Theorem cbvrexv 2594

Description: Change the bound variable of a restricted existential quantifier using implicit substitution. (Contributed by NM, 2-Jun-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvralv.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
cbvrexv	⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem cbvrexv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1467	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
2		nfv 1467	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		cbvralv.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	1, 2, 3	cbvrex 2590	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104  ∃wrex 2361

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1396  df-sb 1694  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-rex 2366

This theorem is referenced by:  cbvrex2v  2602  reu7  2813  reusv3  4297  funcnvuni  5098  fun11iun  5289  fvelimab  5375  fliftfun  5591  grpridd  5857  tfr1onlemaccex  6129  tfrcllemsucaccv  6135  tfrcllembxssdm  6137  tfrcllemaccex  6142  tfrcldm  6144  frecsuc  6188  nnaordex  6302  fimax2gtri  6673  supmoti  6744  suplub2ti  6752  fodjuomnilemdc  6862  fodjuomnilemres  6866  fodjuomni  6867  cardval3ex  6876  prarloclemlo  7116  prarloclem3  7119  cauappcvgprlemdisj  7273  cauappcvgprlemladdru  7278  cauappcvgprlemladdrl  7279  cauappcvgpr  7284  caucvgprlemdisj  7296  caucvgprlemcl  7298  caucvgprlemladdfu  7299  caucvgprlemladdrl  7300  caucvgpr  7304  caucvgprprlemell  7307  caucvgprprlemelu  7308  caucvgprprlemlol  7320  caucvgprprlemclphr  7327  caucvgprprlemexbt  7328  nntopi  7492  axcaucvglemres  7497  suprzclex  8907  supinfneg  9146  infsupneg  9147  ublbneg  9161  exbtwnzlemstep  9722  exbtwnzlemshrink  9723  rebtwn2zlemstep  9727  rebtwn2zlemshrink  9728  hashunlem  10275  cvg1nlemres  10481  resqrexlemoverl  10517  resqrexlemsqa  10520  resqrexlemex  10521  rexanre  10716  rexico  10717  fimaxre2  10721  isummolem2  10835  isummo  10836  mertenslemub  10991  mertensabs  10994  odd2np1lem  11213  divalglemeunn  11262  divalglemeuneg  11264  bezoutlemex  11331  bj-nn0sucALT  12177