395  cnptoprest  15392  dedekindeulemuub  15770  dedekindeulemub  15771  dedekindeulemloc  15772  dedekindeulemlub  15773  dedekindeulemlu  15774  dedekindicclemuub  15779  dedekindicclemub  15780  dedekindicclemloc  15781  dedekindicclemlub  15782  dedekindicclemlu  15783  ivthdich  15806  bj-nn0sucALT  17126  nconstwlpolem  17237  neapmkvlem  17239