Theorem cbvrexv 2787

Description: Change the bound variable of a restricted existential quantifier using implicit substitution. (Contributed by NM, 2-Jun-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvralv.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
cbvrexv	⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem cbvrexv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1581	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
2		nfv 1581	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		cbvralv.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	1, 2, 3	cbvrex 2783	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝜓)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105  ∃wrex 2529

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534

This theorem is used by:  cbvrex2v  2800  reu7  3021  reusv3  4606  funcnvuni  5450  fun11iun  5660  fvelimab  5759  fliftfun  6002  tfr1onlemaccex  6619  tfrcllemsucaccv  6625  tfrcllembxssdm  6627  tfrcllemaccex  6632  tfrcldm  6634  frecsuc  6678  nnaordex  6801  fimax2gtri  7206  supmoti  7333  suplub2ti  7341  fodjuomnilemdc  7484  fodjuomnilemres  7488  fodjuomni  7489  fodjumkvlemres  7499  fodjumkv  7500  nninfwlpoimlemginf  7516  nninfwlpoim  7519  nninfinfwlpo  7520  cardval3ex  7530  prarloclemlo  7861  prarloclem3  7864  cauappcvgprlemdisj  8018  cauappcvgprlemladdru  8023  cauappcvgprlemladdrl  8024  cauappcvgpr  8029  caucvgprlemdisj  8041  caucvgprlemcl  8043  caucvgprlemladdfu  8044  caucvgprlemladdrl  8045  caucvgpr  8049  caucvgprprlemell  8052  caucvgprprlemelu  8053  caucvgprprlemlol  8065  caucvgprprlemclphr  8072  caucvgprprlemexbt  8073  suplocexprlemmu  8085  suplocexpr  8092  suplocsrlem  8175  nntopi  8261  axcaucvglemres  8266  axpre-suploc  8269  suprzclex  9746  supinfneg  9997  infsupneg  9998  ublbneg  10015  suprzubdc  10673  exbtwnzlemstep  10684  exbtwnzlemshrink  10685  rebtwn2zlemstep  10689  rebtwn2zlemshrink  10690  hashunlem  11246  cvg1nlemres  11753  resqrexlemoverl  11789  resqrexlemsqa  11792  resqrexlemex  11793  rexanre  11988  rexico  11989  fimaxre2  11995  summodclem2  12151  summodc  12152  mertenslemub  12303  mertensabs  12306  odd2np1lem  12641  divalglemeunn  12690  divalglemeuneg  12692  bitsfzolem  12723  bezoutlemex  12780  ballotfilemodife  13242  ballotfilemimin  13251  ennnfoneleminc  13304  ennnfonelemex  13307  ennnfonelemhom  13308  ennnfonelemr  13316  ctinfom  13321  nninfdclemp1  13343  nninfdc  13346  cnptoprest  15342  dedekindeulemuub  15720  dedekindeulemub  15721  dedekindeulemloc  15722  dedekindeulemlub  15723  dedekindeulemlu  15724  dedekindicclemuub  15729  dedekindicclemub  15730  dedekindicclemloc  15731  dedekindicclemlub  15732  dedekindicclemlu  15733  ivthdich  15756  bj-nn0sucALT  17016  nconstwlpolem  17127  neapmkvlem  17129