Theorem cbvrexv 2697

Description: Change the bound variable of a restricted existential quantifier using implicit substitution. (Contributed by NM, 2-Jun-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvralv.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
cbvrexv	⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem cbvrexv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1521	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
2		nfv 1521	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		cbvralv.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	1, 2, 3	cbvrex 2693	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104  ∃wrex 2449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1454  df-sb 1756  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-rex 2454

This theorem is referenced by:  cbvrex2v  2710  reu7  2925  reusv3  4445  funcnvuni  5267  fun11iun  5463  fvelimab  5552  fliftfun  5775  tfr1onlemaccex  6327  tfrcllemsucaccv  6333  tfrcllembxssdm  6335  tfrcllemaccex  6340  tfrcldm  6342  frecsuc  6386  nnaordex  6507  fimax2gtri  6879  supmoti  6970  suplub2ti  6978  fodjuomnilemdc  7120  fodjuomnilemres  7124  fodjuomni  7125  fodjumkvlemres  7135  fodjumkv  7136  nninfwlpoimlemginf  7152  nninfwlpoim  7154  cardval3ex  7162  prarloclemlo  7456  prarloclem3  7459  cauappcvgprlemdisj  7613  cauappcvgprlemladdru  7618  cauappcvgprlemladdrl  7619  cauappcvgpr  7624  caucvgprlemdisj  7636  caucvgprlemcl  7638  caucvgprlemladdfu  7639  caucvgprlemladdrl  7640  caucvgpr  7644  caucvgprprlemell  7647  caucvgprprlemelu  7648  caucvgprprlemlol  7660  caucvgprprlemclphr  7667  caucvgprprlemexbt  7668  suplocexprlemmu  7680  suplocexpr  7687  suplocsrlem  7770  nntopi  7856  axcaucvglemres  7861  axpre-suploc  7864  suprzclex  9310  supinfneg  9554  infsupneg  9555  ublbneg  9572  exbtwnzlemstep  10204  exbtwnzlemshrink  10205  rebtwn2zlemstep  10209  rebtwn2zlemshrink  10210  hashunlem  10739  cvg1nlemres  10949  resqrexlemoverl  10985  resqrexlemsqa  10988  resqrexlemex  10989  rexanre  11184  rexico  11185  fimaxre2  11190  summodclem2  11345  summodc  11346  mertenslemub  11497  mertensabs  11500  odd2np1lem  11831  divalglemeunn  11880  divalglemeuneg  11882  suprzubdc  11907  bezoutlemex  11956  ennnfoneleminc  12366  ennnfonelemex  12369  ennnfonelemhom  12370  ennnfonelemr  12378  ctinfom  12383  nninfdclemcl  12403  nninfdclemp1  12405  nninfdc  12408  cnptoprest  13033  dedekindeulemuub  13389  dedekindeulemub  13390  dedekindeulemloc  13391  dedekindeulemlub  13392  dedekindeulemlu  13393  dedekindicclemuub  13398  dedekindicclemub  13399  dedekindicclemloc  13400  dedekindicclemlub  13401  dedekindicclemlu  13402  bj-nn0sucALT  14013  nconstwlpolem  14096  neapmkvlem  14098